精品解析：四川省内江市威远中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

威远中学校2024-2025学年度上期期中测试题 九年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：160分） 注意事项： 1．本试卷分A卷（100分）和B卷（60分）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． A卷（共100分） 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 下列方程中一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组的四条线段成比例的是（ ） A. ，3，2， B. 4，6，5，1 C. 1，2，，2 D. 2，3，4，1 4. 已知式子成立，则k的值是（ ） A. -1 B. 2 C. -1或2 D. 无法确定 5. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. 某试验田2020年的平均亩产量为800kg，预计2022年的平均亩产量将达到1000 kg，若设平均亩产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为（ ） A. 800（1+x）=1000 B. C. D. 7. 如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为（ ） A. B. C. D. 8. 若方程的两个实数根分别为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知实数满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，当a为正整数时，a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 4 11. 实数a 、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. 0 B. C. D. 12. 如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．则上述结论正确的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 第Ⅱ卷 二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，答案写在答题卡上） 13. 计算的结果是________． 14. 若是一元二次方程的一个实数根，则的值是_____． 15. 如图，，，，则________． 16. 已知是直角的两边长，且满足，则直角的周长为_________． 三、解答题 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 我们知道无理数都可以化为无限不循环小数，所以的小数部分不可能全部写出来，若的整数部分为a，小数部分为b，则，且． （1）的整数部分是 ，小数部分是 ； （2）若的整数部分为m，小数部分为n，求的值． 20. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）作出先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到的； （2）在第三象限内，以点O为位似中心作出的位似图形，使新图与原图的位似比为． （3）在（2）的条件下，若M为边上的中点，则的边上与点M对应的点的坐标为______． 21. 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为配方法．利用以上配方法解决下列问题： （1）利用配方法分解因式：． （2）求二次三项式的最小值． （3）已知是实数，试比较与的大小，请说明理由． B卷（共60分） 一、填空题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分，答案写在答题卡上） 22. 计算：________． 23. 在中，，，．现有动点P从点A出发，沿线段向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段向点B方向运动．如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为．当_______秒时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似？ 24. 若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使关于x的一元二次方程有实数根，则符合条件的整数m的和为______． 25. 定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的有_____（填正确的序号）． 二、解答题 26. 小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度.一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示.于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器CD，测得；再在BD的延长线上确定一点G，使米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得米，小明眼睛与地面的距离米，测量器的高度米.已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，则这棵古树的高度AB为多少米？（小平面镜的大小忽略不计） 27. 解决问题：银川市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个， ①若售价上涨1元，每月能售出______个头盔，若售价上涨元，每月能售出__________个头盔． ②为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 28. 【基础巩固】（1）如图1，在中，是边上一点，是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，点是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中，，以为直角顶点作等腰直角三角形（其中），点在上，点在上．若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 威远中学校2024-2025学年度上期期中测试题 九年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：160分） 注意事项： 1．本试卷分A卷（100分）和B卷（60分）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． A卷（共100分） 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 下列方程中一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析即可. 【详解】解：A、的分母含未知数，是分式方程，故不符合题意； B、当时，变为，不是一元二次方程，故不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、整理得，不是一元二次方程，故不符合题意. 