精品解析：重庆市长寿区长寿中学校2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

重庆市长寿中学校2024-2025学年度上期期中考试 初三数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标，对称轴为直线． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 图象与轴交点的坐标是 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 4. 如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. 55° B. 70° C. 125° D. 145° 5. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（　　） A. B. C. D. 6. 下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有5颗棋子，第②个图形有8颗棋子，第③个图形有13颗棋子，……，则第⑦个图形中棋子的颗数为（　　） A. 36 B. 40 C. 49 D. 53 7. 某药厂2017年生产1t甲种药品的利润是3600元．随着生产技术的进步，2019年生产1t甲种药品的利润是6000元．设生产1t甲种药品利润的年平均增长率为x，则关于x的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 在正方形中，将绕点逆时针旋转到，旋转角为，连接BE，并延长至点，使，连接DF，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点在点与点之间(不包含端点)，顶点的坐标为．则下列结论： ①；②；③对于任意实数，总成立； ④关于的方程没有实数根．其中结论正确的个数为( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 对于代数式、，定义一种新运算：．①若，则或；②若、是一元二次方程的两个根，则；③若二次函数在内有最小值，则；④若的函数图象与直线有两个交点，则．以上结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11. 点和点关于原点对称，则的值为______． 12. 如图，将绕点A逆时针旋转得到．若，的度数为______． 13. 已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是______． 14. 如果，是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值是__________． 15. 某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为______． 16. 若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使关于x的一元二次方程有实数根，则符合条件的整数m的和为______． 17. 如图， 在四边形 中， ，， 连接 、 ，若 平分 ，，， 则 ______． 18. 对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为________；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为________． 三、解答题：本大题8个小题，第19题8分，其余每个小题10分，共78分． 19. 解下列方程 （1） （2） 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）请画出关于轴对称的； （2）请画出关于原点对称的； （3）请直接写出点的坐标； （4）请求出的面积． 21. 中考临近，某商家抓住商机，购买了一批考试专用笔和圆规，商家用1600元购买笔，1200元购买圆规，每个圆规的进价比每支笔多2元，且购买笔的数量是圆规的2倍． （1）求商家购买笔和圆规的进价； （2）商家在销售过程中发现，圆规的售价为每个12元时，平均每天可卖出30个圆规．据统计，圆规的售价每降低1元平均每天可多卖出10个，且降价幅度不超过．在不考虑其他因素的情况下，商家要保证圆规平均每天的总获利为200元，则每个圆规的售价为多少元？ 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）设方程的两个实数根为，，若，求m的值． 23. 已知抛物线（a为常数）的顶点在y轴右侧． （1）求该抛物线的对称轴（用含a的代数式表示）； （2）试说明无论a为何值．该抛物线一定经过一个定点，并求出这个定点的坐标； （3）若点在该二次函数图象上，且，过点作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围． 24. 如图，在长方形中，，，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，连接，．设点运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数的图象，请直接写出该函数图象与直线有两个交点时的取值范围：． 25. 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，点D在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接，，请求出面积的最大值及此时点D的坐标； （3）点D在抛物线上移动，连接，是否存在点D，使得，若存在求出点D的坐标；不存在请说明理由． 26. 在中，，将线段绕点A逆时针旋转至，连接，的角平分线与的延长线交于点E，与交于点F． （1）如图1，若，，，求的长； （2）如图2，若，过点B作交于点G，交于点H，求证：； （3）如图3，若，连接，当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市长寿中学校2024-2025学年度上期期中考试 初三数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标，对称轴为直线． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：B． 2. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．此方程是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．由原方程变形得到：，该方程是关于x的一元一次方程，故本选项不符合题意； C．方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．方程是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 3. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 图象与轴交点的坐标是 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数顶点式的图象的性质，掌握图象的对称轴，增减性，顶点坐标，与坐标轴交点的计算方法是解题的关键．根据二次函数顶点式的特点逐一判断即可． 【详解】解：、二次函数，与轴交点的坐标是，故原选项错误，不符合题意； 、二次函数的图象的对称轴是直线，故原选项错误，不符合题意； 、二次函数的图象得顶点坐标为，故原选项错误，不符合题意； 、二次函数的图象，当时，y随x的增大而增大，故原选项正确，符合题意； 故选：． 4. 如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. 55° B. 70° C. 125° D. 145° 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵∠B=35°，∠C=90°， ∴∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣35°=55°． ∵点C、A、B1在同一条直线上， ∴∠BA B1=180°﹣∠BAC=180°﹣55°=125°． ∴旋转角等于125°． 故选：C． 5. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数得图像与几何变换，熟知二次函数图像平移得法则是解题的关键． 根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是． 故选C． 6. 下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有5颗棋子，第②个图形有8颗棋子，第③个图形有13颗棋子，……，则第⑦个图形中棋子的颗数为（　　） A. 36 B. 40 C. 49 D. 53 【答案】D 【解析】 【分析】仔细观察图形的变化，找到变化规律，利用规律求解即可． 【详解】解：第①个图形有颗棋子， 第②个图形一共有颗棋子， 第③个图形一共有颗棋子， 第④个图形有颗棋子， ……， 第个图形一共有（颗）． 第⑦个图形一共有（颗）． 故选：D． 【点睛】本题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 7. 某药厂2017年生产1t甲种药品的利润是3600元．随着生产技术的进步，2019年生产1t甲种药品的利润是6000元．设生产1t甲种药品利润的年平均增长率为x，则关于x的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据“两年前的利润现在利润”列方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故选：B． 8. 在正方形中，将绕点逆时针旋转到，旋转角为，连接BE，并延长至点，使，连接DF，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形性质，旋转的旋转，等腰三角形性质，三角形内角和定理，利用旋转的性质和等腰三角形性质表示出，结合正方形性质得到，再利用等腰三角形性质得到，进而得到，最后利用等腰三角形性质即可得到的度数． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：A． 9. 如图，抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点在点与点之间(不包含端点)，顶点的坐标为．则下列结论： ①；②；③对于任意实数，总成立； ④关于的方程没有实数根．其中结论正确的个数为( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据所给函数图象，得出，，的正负，再结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题． 【详解】解：因为抛物线经过点， 所以． 又因为抛物线的顶点坐标为， 所以， 即， 所以． 故①正确． 由①知，， 又因为抛物线与轴的交点在点与点之间不包含端点， 所以， 即， 解得． 故②正确． 由函数图象可知， 当时，函数有最小值， 则对于横坐标为的抛物线上的任意一点， 其纵坐标不小于， 即， 所以． 故③正确． 方程的实数根可看成函数与直线的交点的横坐标， 由函数图象可知， 函数的图象与直线有两个不同的交点， 所以方程有两个不相等的实数根． 故④错误． 故选：C． 10. 对于代数式、，定义一种新运算：．①若，则或；②若、是一元二次方程的两个根，则；③若二次函数在内有最小值，则；④若的函数图象与直线有两个交点，则．以上结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】将新运算转化成一元二次方程，①利用因式分解法解方程；②根据一元二次方程根与系数的关系，求出，，然后代入变形得到结果；③根据定义的新运算，得到，根据二次函数的性质和二次函数的最值，确定答案；④利用数形结合的思想，得到当或时，的函数图象与直线有两个交点． 【详解】解：根据题意得： ①，， ， 即， ， 解得：，， 故①正确； ②根据定义的新运算得： ， 即， 、是一元二次方程的两个根， ，， ， 故②正确； ③根据定义的新运算得： 二次函数 ， ， 函数的顶点坐标为， 二次函数在内有最小值， ， 故③不正确； ④根据定义的新运算得： 函数， 令，则， 解得：， 的函数图象与轴交点为，， 把代入，得， 把代入，得， 当时，的函数图象与直线有两个交点； 令，整理得： ， 若时，的函数图象与直线有三个交点， 即， 解得：， 当时，的函数图象与直线有两个交点， 综上，当或时，的函数图象与直线有两个交点， 故④不正确， 故正确的是①②， 故选． 【点睛】本题考查了定义的新运算，二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，结合题意，熟练运用相关性质是解答本题的关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11. 点和点关于原点对称，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，代数式求值，由点和点关于原点对称，根据它们纵横坐标符号相反求出，，然后代入求解即可，解题关键是掌握好关于原点对称点的坐标规律． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴，， ∴ 故答案为：． 12. 如图，将绕点A逆时针旋转得到．若，的度数为______． 【答案】##130度 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质，得出，再根据即可解决问题． 【详解】解：由旋转可知， ， 又， ． 故答案为：． 13. 已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是先得到抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质，比较函数值的大小即可． 【详解】解：由抛物线可知对称轴为直线，开口向上， ，， ∴． 故答案为：． 14. 