任意角和弧度制、三角函数的概念 课件-2025届高三数学一轮复习

高考数学一轮复习 第21讲 任意角和弧度制、 三角函数的概念 1.了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化,体会引入弧度制的必要性. 2.借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. 复习目标 2 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.任意角 （1） 定义:一条射线绕着它的_______旋转所成的图形. 端点 （2） 分类:按旋转方向分为_______、_______和零角;按终边位置分为________ ___和轴线角. （3） 相反角：把射线绕端点 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫作 互为相反角.角 的相反角记为_____. 正角 负角 象限角 3 （4） 终边相同的角:所有与角 终边相同的角,连同角 在内,可构成一个集合 _______________________________. , 4 2.弧度制的定义和公式 （1） 定义:长度等于_________的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角,弧度单位用 符号 表示. 半径长 （2） 公式: 角 的弧度数的绝对值 （弧长用 表示） 角度与弧度的换算 ①,② 弧长公式 弧长 ______ 扇形的面积公式 _________ 5 3.任意角的三角函数 任意角的三角函数的定义 （1） 单位圆定义法： 如图，设 是一个任意角，角 的终边与单位圆交于点，则 ， ， . 6 （2） 终边上任意点定义法：设是角 终边上异于原点的任意一点，点 与 原点的距离,则___,___,_ __ . 7 常用结论 （1）象限角 8 （2）轴线角 9 （3）三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦 （如图所示）. （4）若,则 . 10 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］ 下列四个说法中正确的是_______.（填序号） ①锐角一定是第一象限角； ②终边相同的角一定相等； ③小于 的角一定是锐角； ④钝角一定是第二象限角. ①④ [解析] 锐角一定是第一象限角，①正确；终边相同的角不一定相等，②错误； 小于 的角除锐角外还有零角、负角，③错误； 钝角一定是第二象限角，④正确.故填①④. 11 2.［教材改编］ 已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为 ___. 6 [解析] 设扇形的半径为，则，得，， 扇形的周长为 . 12 3.［教材改编］ 已知且，则角 的终边在第____象限. 二 [解析] 因为，所以角的终边在第一象限或第二象限或 轴的正半轴上. 因为，所以角的终边在第二或第四象限上，所以角 的终边在第二象限. 13 4.［教材改编］ 已知角 的终边上有一点,则 _ __. [解析] 依题意知,，所以 . 14 题组二 常错题 ◆ 索引：忽视角的旋转方向致误；扇形的弧长和面积公式记忆不牢致误;不熟悉角 的终边在不同象限时对应的三角函数值的符号致误. 5.某次考试时间为120分钟，则从考试开始到结束，时钟的分针旋转了______弧度. [解析] 时钟的分针顺时针旋转，所得的角为负角，又考试时间为120分钟， 所以从考试开始到结束，时钟的分针旋转了 弧度. 15 6.已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数为_______. 1或4 [解析] 设扇形的半径为，圆心角为，则扇形的弧长 ， 由题得解得或 所以扇形的圆心角的弧度数为1或4. 16 7.若且,则 的化简结果为_______. [解析] ,, 是第二象限角, ， . 17 探究点一 象限角及终边相同的角 1.若角 的终边在直线上，则角 构成的集合为( ) D A. B. C. D. [解析] 如图所示，由图知角 构成的集合为 .故选D. 18 2.（多选题）[2023·云南丽江一模] 与 终边相同的角有( ) BCD A. B. C. D. [解析] 与 终边相同的角可表示为，， 当 时， ；当时， ； 当时， ；当 时， .故选 . 19 3.