广东省2024-2025学年九年级上学期期末数学专题复习 二次函数 专项练习

广东省2024-2025学年度九年级上学期期末数学专题复习 二次函数部分重难点专项练习 本资料以2023年广东省各大市期末考试题目汇编而成，旨在为学生期末复习理清方向！ 一、单选题 1．（23-24九年级上·广东湛江·期末）二次函数的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数关系式是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广东云浮·期末）已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法错误的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．图象的对称轴是直线 D．图象与轴无交点 3．（23-24九年级上·广东云浮·期末）已知是二次函数的图象上的两点，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·广东江门·期末）把抛物线向右平移一个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·广东肇庆·期末）抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·广东江门·期末）已知二次函数的图象只经过三个象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图所示是二次函数的图象，则的值是（     ）    A． B． C． D．或 8．（23-24九年级上·广东湛江·期末）已知直线的图象如图所示，则抛物线的图象可能是（　　） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·广东东莞·期末）抛物线 的对称轴是直线，与 轴负半轴的交点坐标为 ，且，则下列结论中，正确的有(   )个 ①② ③ ④⑤若 ，且，则 A．2 B．3 C．4 D．5 10．（23-24九年级上·广东惠州·期末）如图， 二次函数． 的图象经过点，下列四个结论中∶①抛物线开口向上； ②当时， y取最大值；③当时，关于的一元二次方程 必有两个不相等的实数根∶ ④直线经过点A， C， 当 时，的取值范围是． 正确的个数有（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．（23-24九年级上·广东汕头·期末）请你写出一个同时满足下列两个条件：①对称轴是直线，②与y轴的交点为的二次函数的解析式为 12．（23-24九年级上·广东东莞·期末）写出令二次函数与x轴有且只有一个公共点的条件 （写一个答案即可）． 13．（23-24九年级上·广东湛江·期末）把函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后图象的函数解析式为 ． 14．（23-24九年级上·广东肇庆·期末）烟花厂为庆祝元旦晚会特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 ． 15．（23-24九年级上·广东云浮·期末）若关于x的二次函数的图象与x轴有2个公共点，则m的取值范围是 ． 16．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，则水面宽度增加 ．（结果可保留根号） 17．（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图，抛物线的对称轴是直线，且抛物线与轴交于，两点，若，则下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则，正确的是 .（填序号）    18．（23-24九年级上·广东广州·期末）已知二次函数的函数值和自变量的部分对应取值如下表所示： … 0 1 2 3 … … 1 1 … 若在，，这三个实数中，只有一个是正数，则的取值范围是 . 19．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图，已知抛物线的对称轴是直线，直线轴，且交抛物线于点，，下列结论一定正确的是 .    ①；②若为任意实数，则；③；④当时，；⑤. 20．（23-24九年级上·广东江门·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ． 三、解答题 21．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，二次函数图象经过点、、． (1)求此二次函数的解析式； (2)观察函数图象，试直接写出时，的取值范围． 22．（23-24九年级上·广东湛江·期末）已知二次函数的图象如图所示． (1)用配方法求该函数图象的顶点坐标和对称轴． (2)结合函数图象，直接写出当时的取值范围． 23．（23-24九年级上·广东汕头·期末）已知抛物线的对称轴为，且经过点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)抛物线上是否存在点，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由． 24．（23-24九年级上·广东梅州·期末）某商城销售一种进价为10元1件的饰品，经调查发现，该饰品的销售量y（件）与销售单价x（元）满足函数，设销售这种饰品每天的利润为W（元）． (1)求W与x之间的函数表达式； (2)当销售单价定为多少元时，该商城获利最大？最大利润为多少？ (3)在确保顾客得到优惠的前提下，该商城还要通过销售这种饰品每天获利750元，该商城应将销售单价定为多少？ 25．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点D是抛物线上一点，当的面积为10时，求出点D的坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，是否存在以为腰的等腰直角，如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 26．