如果，是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值是__________． 【答案】14 【解析】 【分析】先将一元二次方程化为一般形式，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】∵m， n是一元二次方程的两个实数根，即的两个不相等的实数根， ∴ ∴ ． 故答案为：14． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 15. 某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为______． 【答案】22 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，令，求出得到，由对称性可知，，据此可得答案． 【详解】解：在中，当时，或（舍去）， ∴， 由对称性可知，， ∴， 故答案为：22． 16. 若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使关于x的一元二次方程有实数根，则符合条件的整数m的和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解、一元二次方程根的判别式，解本题的关键在综合得出m的取值范围．把不等式组整理为，再根据不等式组有解，得出不等式组的解集为，再根据不等式组有4个整数解，得出关于的不等式组的整数解为：、、，0，进而得出，解出m的取值范围，再根据一元二次方程根的判别式与根的个数的关系，得出，解出m的取值范围，然后综合得出m的取值范围，进而得出符合条件的整数m为3、4、5、6，据此即可得出答案． 【详解】解：关于的不等式组，整理可得：， ∵关于的不等式组有解集， ∴不等式组的解集为：， ∵关于的不等式组有且仅有4个整数解， ∴关于的不等式组的整数解为：、、，0， ∴， 解得：， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 综上所述，m的取值范围为， ∴符合条件的整数m为3、4、5、6． ∴， 故答案为： 17. 如图， 在四边形 中， ，， 连接 、 ，若 平分 ，，， 则 ______． 【答案】13 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，旋转变换，全等三角形的判定和性质等知识，关键是根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定和性质解答． 将顺时针旋转到，连接，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：将顺时针旋转到，连接，如图， 则是等腰直角三角形，且，， ∵且平分， ∴， ∴， ∴均在同一条直线上， ∵ ∴ 又 ∴ ∵ ∴ ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴ 又 ∴ 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：13． 18. 对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为________；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为________． 【答案】 ①. 6200 ②. 9313 【解析】 【分析】根据题中“天真数”可求得最小的“天真数”；先根据题中新定义得到，进而，若M最大，只需千位数字a取最大，即，再根据能被10整除求得，进而可求解． 【详解】解：根据题意，只需千位数字和百位数字尽可能的小，所以最小的“天真数”为6200； 根据题意，，，，，则， ∴， ∴， 若M最大，只需千位数字a取最大，即， ∴， ∵能被10整除， ∴， ∴满足条件的M的最大值为9313， 故答案为：6200，9313． 【点睛】本题是一道新定义题，涉及有理数的运算、整式的加减、数的整除等知识，理解新定义是解答的关键． 三、解答题：本大题8个小题，第19题8分，其余每个小题10分，共78分． 19. 解下列方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）首先将方程左边配方，然后移项利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴或， 解得，． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）请画出关于轴对称的； （2）请画出关于原点对称的； （3）请直接写出点的坐标； （4）请求出的面积． 【答案】（1） 如图：即为所求图形． （2） 如图：即为所求图形． （3）点的坐标为 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，掌握图形关于轴对称图形的作图及性质，中心对称图形的作法及性质，图形与坐标等知识是解题的关键． （1）根据轴对称图形的定义即可求解； （2）根据图形关于点中心对称的性质即可求解； （3）图形结合分析即可求解； （4）结合图形利用大面积减小面积进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图可知：点的坐标为． 【小问4详解】 ． 21. 中考临近，某商家抓住商机，购买了一批考试专用笔和圆规，商家用1600元购买笔，1200元购买圆规，每个圆规的进价比每支笔多2元，且购买笔的数量是圆规的2倍． （1）求商家购买笔和圆规的进价； （2）商家在销售过程中发现，圆规的售价为每个12元时，平均每天可卖出30个圆规．据统计，圆规的售价每降低1元平均每天可多卖出10个，且降价幅度不超过．在不考虑其他因素的情况下，商家要保证圆规平均每天的总获利为200元，则每个圆规的售价为多少元？ 【答案】（1）商家购买笔和圆规的进价分别是4和6元 （2）每个圆规的售价为11元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程、一元二次方程的应用，解题的关键是： （1）设商家购买笔和圆规的进价分别是x和元，列出分式方程，即可求解； （2）设每个圆规的售价为m元，根据圆规平均每天的总获利为200元，列出一元二次方程，进而即可求解． 【小问1详解】 解：设商家购买笔和圆规的进价分别是x和元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：商家购买笔和圆规的进价分别是4和6元； 【小问2详解】 解：设每个圆规的售价为m元， 根据题意，得， 解得，， 又降价幅度不超过 ∴， 答∶ 每个圆规的售价为11元． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）设方程的两个实数根为，，若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程根的个数求参数、一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式变形、解一元二次方程等知识点． （1）由方程有实数根即可得出，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再由（1）中m的取值范围即可确定m的值． 