广东省2024-2025学年九年级上学期期末数学专题复习 圆 专项练习

广东省2024-2025学年度九年级上学期期末数学专题复习 圆部分重难点专项练习 本资料以2023年广东省各大市期末考试题目汇编而成，旨在为学生期末复习理清方向！ 一、单选题 1．（23-24九年级上·广东中山·期末）平面内，已知的半径是，线段，则点（　　） A．在外 B．在上 C．在内 D．不能确定 2．（23-24九年级上·广东湛江·期末）一个正方形的边长为，则它的内切圆的面积为（ ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，在半径为5的中，点是弦的中点，长为3，则 弦长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，是的弦，是 延长线上的一个点，，则 的度数为(   ) A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·广东韶关·期末）如图，是的直径，弦于点E．若，，则弦的长是（    ）    A． B． C．5 D．6 6．（23-24九年级上·广东中山·期末）如图，在中，已知是直径，是弦，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·广东珠海·期末）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 8．（23-24九年级上·广东江门·期末）如图，、是的切线，A、B为切点，是的半径，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，的内切圆分别与、相切于点、点，若，，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系中，经过点，直线与交于B，C两点，则弦的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（23-24九年级上·广东湛江·期末）已知一个圆锥的母线长为4cm，侧面展开图面积为，那么圆锥底面圆的直径为 cm． 12．（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图，在半径为2的中，半径垂直弦，D为上的点，，则的长是 ． 13．（23-24九年级上·广东汕头·期末）如图，是的直径， 点C、D在上， ， 则的度数为 14．（23-24九年级上·广东惠州·期末）如图，小红用一张半径为，圆心角为的扇形红色纸片做成一个圆锥形的帽子，则这个圆锥形帽子的底面圆的半径为 ． 15．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，已知的内接正六边形的边长为4，H为边的中点，则图中阴影部分的面积是 ． 16．（23-24九年级上·广东江门·期末）如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中量角器0刻度线的端点P与点C重合，射线从处出发绕点B沿逆时针方向以每秒2度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第13秒时，点E在量角器上对应的读数是 度． 17．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，是的外接圆，为直径，若，那么 ． 18．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，在中，，以为轴将旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥侧面展开图的扇形圆心角的度数是 . 19．（23-24九年级上·广东汕头·期末）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得， 将线段绕点逆时针旋转后得线段，分别以为圆心，长为半径画弧和弧，连接，则图中阴影部分的面积是 20．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，是的直径，弦平分圆周角，则下列结论： ① ②是等腰直角三角形 ③ ④ 正确的有 ． 三、解答题 21．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，将绕点逆时针旋转得到，点旋转后的对应点为． (1)画出旋转后的图形； (2)所得点的坐标为 ； (3)线段扫过的图形的面积为 ．（结果保留π） 22．（23-24九年级上·广东江门·期末）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，，求和的度数． 23．（23-24九年级上·广东惠州·期末）如图， 在中， ， 点D在边上(不与点C重合)、以为直径作，交于点E， 连接． (1)尺规作图：作边的垂直平分线l，交于点F；(要求：不写作法．保留作图痕迹) (2)连接，求证是的切线． 24．（23-24九年级上·广东肇庆·期末）如图，为的直径，弦于点，连接，，，为的中点，且， (1)求的长； (2)当时，求的面积． 25．（23-24九年级上·广东云浮·期末）如图，是的直径，C、D为上的点，点E在的延长线上，直线经过点C，已知，． (1)求证：为的切线． (2)若，的半径等于，求绕旋转一周得到的几何体的表面积（结果保留）． 26．（23-24九年级上·广东惠州·期末）如图，过正方形顶点B，C的与相切于点E，与相交于点F，连接．    (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 27．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，四边形中，， (1)求的度数； (2)连接，若，求证：； (3)点分别为线段和上的点，点是线段上任意一点且和的面积相等，过点作交直线于点，连接. 