（23-24九年级上·广东梅州·期末）已知二次函数的图象和x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是直线上方的抛物线上的动点． (1)求直线的解析式． (2)当P是抛物线顶点时，求面积． (3)在P点运动过程中，求面积的最大值． 27．（23-24九年级上·广东惠州·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此函数的关系式； (2)在下方的抛物线上有一点N，过点N作直线轴，交于点M，当点N坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ (3)在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A，B，K，L为顶点形成平行四边形，求出K，L点的坐标． 28．（23-24九年级上·广东潮州·期末）如图，已知抛物线过点、，过点A作直线轴，交抛物线于另一点C，在轴上有一点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)若在抛物线上存在点Q，使得平分，请求出点Q的坐标； (3)一动点P从C点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，运动时间为t秒，另一动点M在线段上，问是否存在某一时刻使？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 29．（23-24九年级上·广东惠州·期末）【知识与方法】 如图1，，，轴，轴，则C（_____，_____），______，_______． 【知识应用】 如图2，勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标数据（单位：），笔直铁路经过A，B两地． （1）A，B间的距离为______m； （2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为______． 【知识拓展】 如图3，点B是抛物线与x轴的一个交点，点D在抛物线对称轴上且位于x轴的上方，，点P是第四象限内抛物线上的一个动点，求点P到直线的距离最大值． 30．（23-24九年级上·广东珠海·期末）【实践探究】 数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程： (1)实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面时，水面宽，并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式； (2)应用：按规定，船通过拱桥时，顶部与拱桥顶部在竖直方向上的高度差至少为．一场大雨，让水面上升了，为了确保安全，问该拱桥能否让宽度为、高度为的货船通过?请通过计算进行说明（货船看作长方体）； (3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条的直线，交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，提出了以下两个问题，请予解答： ①如图2，B为直线上方抛物线上一动点，过B作垂直于x轴，交x轴于A，交直线于C，过点B作垂直于直线，交直线于，求的最大值． ②如图3，G为直线上一动点，过G点作x轴的垂线交抛物线于点H，点P在坐标平面内．问：是否存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形?若存在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案： 1．D 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答． 【详解】解：二次函数的图象向右平移3个单位， 得：． 故选：D． 2．C 【分析】本题考查二次函数的性质，把二次函数解析式化为顶点式，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，图象与轴无交点． 故选：C． 3．D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据题意确定函数的对称轴和开口方向即可求解． 【详解】解：由题意得：二次函数的对称轴为直线：， 图象开口向上， 且当是，； ∵ ∴ 故选：D 4．A 【分析】本题主要考查了二次函数的平移变换，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 直接运用二次函数图像的平移规律解答即可． 【详解】解：由平移规律可得：将二次函数向右平移一个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的解析式为：． 故选：A． 5．D 【分析】此题考查的是二次函数图象的平移．根据二次函数的平移规律：左加右减，上加下减，即可得出结论． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是． 故选：D 6．A 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得该二次函数的图象与x轴交于两点，且，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∵该二次函数的开口向上，对称轴为直线，且只经过三个象限， ∴该二次函数的图象与y轴交于正半轴或过原点， ∴，即， 综上所述：m的取值范围为； 故选A． 7．C 【分析】此题考查了二次函数的图象．由图象得，此二次函数过原点，把点代入函数解析式得，解得的值． 【详解】解：由图象得，此二次函数过原点， 把点代入函数解析式得，解得； 又因为此二次函数的开口向上，所以； 所以． 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象与系数的关系，熟记一次函数在不同情况下所在的象限，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标等． 