新题型 • 数列 • 牛顿迭代数列 讲义-2024届高三数学二轮专题

新题型 • 数列 • 牛顿迭代数列 这已经不是一个“新定义”了！在人教A版新教材选择性必修第二册中第82页有介绍，如下图 之所以讲这内容是因为在近期模考中看到了有关牛顿迭代数列的题目，所以再拿过来讲一下。 一、牛顿迭代数列 牛顿（1643-1727）给出了牛顿切线法求函数零点近似值的方法——牛顿切线法迭代用“作切线”的方法求方程的近似解如图1，设 是函数 的一个零点， ① 任意选取 作为 的初始近似值，过点 作曲线 的切线 ，设 与 轴交点的横坐标为 ，并称 为 的 次近似值； ② 过点 作曲线 的切线 ，设 与 轴交点的横坐标为 ，称 为 的 次近似值 . （关注微信公众号：Hi数学派 ）图1 ③ 重复以上操作，直到 ， 为所需精度。 一般地，过点 （ ）作曲线的 切线 ，记 与 轴交点的横坐标为 ，并称 为 的 次近似值 . 若 ，那么 二、近期模考题 【24届韶关二模T18】 记 上的可导函数 的导函数为 ，满足 的数列 称为函数 的“牛顿数列”. 已知数列 为函数 的牛顿数列，且数列 满足 ，， （1） 求 ； （关注微信公众号：Hi数学派） （2） 证明数列 ，是等比数列并求 ； （3） 设数列 的前 项和为，若不等式 对任意的 恒成立，求 的取值范围. 【雅礼中学24届综合测试T18】 物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛 ．其定义是：对于函数 ，若满足 ，则称数列 为牛顿数列．已知 ，如下图，在横坐标为 的点处作 的切线，切线与 轴交点的横坐标为 ，用 代替 重复上述过程得到 ，一直下去，得到数列 ． （1） 求数列 的通项公式； （2） 若数列 的前 项和为 ，且对任意的 ，满足 求整数 的最小值. （参考数据：，，，） 学科网（北京）股份有限公司 $$