若，求线段的最小值. 28．（23-24九年级上·广东东莞·期末）是华为技术有限公司于2023年8月29日上架的一款全球首款支持卫星通话的大众智能手机，即使在没有地面网络信号的情况下，也可以拨打接听卫星电话，该手机还支持隔空操控、智感支付、注视不熄屏等智慧功能等．该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．如图，圆弧对应的弦长，半径，垂足为D，弓形高长． (1)求的长； (2)求半径的长． 29．（23-24九年级上·广东汕头·期末）如图 1，为 的外接圆，，为与的交点，为线段延长线上一点，且．    (1)求证：直线是的切线． (2)若，，求的半径； (3)如图 2，在（2）的基础上，点在上，且，点是的内心，连接，请补全图形，并求 的长． 30．（23-24九年级上·广东珠海·期末）如图1，A、B是上两点，C是的中点，，的半径为4． (1)①图中的阴影部分面积为______；②求证：四边形是菱形： (2)如图2，点P是线段上一动点，以为半径作小圆，连接，当P运动到什么位置时，是小圆的切线，并说明理由： (3)如图3，延长交于D，过C作垂直交于E，连接交于F，取线段中点G，连接并延长交于H，连接，求的长． 参考答案： 1．C 【分析】本题考查点与圆的位置关系，当点与圆心的距离大于半径时，点在圆外；当点与圆心的距离等于半径时，点在圆上；当点与圆心的距离小于半径时，点在圆内；由此判断即可． 【详解】解： 的半径是，线段， 点到圆心的距离小于半径， 点在内． 故选：C． 2．B 【分析】此题重点考查正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、正多边形与圆等知识，正确地求出正方形的边心距是解题的关键． 先证明正方形的两条对角线的交点为正方形的内切圆的圆心，再从该圆心向正方形的一边作垂线，得到该正方形的边心距，求出它的长即得到该正方形的内切圆的半径，再求出该正方形的内切圆的面积即可． 【详解】解：如图，正方形的对角线、BD交于点O， ，，， ， 点O是正方形的外心，也是它的内心， 作于点E，以点O为圆心，以为半径作，则是正方形的内切圆， ， ， ， ， ， ， 该正方形内切圆的面积为． 故选：B．    3．D 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及中点定义、垂径定理的推论、勾股定理等知识，连接，如图所示，由垂径定理的推论可知，在中，由勾股定理求解即可得到答案，熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 点是弦的中点， 由垂径定理的推论可知，且， 在中，，则由勾股定理可得， ， 故选：D． 4．C 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形外角性质等知识，先利用等腰三角形的性质得到，再利用三角形外角性质得到，最后利用圆周角定理即可求出．解题关键是熟练掌握圆周角定理． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 5．B 【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理计算即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径，弦， ∴，， ∵，， ∴，， ∴ ， ∴． 故选：B． 6．B 【分析】本题主要考查了圆周角定理．根据是的直径，可得，再由圆周角定理可得，据此求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 7．C 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．过作于，得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】如图，过作于，    圆的内接正十二边形的圆心角为，， ， ， 这个圆的内接正十二边形的面积为， 故选：C． 8．B 【分析】本题主要考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键；由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：∵、是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 9．D 【分析】设，根据切线长定理得出，，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：设， ∵的内切圆分别与、相切于点、点， ∴,，， 在中，， ∴ 解得， 即的长度为． 故选D． 10．B 【分析】本题主要考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理，根据直线的特点可知该直线过定点，运用勾股定理可求出，经过点，可求出半径，由于过圆内定点D的所有弦中，与垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题． 【详解】解：对于直线， 当时，，故直线恒经过点，记为点D． 由于过圆内定点D的所有弦中，与垂直的弦最短，即当时，最短， 连接，如图所示 ∵ ∴， ∵经过点， ∴， ∴． ∴． 故选：B． 11．4 【分析】本题考查圆锥的侧面积公式，圆锥的侧面积=底面周长×母线长，据此即可求解． 【详解】解：底面周长为：， 直径为： 故答案为：4． 12． 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，关键是由圆周角定理求出． 由圆周角定理求出，由直角三角形的性质求出的长，由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：交于H， 半径， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 13． 