先根据一次函数的图象判断、的符号，再由此判断二次函数的图象所在的象限． 【详解】解：直线的图象过第一、二、四象限， ，． 由，可知抛物线与轴的交点在轴的负半轴，排除，两个答案； 又抛物线的对称轴，排除答案． 故选：B． 9．B 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，由图像确定式子的符号等知识，审清题意读懂函数图像是解题的关键．利用图像可直接读出a与c的符号，再根据对称轴为直线可得，从而判断①；根据抛物线与x轴有两个交点可判断②；由当时，，结合可判断③④，将因式分解成，利用推出，再结合可求出，从而判断⑤． 【详解】解：①由图可知抛物线开口向下，与y轴的交点在原点上方，即，， 又∵对称轴为直线，即， ∴， ∴，①错误； ②由图可知抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，②正确； ④由图可知当时，， ， 即，④正确； ③∴，③正确； ⑤∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴，⑤错误， 正确的有：②③④，共3个． 故选：B． 10．B 【分析】本题考查二次函数的图象，二次函数的对称性，以及二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式的关系．依据题意，结合函数图象，利用二次函数的对称性，恰当使用排除法，以及根据函数图象与不等式的关系可以得出正确答案． 【详解】①由图象可知，抛物线开口向下，所以①错误； ②若当时，取最大值，则由于点和点到的距离相等，这两点的纵坐标应该相等，但是图中点和点纵坐标显然不相等，所以②错误； ③当时，而点不是抛物线的顶点，则当时，抛物线与直线有两个交点，即于的一元二次方程必有两个不相等的实数根，所以③是正确的； ④因直线经过点，当 时，的取值范围是，从而④正确； ∴正确的有个， 故选: B． 11．（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的性质，只有熟知二次函数的性质才能正确的利用已知条件写出正确的解析式．首先根据对称轴为直线得到抛物线为，然后根据与轴的交点坐标求得解析式即可． 【详解】解：对称轴是直线， 抛物线可以是， 与轴的交点为， 符合条件的解析式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 12．（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的图象与x轴的交点问题，根据图象与x轴只有一个交点，得到判别式等于0，即可． 【详解】解：当时，二次函数与x轴有且只有一个公共点； 故答案为：（答案不唯一）． 13． 【分析】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．掌握此规律解题是本题的关键．按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可． 【详解】解：的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位， 得．即； 故答案为：． 14．4 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 把二次函数写成顶点式，顶点为礼炮点火升空到最高点处的位置，则顶点的横坐标即为所求． 【详解】解：∵ ∴当时，函数有最大值， ∴这种礼炮点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为秒． 故答案为：． 15．且 【分析】本题考查的是二次函数的定义，二次函数与x轴的交点问题，根据函数与轴有2个公共点可知，根据定义可得，计算可得到答案． 【详解】解：关于的二次函数的图象与轴有2个公共点， ∴且， 且， 解得：且， 故答案为：且． 16． 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，是解决问题的关键． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过水面，纵轴通过中点且通过点，则通过画图可得知为原点， 则抛物线以轴为对称轴，且经过，两点，可知， 则抛物线顶点坐标为， 设顶点式，代入点坐标， 得：， 所以抛物线解析式为， 把代入抛物线解析式得出：， 解得：， 所以水面宽度增加到，比原先的宽度当然是增加了， 故答案为：． 17．③④/④③ 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系是解答本题的关键．根据题意得抛物线开口向上，对称轴位置，抛物线与轴交点，得到，再根据，得到点的坐标为，进而判断②③，根据时，取最小值，得到，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： 抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线， ， 抛物线与轴交点在轴下方， ， ， 故①不正确；    设抛物线对称轴与轴交点为，则， ， ，即点的坐标为， 时，， ， 故②不正确； ， ， 故③正确； 时，取最小值， ， 即， 故④正确， 综上，③④正确， 故答案为：③④． 18． 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征， 先由表格数据得到，结合，，这三个实数中，只有一个是正数，得，，为非正数，把，， 代入，化简计算得，，再根据，，为非正数，列出不等求解即可作答．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：∵表格数据中，，时所对应的， ∴对称轴， ∴则，关于对称，则， ∵，，这三个实数中，只有一个是正数， ∴，，为非正数， 则开口向上， 把，， 代入， 则 ∴，， 则， 解得：， 又∵，为非正数， ∴当时，，得， 当时，，得， 综上，在，，这三个实数中，只有一个是正数，则的取值范围是． 故答案为：． 19．