（多选题）若 是第三象限角，则( ) AD A. 是第二象限角 B. 是第一象限角 C. 是第四象限角 D. 的终边在第一象限或第二象限或 轴正半轴上 20 [解析] 因为 是第三象限角，所以 ， . 对于A， ，，故 是第二象限角，所以A正确. 对于B， ，，当为偶数时，是第二象限角； 当 为奇数时，是第四象限角，所以B错误. 对于C， ， ， 即 ，， 所以 是第二象限角，所以C错误. 对于D， ，， 所以 的终边在第一象限或第二象限或轴正半轴上，所以D正确.故选 . 21 4.在 范围内，与角 终边相同的一个角是 __________________________. （或） [解析] ， 在 范围内，角 的终边与角 的终边相同， ， 在 范围内与角 终边相同的另一个角是 . 22 [总结反思] （1）角与角 的终边相同; （2）要求角 的终边所在的象限,只需将角 表示成 的形式,则角 的终边所在的象限即为角 的终边所在的象限. 23 探究点二 扇形的弧长、面积公式 例1 已知一扇形的圆心角的弧度数为，所在圆的半径为 . （1） 若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积 ； 解：设扇形的弧长为 .由，，得 ， . ［思路点拨］（1）由弧长公式即可得出弧长,弓形的面积等于扇形的面积减去 三角形的面积; 24 （2） 若扇形的周长为20，则当 等于多少时，这个扇形的面积最大? 解：易知，则 ， ， 当时，取得最大值25，此时， . 因此当 时，这个扇形的面积最大. ［思路点拨］（2）由周长为定值可得出弧长和半径的关系,再把扇形的面积用 表示出来,运用函数的知识求解即可. 25 [总结反思] （1）利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度. （2）在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形. （3）解决面积等最值问题时经常转化为二次函数在给定区间上的最值问题来解 决. 当扇形的周长为定值时可得扇形的面积 ,当扇形的 面积为定值时可得周长 . 26 变式题（1） （多选题）已知扇形的半径为，弧长为 ，若其周长为4，则下 列说法正确的是( ) ABC A.若该扇形的半径为1，则该扇形的面积为1 B.该扇形面积的最大值为1 C.当该扇形的面积最大时，其圆心角的弧度数为2 D. 的最小值为9 27 [解析] 由题意知， 扇形的面积， 为扇形的圆心角的弧度数，. 对于选项A,当时，，可得 ，故选项A正确； 对于选项B,C， ， 当时，取得最大值1，此时， ，故选项B,C正确； 对于选项D,当时，，此时，故选项D不正确.故选 . 28 （2） 如图①是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”， 如图②是类似会徽的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是 ，几何图形 的面积为，扇形的面积为，若，则 ( ) D ① ② A.5 B.6 C.7 D.8 29 [解析] 设 ，则，所以 ， 所以 ，故选D. 30 探究点三 三角函数的概念 角度1 三角函数定义的应用 例2（1） 在平面直角坐标系中，若角 以原点为顶点，以 轴非负半轴为 始边，其终边与单位圆交点的横坐标为，则 的一个可能取值为( ) B A. B. C. D. ［思路点拨］（1）根据三角函数的定义得到 ，再根据特殊角的三 角函数判断即可. [解析] 依题意可得， 则 , 或 ,， 所以 的一个可能取值为 .故选B. 31 （2） （多选题）已知角 的终边经过点，且 与 的终边关于原点 对称，则下列结论正确的是( ) ACD A. B. 为钝角 C. D.点 在第二象限 ［思路点拨］（2）对于A选项，利用三角函数的定义计算即可； 对于B，C选项，先判断角 终边所过的点，再用三角函数的定义求解； 对于D选项，利用定义求出三角函数值，再判断点所在象限. 32 [解析] 因为角 的终边经过点，所以，A正确； 因为 与 的终边关于原点对称，所以角 的终边经过点， 所以 为第二象限角，但不一定为钝角，B错误；，C正确； 因为 ，，所以点在第二象限，D正确. 故选 . 33 [总结反思] 三角函数的定义主要应用于两方面: （1）已知角 的终边上一点的坐标,则可先求出点 到原点的距离,再用三角函数 的定义求解三角函数值.