【小问1详解】 解：∵该方程有两个实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为，， ∴、， ∴， 解得或． ∵， ∴． 23. 已知抛物线（a为常数）的顶点在y轴右侧． （1）求该抛物线的对称轴（用含a的代数式表示）； （2）试说明无论a为何值．该抛物线一定经过一个定点，并求出这个定点的坐标； （3）若点在该二次函数图象上，且，过点作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围． 【答案】（1）直线 （2） 证明：∵， 令，则， 解得，， ∴该抛物线一定经过定点； 定点 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）根据抛物线解析式得到对称轴为直线； （2）令，即可得到该抛物线一定经过定点； （3）根据抛物线顶点在y轴右侧，得到，设抛物线与x轴交点分别为C，D，C在D左侧，则，，，根据点A在轴上方，过点作y轴的平行线与二次函数图象的交点在x轴下方，得到，从而，求解即可解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线， ∴对称轴为直线． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵抛物线顶点在y轴右侧， ∴， ∴， 设抛物线与x轴交点分别为C，D，C在D左侧， 令，则， 解得，， ∴，， ∴， ∵点在该二次函数图象上，且， ∴A在轴上方，即在上方， ∵过点作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，如图， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，在长方形中，，，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，连接，．设点运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数的图象，请直接写出该函数图象与直线有两个交点时的取值范围：． 【答案】（1）关于的函数表达式为； （2） 函数的图象如图所示， 由图可得，当，随的增大而增大 （3）． 【解析】 【分析】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，二次函数的图象的性质及求一次函数， （1）分当时，点在上，点在上，和当时，点在上，点在上，两种情况，利用三角形的面积公式求解即可； （2）根据解析式可画出函数图象，并得到图象的性质； （3）观察函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是长方形， ∴，， 当时，点在上，点在上， ∵点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动， ∴，， ∴， ∴； 当时，点在上，点在上， ∵点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动， ∴，， ∴； ∴关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由图可得，当，随的增大而增大； 【小问3详解】 解：∵， ∴的顶点为，对称轴为，最大值为， 结合图象可得当直线在两条虚线之间（不包括最高点，包括最低点）时，与图象有两个交点， 当过时，，解得：； 当过时，，解得：； ∴结合函数图象，当函数与上述函数的图象有两个交点时的取值范围为． 25. 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，点D在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接，，请求出面积的最大值及此时点D的坐标； （3）点D在抛物线上移动，连接，是否存在点D，使得，若存在求出点D的坐标；不存在请说明理由． 【答案】（1） （2）4， （3）或 【解析】 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象与性质，等腰三角形的性质、面积的计算等，分类求解是解题的关键． （1）由抛物线与x轴交于点和点，设交点式计算即可求解； （2）过点作轴交于点，由面积，即可求解； （3）当点在上方时，则点和点关于抛物线对称轴对称，即可求解；当点在下方时，由，求出点，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点和点， ∴抛物线的表达式为：， 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：过点作轴交于点， 当时，， ∴， 由设直线的表达式为：，代入点得：，解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则面积， ， ∴面积有最大值， 当时，面积的最大值为4，此时点D的坐标为； 【小问3详解】 解：存在． 如图2， 当点在上方时， ， 平行于轴， 则点和点关于抛物线对称轴对称， 则点； 当点在下方时， 设交轴于点，设点， ， ， ， 解得：， 即点， 由设直线的表达式为：，代入点得：，解得：， ∴直线的表达式为：， 联立，得到 解得：（舍去）或， 即点的坐标为：， 综上，点的坐标为或． 26. 在中，，将线段绕点A逆时针旋转至，连接，的角平分线与的延长线交于点E，与交于点F． （1）如图1，若，，，求的长； （2）如图2，若，过点B作交于点G，交于点H，求证：； （3）如图3，若，连接，当时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） 解：设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 延长，使得，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，旋转的性质，含的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三线合一等． （1）过点A作，垂足为点G，求出的度数，的度数，得到的度数，求出的长度，证明是等腰直角三角形，通过勾股定理即可求出的长度； （2）设，表示和，在表示出，证明，证明，得到，延长，使得，连接，证明是等边三角形，证明，得到，从而有，即可证明结论； （3）设，过点A作，垂足为点M，表示出和的度数，从而，得到，证明，从而有，得到，列出方程求出，延长，过点B作，垂足为点P，过点A作垂直，垂足为点Q，求出，根据勾股定理的，则，再由勾股定理得，从而有，即可求出结果． 【小问1详解】 解：过点A作，垂足为点G， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设， 过点A作于M， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 延长，过点B作，垂足为点P，过点A作，垂足为点Q， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $