新结构 • 概率 • 一维游走 讲义-2024届高三数学二轮专题

新结构 • 概率 • 一维游走 2023年新高考I卷第21题的投篮问题是马尔可夫链；再往前的热点模考卷中，2023年杭州二模第21题的赌徒输光问题是马尔可夫链，2023年茂名二模的摸球问题是马尔可夫链；再往更前的2019年全国I卷药物试验也是马尔可夫链！ 而马尔可夫链中有一个很重要的模型——随机游走（）。 首先介绍近期模考中有关随机游走的题目，最后再总结随机游走和随机游走中的特例一维随机游走。 一、模考中的一维随机游走问题 【2023 杭州二模 T21】 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为:假设我们的序列状态是 那么 时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态 ，即 （关注微信公众号：Hi数学派） 现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型。 假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为 ，且每局赌赢可以赢得 元，每一局赌徒赌输的概率为 ，且赌输就要输掉 元.赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏·一种是手中赌金为 元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的 元，赌徒停止赌博。记赌徒的本金为 ，赌博过程如下图的数轴所示 当赌徒手中有 元 时，最终输光的概率为 请回答下列问题： （1） 请直接写出 与 的数值； （2） 证明 是一个等差数列，并写出公差 ； （3） 当 时，分别计算 ， 时， 的数值，并结合实际解释当 时， 的统计含义 . 【24届东北三省三校一联T11】 在一个只有一条环形道路的小镇上，有 家酒馆 ，一个酒鬼家住在 ，其相对位置关系如图所示 . 小镇的环形道路可以视为 段小路，每段小路需要步行 分钟时间 . 某天晚上酒鬼从酒馆喝完酒后离开，因为醉酒，所以酒鬼在每段小路的起点都等可能的选择顺时针或者逆时针的走完这段小路。下述结论正确的是 （） 若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在 分钟或 分钟以内到家的概率为 若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在 分钟或 分钟以内到家的概率为 若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行 分钟后恰好停在家门口的概率为 （关注微信公众号：Hi数学派） 若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行 分钟后恰好停在家门口的概率为 【24届湖北省八市3月联考T16】 如图，一个质点在随机外力的作用下，从数轴点 的位置出发，每隔 向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为 . （1） 当 时，求 后质点移动到点 的位置的概率； （2） 记 后质点的位置对应的数为 ，若随机变量 的期望 ，求 的取值范围. 【24届重庆一中3月月考T18】 一个质点在一条直线上“随机游走”，向左走一步和向右走一步的概率均为 ，试探讨下列问题： （1） 若质点进行了 次“随机游走”，在其中恰有 次向右游走的情况下，求第二次向左游走的概率； （2） 记 为 次游走中恰有 次向右游走的概率，令 记 为不超过 次游走的情况下，向右游走 次后停止游走（若向右游走一直不足 次，在游走到 次时也停止游走），此时一共游走的次数， 的数学期望为 . 请比较 与 的大小，并说明理由. 【24届昆明“3诊一模”T14】 如图，一个质点从原点 出发，每隔一秒随机、等可能地向左或向右移动一个单位，共移动六次 . 质点位于 的位置的概率为__ ；在质点第一秒位于 的位置的条件下，该质点共经过两次 的位置的概率为__ . 二、什么是随机游走？ 1、随机游走（random walk） 定义一系列独立同分布（independent identically distributed, iid）的整数随机变量 ，并定义如下随机过程 ： （关注微信公众号：Hi数学派） 则随机过程 是整数集内的随机游走，而 是步长。由于步长是iid的，因此当前步与先前步相互独立，该随机过程是马尔可夫链。伯努利过程和赌徒破产问题都是随机游走的特例。 2、伯努利过程（Bernoulli process） 伯努利过程也被称为二项马可夫链（Binomial Markov chain），其建立过程如下：给定一系列相互独立的“标识”，每个标识都是二项的，按概率 取正和负。令正随机过程 表示 个标识中有 个正标识的概率，则其是一个伯努利过程 ，其中的随机变量服从二项分布（binomial distribution）： 由建立过程可知，增加的新标识中正标识的概率与先前正标识的数量无关，具有马尔可夫性质，因此伯努利过程是一个马尔可夫链 。 3、赌徒破产问题（gambler's ruin） 假设赌徒持有有限个筹码在赌场下注，每次下注以概率 赢或输一个筹码，若赌徒不断下注，则其持有的筹码总数是一个马尔可夫链，且有如下转移矩阵： 赌徒输光筹码是吸收态，由一步分析（one-step analysis）可知，当 时，该马尔可夫链必然进入吸收态，即赌徒无论持有多少筹码，随着赌注的进行最终都会输光。 由上述随机游走的例子可知，马尔可夫链有一般性的构建方法，具体地，若状态空间 内的随机过程 有满足形式： 其中， ， 为空间 的iid随机变量且独立于 ，则随机过程 是马尔可夫链，其一步转移概率为： 。该结论表明，马尔可夫链可以由 区间内服从iid均匀分布的随机变量（随机数）进行数值模拟。 三、一维随机游走 一维随机游走： 设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻 时，位于点 ，下一个时刻，它将以概率 或者 （,）向左或者向右平移一个单位. 若记状态 表示：在时刻 该点位于位置 ，那么由全概率公式可得： （关注微信公众号：Hi数学派） 另一方面，由于 ， 代入上式可得： 进一步，我们假设在 与 处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走. 于是 ，. 随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程. 进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为 ；原地不动，其概率为 ；向右平移一个单位，其概率为 ，那么根据全概率公式可得： 一维随机游走两个典型问题 （1）赌徒输光问题： 赌徒在赌场赌博，赢的概率是 ，输的概率 ，每次的赌注为1元，假设赌徒最开始时有赌金 元，赢了赌金加1元，输了赌金减 元. 问赌徒输光的概率是多少？ （2）酒鬼失足问题： （关注微信公众号：Hi数学派） 一个醉鬼行走在一头是悬崖的道路上，酒鬼从距离悬崖仅一步之遥的位置出发，向前一步或向后退一步的概率皆为 ，问酒鬼失足掉入悬崖的概率是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$