特别地,若角 的终边落在某条直线上,则一般要分类讨论. （2）已知角 的某个三角函数值,可依据三角函数值设出角 终边上某一符合条 件的点的坐标来解决相关问题. 34 变式题（1） （多选题）已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴 重合，终边在直线上，则 的值可能为( ) AB A. B. C. D. [解析] 在角 的终边所在的直线上任取一点 ， 则（为坐标原点）. 由三角函数的定义知 ，. 当时，； 当 时，.故选 . 35 （2） 已知角 的终边上有一点，且 ，则 _ _____， ______________. 或 [解析] 设，由题设知，， 所以 (为原点)，即， 因为 ，所以， 即，解得. 当时， ，，， 所以，； 当 时，，，， 所以， . 36 角度2 三角函数值的符号判定 例3（1） 已知 是第二象限角，则点 所在的象限是 ( ) D A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [解析] 因为 是第二象限角，所以， ， 所以，，所以点 在第四象限. 故选D. ［思路点拨］（1）根据三角函数确定横坐标和纵坐标的正负即可求解. 37 （2） （多选题）若角 的终边经过点 ,则下列各式一定为正的 是( ) BD A. B. C. D. [解析] 因为角 的终边经过点,所以 为第四象限角, 则 ,,. 的正负无法判断， ，，.故选 . ［思路点拨］（2）由题可知 为第四象限角,由此可得角 的三角函数值的正负， 再依次判断各选项的正负即可. 38 [总结反思] （1）判断三角函数值的符号,关键是确定角的终边所在的象限,然后结合三角函数 值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号,特别要注意不要忽略角的终边在坐 标轴上的情况. （2）相关知识总结如下:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 39 变式题（1） 若 为第四象限角，则( ) D A. B. C. D. [解析] 方法一：由 为第四象限角，可得 , ， 所以 ,， 故 的终边在第三象限或第四象限或 轴的非正半轴上，所以 ，故选D. 方法二：当时，，选项A错误； 当 时，，选项B错误； 由 为第四象限角可得, ， 则 ，选项C错误，选项D正确.故选D. 40 （2） （多选题）已知， ，则( ) BC A. B. 为第一或第三象限角 C. D.若，则 [解析] 因为，，所以 为第二象限角， ， ，A错误； 若 ，则，D错误； ，C正确； 因为，所以 ， 若，则，则 为第一象限角， 若，则，则 为第三象限角， B正确.故选 . 41 提升习题 42 考查象限角及终边相同的角;例2考查扇形的弧长公式，需要根 据扇形的弧长公式和展开过程中的长度关系加以解决;例3考查三角函数定义的应 用，考查了分类整合思想以及运算求解能力；例4考查三角函数值的符号判断. 1 ［配探究点一使用］ 已知 是第三象限角,且,则 是( ) D A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 [解析] 是第三象限角, , , 则 ,,是第二或第四象限角, 又, 是第四象限角. 43 2 ［配例1使用］ 将一个半径为1 的圆盘固定在平面直角坐标系 上，圆盘的圆心与原点 重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头为 ，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为 ，如 D A. B. C.2 D. [解析] 设圆盘的半径为，由题知，展开过程中 , 又,,所以 ,故选D. 图.细绳的粗细忽略不计，当时，点与点 之间的距离为( ) 44 3 ［配例2使用］ （多选题）已知函数且 的图象经过定点，且点在角 的终边上，则 的值可能是( ) AC A.2 B.3 C. D. [解析] 由题意可知或.当点的坐标是 时， 由三角函数的定义有，， 所以； 当点的坐标是 时，由三角函数的定义有，， 所以 .故选 . 45 4 ［配例3使用］若角 满足 ， ，则 是( ) B A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 [解析] ， 角 是第二或第四象限角. 当 是第二象限角时，，，满足； 当 是第四象限角时，，，则，不符合题意. 综上所述， 是第二象限角.故选B. 46 $$