①②④ 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，数形结合思想等知识，掌握二次函数图象的性质是解题关键．根据函数图象可知，由此可判断出①；根据抛物线的对称轴可得出，也可得出函数的最小值，在处取到，由此可判断②；令，则，即抛物线与y轴交于点，根据函数图象可直接判断④；③没有直接条件判断． 【详解】解：根据函数图象可知，根据抛物线的对称轴公式可得， ∴， ∴，， ∴，故①正确，符合题意； ∵函数的最小值在处取到， ∴，故②正确，符合题意； ∵轴， ∴， 令，则，即抛物线与y轴交于点， ∴当时，． ∴当时，．故④错误，不符合题意； ∵， ∴，没有条件可以证明．故③错误，不符合题意； 则，得； 则，得； ∴ 由⑤， 得 相矛盾，故⑤是错误的． 故答案为：①②④ 20． 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，三角形中位线定理，勾股定理，圆的基本性质等知识；运用三角形中位线定理是本题的关键和难点． 连接，根据函数解析式，求坐标，然后求出，是线段的中点，是线段的中点，故是的中位线，当、、三点共线，且点在之间时，最大，即可求解． 【详解】解：连接，， ∵抛物线与轴交于、两点， 令即， 解得或， ， ， ∵， ， ， 是线段的中点，是线段的中点， 故是的中位线， ， 最大，即最大， 即、、三点共线，且点在之间时，最大， ， ， 故答案为：． 21．(1) (2)当时，的取值范围为：或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据图象即可得出答案． 【详解】（1）解：二次函数图象经过点、、， ， 解得：， 二次函数的解析式为：； （2）解：由图象可得：当时，的取值范围为：或． 22．(1)顶点坐标为，对称轴为直线； (2)或． 【分析】（）利用配方法把二次函数解析式转化为顶点式即可求解； （）利用对称性求出抛物线与轴的另外一个交点坐标，再观察函数图象即可求解； 本题考查了二次函数的顶点式，二次函数与不等式，运用配方法把二次函数解析式转化为顶点式是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：根据函数的对称性，抛物线和轴的另外一个交点坐标为， 观察函数图象知，当时，的取值范围为或． 23．(1)抛物线的解析式为，顶点坐标为 (2)不存在，理由见详解 【分析】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，及二次函数的性质． （1）直接利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）把点代入二次函数的解析，再解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为，且经过点， ， ， 故抛物线的解析式为， ， 顶点坐标为； （2）解：不存在，理由如下： 把代入，得 ， ， ， 原方程无解，即抛物线上不存在点． 24．(1) (2)销售单价为30时，该商城获利最大，最大利润为800元 (3)单价定为25元 【分析】 本题考查二次函数的实际应用： （1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式即可； （2）根据二次函数的性质，求出最值即可； （3）令，求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； （2）∵， ∴当时，有最大值800， ∴销售单价为30时，该商城获利最大，最大利润为800元； （3）当时，， 解得：或， ∵确保顾客得到优惠， ∴， ∴单价应定为25元． 25．(1) (2)或 (3)存在，或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法进行求解即可； （2）设点D的坐标为，根据三角形的面积公式得到，求出，再代入解析式，求出的值，即可得出结果； （3）分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：将点，点代入， ∴， 解得， ∴． （2）设点D的坐标为， ∵的面积为10， ∴，即， 解得． ①当时，， 解得：，， ∴D或． ②当时，， 此方程无实数根， 综上所述，点D的坐标为或． （3）存在， ①当时，， ∴M点与A点重合， ∴； ②当时，， 如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线，过点P作交于点H，过点M作交于点G， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 设，则， ∴，解得或． ∴或． ∵M点在对称轴的左侧， ∴M点坐标为． 如图2，当P点在M点下方时， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 设，则， ∴，解得（舍）或， ∴． 综上所述：M点的坐标为或或． 26．(1) (2)3 (3) 【分析】（1）由题意分别将、代入二次函数解析式中求出点C、A的坐标，再根据点A、C的坐标利用待定系数法即可求出直线AC的解析式； （2）由题意先根据二次函数解析式求出顶点，进而利用割补法求面积； （3）根据题意过点作轴交于点并设点的坐标为()，则点的坐标为，进而得到，利用面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：分别将、代入二次函数解析式中， 当时，，则， 当时，，， 根据二次函数的图像可知，点， 设直线的解析式为： 将，代入， 得：， 解得： ∴直线的解析式为． （2）由，将其化为顶点式为，可知顶点P为， 如图P为顶点时连接并延长交x轴于点G， 设直线的解析式为， 将P点和C点代入得，解得， 则的解析式为， 即G为， 那么=3； （3）过点作轴交于点． 设点的坐标为()，则点的坐标为 ∴， 当时，取最大值，最大值为． ∵， ∴面积的最大值为． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质以及解二元一次方程组，解题的关键是利用待定系数法求出直线解析式以及利用二次函数的性质进行综合分析． 27．(1) (2)N的坐标为，有最大值 (3)或或． 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握用待定系数法求函数解析式以及数形结合思想是解题的关键． （1）由求得，然后分别代入抛物线解析式，得到以b，c为未知数的二元一次方程组，求出b，c的值即可； （2）先求出直线的解析式，再设出M、N的坐标，把表示成二次函数，再运用二次函数的性质求最值即可； （3）先求出点B的坐标，然后分为边、为对角线两种情况，分别画出图形，再根据平行四边形的性质以及坐标与图形进行分析计算即可． 【详解】（1）∵抛物线经过点A，点C，且, ∴, ∴将其分别代入抛物线，可得， 解得． 故此抛物线的函数表达式为：． （2）解：设直线的解析式为， 将代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设N的坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，且为， 把代入抛物线得，N的坐标为， 当N的坐标为，有最大值． （3）解：∵， ∴抛物线对称轴为， 令得，， 解得，，， ∴点B的坐标为； ①当和是平行四边形的对角线时，点和都在对称轴上时， ∴； ②当和是平行四边形的两条对边，且在y轴右侧时， ∵， ∴， ∴的横坐标为3， ∴； 当和是平行四边形的两条对边，且在y轴左侧时， ∵， ∴的横坐标为， ∴； 综上所述，K、L点的坐标为或或． 28．(1) (2) (3)或 【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式； （2）先根据抛物线表达式求点C的坐标，结合点A、D坐标求得、的长，取，连接交抛物线于点Q，证明四边形是菱形，可得平分，根据点C、E坐标求得直线的表达式，最后结合抛物线表达式组成方程组求解即可； （3）取，过点E作于点，交于，过点E作于点，交于，由轴、点A坐标结合菱形的对称性可得，根据点C、E的坐标可得、的值，再结合、的长即可求得t的值． 【详解】（1）解：将、分别代入，得 ，解得， 抛物线的表达式为； （2）当时，， 解得，， ， ， ，， ， ， 取，连接交抛物线于点Q，如图1所示， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 平分， 设直线的表达式为， 将，代入上式，得 ，解得， 直线的表达式为， 联立直线与抛物线表达式组成方程组，得 ，解得，， ； （3）取，连接、，过点E作于点，交于，过点E作于点，交于， 四边形是菱形， 点A、E关于对称， ， ， 轴，， ，， ， 由菱形的对称性可得，， 点P、M分别位于、或、时，， 由（2）可知， ， ， 或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的判定与性质，解题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；通过构造菱形找出点Q的位置；利用菱形的性质找出确定点P的位置． 29．【知识与方法】，；；；【知识应用】（1）20；（2）13；【知识拓展】点P到直线的距离最大值 【分析】知识与方法：根据坐标与图形的性质解答即可； 知识应用：（1）建立平面直角坐标系，可求出的值； （2）设，D到A，C的距离相等，根据勾股定理列方程求出，进而可求出C，D间的距离； 知识拓展：作交于点F，作于点G，求出，由锐角三角函数的知识得，从而取得最大值时，取得最大值．求出直线的解析式，设，，列出关于n的二次函数解析式，然后利用二次函数性质即可求解． 【详解】解：知识与方法：∵，，轴，轴， ∴，， 故答案为：，；；； 知识应用：如图， （1）． 故答案为：20； （2）设， ∵D到A，C的距离相等， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：13； 知识拓展：作交于点F，作于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴取得最大值时，取得最大值． ∵， ∴， ∴可设． 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴． 设，， ∴， ∴当时，取得最大值， 点P到直线OD的距离最大值为． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理，待定系数法求函数解析式，解直角三角形，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． 30．(1) (2)该货船不能通过，理由见解析 (3)①；②或 【分析】（1）设抛物线的解析式为，将代入，即可求解； （2）根据题意将代入解析式，得出，而轮船安全通过需要米，即可求解； （3）①依题意，得出，是等腰直角三角形，则，进而设点，则，表示出，根据二次函数的性质，即可求解； ②由①可得，当以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形时，是等腰直角三角形，将代入，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 测得当拱顶高离水面时，水面宽，则抛物线经过， 当时， ， 即，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：依题意，当宽度为、高度为的货船通过， ∴， 将代入解析式得：， ， ∴该货船不能通过； （3）解：①∵， 抛物线的对称轴为直线， ∵交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E， ∴， ∴， ∵，则是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设点，则， ∴∴当时，取得最大值为, 则的最大值为． ②由①可得，当以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形时，是等腰直角三角形， ∴，且， ∵， ∴的纵坐标为， 将代入 解得：或 ∴的横坐标为，或， 又∵G为直线上一动点， ∴或． 学科网（北京）股份有限公司 $$