【分析】此题主要考查了圆周角定理，平行线的性质，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．先由圆周角定理，可得：，然后由平行线的性质即可． 【详解】解：,， ， 故答案为： 14． 【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长列出方程求解是解题的关键． 【详解】解：设底面圆的半径为， 则：， 解得：， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查等边三角形性质，正六边形性质，扇形面积公式等．根据题意先计算出的面积，再计算扇形面积及面积，即可得到本题答案． 【详解】解：过点作交于点，连接， ， ∵的内接正六边形的边长为4，H为边的中点， ∴，，，为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴扇形面积：， ∵， ∴阴影部分的面积：， 故答案为：． 16．52 【分析】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键；连接，由题意易得，点B在以为直径的圆上，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴点B在以为直径的圆上， 由题意可知， ∴， ∵量角器0刻度线的端点P与点C重合， ∴点E在量角器上对应的读数是52度； 故答案为：52． 17．/度 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理可得出答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 18． 【分析】本题考查了扇形圆心角，先设,则，底圆周长为，则，即可作答． 【详解】解：∵，在中， ∴设, 那么底圆周长为 故 故答案为： 19． 【分析】本题考查了旋转的性质、三角形全等的判定与性质、扇形的面积公式、勾股定理，作于，由勾股定理可得，由旋转的性质可得：，，，，，证明，得出，再由，进行计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：作于， ， 在中，，，， ， 由旋转的性质可得：，，，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：． 20．①②④ 【分析】本题主要考查圆的性质，弦、弧和角度之间的关系，熟练掌握圆的性质是解题的关键．根据圆的相关性质进行求解即可． 【详解】证明：弦平分圆周角， ， ，故①正确； ， 是的直径， ， 是等腰直角三角形，故②正确； 作的延长线于点，于点， ， ， 四边形是矩形， ， 即， 弦平分圆周角，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在中， ， 同理可得， ，故③错误； ， ， ，故④正确． 故答案为：①②④． 21．(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了旋转变换的性质，扇形的面积公式，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键． （1）根据旋转到性质找出对应点即可求解； （2）根据图形可直接写出答案； （3）根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：所得点的坐标为， 故答案为：； （3）解：，， 线段扫过的图形的面积， 故答案为：． 22．，． 【分析】为切点，由切线的性质，可想到连接，通过等边对等角，和余角的计算，即可得求解，本题考查了切线的性质，圆的性质，以及圆相关角度的计算，解题的关键是熟练掌握切线的性质． 【详解】解：连接， ，， ， 又是直径， ， ， ， ， ，是的切线， ，，即， ， ， 故，． 23．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握切线的定是解题的关键． （1）根据作线段的垂直平分线的基本做法作图; （2）根据“过半径的外端，垂直于半径的直线是圆的切线”进行证明． 【详解】（1）解：如图: 直线即为所求； （2）证明： 连接, ∵是圆的直径， ， ， 由作图得：为的中点， ， ， ， ， ， ， ∵为圆的半径， ∴是的切线． 24．(1)2 (2) 【分析】本题以圆为几何背景，考查了中位线定理、垂径定理、勾股定理等知识点．熟记定理内容是解题关键． （1）由题意可得且，据此即可求解； （2）由“垂径定理”可得，连接，在求出线段的长度即可求解． 【详解】（1）解：∵为的直径， 为的中点，O为的中点， （2） ∵弦于点， 连接， 在中， ． 25．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接．根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，再根据直径所对的圆周角是直角，得到，进而推出，即可证明结论； （2）连接，可证是等腰直角三角形，进而得出，绕旋转一周得到的几何体为两个相同的底面相对的圆锥，利用圆锥的侧面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． ，， ，， ， 是的直径，点在上， ，即． ， ，即． 是半径， 为的切线． （2）解：如图，连接， 的半径等于， ，． ，， ． 是的直径，点为在上， ， 是等腰直角三角形， ． 由勾股定理，得， 解得， 绕旋转一周得到的几何体为两个相同的底面相对的圆锥，半径为，母线长为， 表面积． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，圆锥的侧面积公式等知识，掌握圆的相关性质，利用空想想象力判断出旋转后的几何体是解题关键． 26．(1)证明见解析 (2)5 【分析】 本题考查了正方形的性质、圆的切线的性质、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键． （1）连接，先根据圆的切线的性质可得，再证出，根据平行线的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，从而可得，由此即可得证； （2）连接，先证出，再设，则，，，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接，    与相切于点， ，即， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 平分． （2）解：如图，连接，    四边形是正方形， ，， 是的直径， ， 由（1）已证：， ， ， ， ， ∴设，则， ， ， 则在中，． 27．(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据四边形内角和为，列式计算，即可作答； （2）依题意，由变形得，通过旋转构造出，并将转化到一个直角三角形中可证；将绕点C顺时针旋转，得到，如图，连接，则；第（1）中已证，又，得又，则四边形是平行四边形，；由知得，故在中，，即； （3）分析题意，点G在直线、直线夹角的角平分线上，又因为点G是线段上任意一点，由此可知线段为直线、直线夹角的角平分线被线段所截的线段，延长线段交于M，由第（1）问中结论知，取中点，连接，则，点M在以为圆心以2为半径的圆上运动，连接并延长，交圆于点N，易证点N大直径下方弧的中点，则.连接，取中点O，连接，易证，则点H在以O为圆心2长为半径的圆上运动，连接，则，当H运动到上时，最小，且． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）解：连接，将绕点C顺时针旋转，得到，如图，连接， ∴； ∵ ∴ 则 ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴ ∴ 则在中， ∵ ∴ 即； （3）解：依题意，如图： ∵点分别为线段和上的点，点是线段上任意一点且和的面积相等， ∴点G在直线、直线夹角的角平分线上， ∵∵点是线段上任意一点，且 ∴线段为直线、直线夹角的角平分线被线段所截的线段，如图所示 ： 依题意，延长线段交于M，由第（1）问中结论知，取中点，连接， ∵ 则， 故点M在以为圆心以2为半径的圆上运动，为 连接并延长，交圆于点N， ∵且平分 ∴ ∵为直径，且 ∴ 则点N为直径下方弧的中点， 即 连接，取中点O，连接， 在中， ∴ ∴， 则点H在以O为圆心2长为半径的圆上运动，连接，如图： 则，当H运动到上时，最小， 且． ∵ ∴ 【点睛】本题考查了圆综合：角平分线的判定与性质，圆周角性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，综合性强，难度大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 28．(1)； (2)半径的长为． 【分析】本题考查了垂径定理，解题关键在于利用垂径定理和勾股定理构造关于半径的方程． （1）根据垂径定理即可求得； （2）利用勾股定理可以得到关于半径的一个方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：设，则， 在直角三角形中，， 即， 解得， 答：半径的长为． 29．(1)见解析 (2) (3)图见解析， 【分析】（1）连接，可证，于是，故，又，等量代换即可得到，故结论得证； （2）由（1）知，根据勾股定理可求得半径； （3）在中根据勾股定理，解得，根据为内心，得到，根据同弧所对的圆周角相等得到，根据三角形外角定理可得，又由，故得，进而求得，，勾股定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，如图：     ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 即， ， 直线是的切线． （2）解：由（1）得：， ， 设； 在中，，， ，   解得：， 的半径为； （3）解：如图：   ， ， 点是的内心， 的角平分线与的交点就是， 在中，，， ， 平分， ， ， ， ， 即， ， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，切线的判定，角平分线性质，勾股定理，熟练掌握以上性质定理进行推理是解决本题的关键． 30．(1)，证明见解析 (2)当P运动到的中点时，是小圆的切线，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用“C是的中点，”，证明与都是等边三角形，从而得到，从而证明四边形是菱形，利用扇形面积和菱形面积公式和计算阴影面积即可； （2）根据是等边三角形可知若是小圆的切线，则又三线合一性质可知点P是的中点，从而得解； （3）连接，证明和都是含30度的直角三角形，从而得到，， ，过点H做于P，又证明是含30度的直角三角形，得到，，，从而利用勾股定理求得． 【详解】（1）解：连接与交于点M， 则C是的中点，， ∴， 又∵， ∴与都是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴垂直平分，， ∴，则， ∴． 故答案为：． （2）当P运动到的中点时，是小圆的切线，理由如下： 如图，连接， 由（1）得：是等边三角形， 又∵点P是的中点， ∴， ∴是小圆的切线， 即当P运动到的中点时，是小圆的切线； （3）如图，连接， ∵都是等边三角形，，垂直交于E， ∴ 又∵是直径， ∴， ∴， ∴，， 又∵，G是线段中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 过点H做于P， 则有：，， ∴，， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$