故选C. 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2次，象这样的方程叫做一元二次方程． 2. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据二次根式的运算法则进行判断． 【详解】解：A：已经是最简结果，并不等于，故该选项不合题意； B：，故该选项不合题意； C：，正确，故该选项符合题意； D：，故该选项不合题意．   故选：C ． 3. 下列各组的四条线段成比例的是（ ） A. ，3，2， B. 4，6，5，1 C. 1，2，，2 D. 2，3，4，1 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．根据比例线段的定义对选项一一分析，即可得出答案． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故符合题意； D、，故不符合题意． 故选：C． 4. 已知式子成立，则k的值是（ ） A. -1 B. 2 C. -1或2 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据等式的性质，可得2（a+b+c）=k（a+b+c），根据因式分解，可得a+b+c=0或k=2，根据分式的性质，可得答案． 【详解】解：由，得 b+c=ak　①，a+c=bk　②，a+b=ck　③， ①+②+③，得 2（a+b+c）=k（a+b+c）， 移项，得 2（a+b+c）-k（a+b+c）=0， 因式分解，得 （a+b+c）（2-k）=0 a+b+c=0或k=2， a+b+c=0时，b+c=-a， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了比例的性质，因式分解．利用等式的性质得出2（a+b+c）=k（a+b+c）是解题关键．注意不要忽略a+b+c=0这种情况． 5. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的符号对各选项进行判断． 【详解】解：A、，方程有两个相等的实数根，所以A选项符合题意； B、，方程有两个不相等的实数根，所以B选项不符合题意； C、，方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意； D、，，方程无实数根，所以D选项不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，熟练掌握根与判别式的关系是解题的关键． 6. 某试验田2020年的平均亩产量为800kg，预计2022年的平均亩产量将达到1000 kg，若设平均亩产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为（ ） A. 800（1+x）=1000 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均增长率公式：(a为增长前的量，b为增长后的量，n为增长次数，x是年平均增长率)即可列式． 【详解】解：根据增长率公式：， 列式得： 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用－增长率问题，解决本题的关键是掌握增长率公式，正确列出式子． 7. 如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，求得CD的长只需证的△ABP∽△PCD即可． 【详解】∵△ABC为等边三角形， ∴∠B=∠C=60°,AB=BC=3 又BP=1， ∴ PC=2， 又∠APD=60°，∠BAP=∠CPD, ∴△ABP∽△PCD ∴AB:CP=BP:CD 即，3:2=1：CD, ∴CD= ∴选项A,C,D错误， 只有B正确． 【点睛】本题难度小，在解题过程中注意找准对应边，由已知可得到相似比，从而求出． 8. 若方程的两个实数根分别为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，根据两根之和等于，两根之积等于求出和，再代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∴， 故选：． 9. 已知实数满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，算术平方根的定义，根据算术平方根的定义得到，则，进而得到，即可求得． 【详解】解：∵要有意义， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：B． 10. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，当a为正整数时，a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，计算出的范围，根据要求取是正整数的值． 【详解】解：由方程， 知， 要使方程有两个不相等的实数根， 则， 即， 解得：， 要取正整数， 或， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是：要求掌握，当时，方程有两个不等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 11. 实数a 、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断． 根据实数和在数轴上的位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，， ∴ ， 故选：A． 12. 如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．则上述结论正确的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质得，可知，而，可知，可判断①正确；利用，，可知，则②正确；利用，得，且，可知③错误；延长交于，由，得，可判断④正确． 【详解】解：四边形与四边形都是正方形， ，， ，，， ， ， 设与相交于点， ，， ， ， 故①正确； ，， ， ， ， ， 故②正确； 如图，延长交于， ， ， ， ， 故④正确； ，， ， ， ， ， 故③错误， 正确的是①②④， 故选B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质． 第Ⅱ卷 二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，答案写在答题卡上） 13. 计算的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法运算法则解题即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 若是一元二次方程的一个实数根，则的值是_____． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；根据一元二次方程根的定义，将代入方程得到，再代入所求表达式即可求解． 【详解】解：因为是一元二次方程的一个实数根，所以满足方程，即，则有， ∴； 故答案为2026． 15. 如图，，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线段成比例定理列出比例式，再根据比例的基本性质进行计算． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 16. 已知是直角的两边长，且满足，则直角的周长为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了因式分解及勾股定理．先运用分组分解法进行因式分解，求出a，b的值，然后根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，． 分两种情况讨论： 当4为斜边时，另一直角边长为， 直角的周长为； 当4为直角边时，斜边长为， 直角的周长为； 综上所述：该直角三角形的周长为或． 故答案为：或． 三、解答题 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，注意计算的准确性． （1）先化简二次根式，再计算二次根式的乘除，然后合并同类二次根式即可求解； （2）计算完全平方公式、平方差公式计算即可求解； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程． （1）直接利用因式分解法解答即可； （2）先把方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用公式法解答即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ，，， ∴， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 19. 我们知道无理数都可以化为无限不循环小数，所以的小数部分不可能全部写出来，若的整数部分为a，小数部分为b，则，且． （1）的整数部分是 ，小数部分是 ； （2）若的整数部分为m，小数部分为n，求的值． 【答案】（1）4， （2） 【解析】 【分析】（1）利用无理数的估算求值； （2）利用无理数的估算确定m和n的值，然后代入求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴的整数部分是4，小数部分是； 故答案为：4；． 【小问2详解】 ∵，的整数部分为m，小数部分为n， ∴，， ∴． 【点睛】本题查看无理数的估算，二次根式的加减混合运算，掌握算术平方根的概念和二次根式的加减运算法则是解题关键． 20. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）作出先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到的； （2）在第三象限内，以点O为位似中心作出的位似图形，使新图与原图的位似比为． （3）在（2）的条件下，若M为边上的中点，则的边上与点M对应的点的坐标为______． 【答案】（1） 如图，为所求图形； （2） 如图，为所求； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查平移，位图图形的性质，熟练掌握位似图形是解题的关键． （1）根据题意得到对应点的坐标，画出平移图形即可； （2）根据相似比分别求出对应点的坐标，进行画图即可． （3）根据中点坐标公式求出M的坐标，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据相似比可得，， 【小问3详解】 解：根据题意，若M为边上的中点， ． 故答案为：． 21. 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为配方法．利用以上配方法解决下列问题： （1）利用配方法分解因式：． （2）求二次三项式的最小值． （3）已知是实数，试比较与的大小，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查配方法及整式的加减运算，掌握因式分解，完全平方公式是解题的关键， （1）利用配方法先对原式，然后再，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）利用配方法求出二次三项式的最小值即可； （3）将两式作差，通过跟0进行比较即可得出结论． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ， 当时，二次三项式的最小值为； 【小问3详解】 略 B卷（共60分） 一、填空题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分，答案写在答题卡上） 22. 计算：________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的计算，掌握二次根式运算法则以及分母有理化是解题的关键． 先分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：9． 23. 在中，，，．现有动点P从点A出发，沿线段向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段向点B方向运动．如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为．当_______秒时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】2或 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质，应分两种情况：当时，根据，可将时间求出；当时，根据，可求出时间． 【详解】解：由题意得，，则， ∵，， ∴当时，， 即，解得； 当时，， 即，解得． 因此秒或秒时，以点、、为顶点的三角形与相似， 故答案为：2或． 24. 若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使关于x的一元二次方程有实数根，则符合条件的整数m的和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解、一元二次方程根的判别式，解本题的关键在综合得出m的取值范围．把不等式组整理为，再根据不等式组有解，得出不等式组的解集为，再根据不等式组有4个整数解，得出关于的不等式组的整数解为：、、，0，进而得出，解出m的取值范围，再根据一元二次方程根的判别式与根的个数的关系，得出，解出m的取值范围，然后综合得出m的取值范围，进而得出符合条件的整数m为3、4、5、6，据此即可得出答案． 【详解】解：关于的不等式组，整理可得：， ∵关于的不等式组有解集， ∴不等式组的解集为：， ∵关于的不等式组有且仅有4个整数解， ∴关于的不等式组的整数解为：、、，0， ∴， 解得：， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 综上所述，m的取值范围为， ∴符合条件的整数m为3、4、5、6． ∴， 故答案为： 25. 定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的有_____（填正确的序号）． 【答案】 ①②③ 【解析】 【分析】本题考查新定义和一元二次方程，根据倒方程的定义，分别验证每个结论的正确性： ①通过代入求解； ②利用判别式即可； ③通过判别式得到，代入倒方程判别式可得； ④举反例说明不成立． 【详解】解：结论①，原方程 的倒方程为 ， 将 代入得 ， 解得 ， 故①正确； 结论②，当 时， 判别式 ， 两个方程均有两个不相等的实数根， 故②正确； 结论③， 原方程无解， ， 即 ， 倒方程判别式 ， 倒方程无解， 故③正确； 结论④， 举反例说明，当 时，原方程为， 若要其有两个不相等的实数根，则其判别式：， 即， 原方程 的倒方程为 ，，， 倒方程为，是一元一次方程， 只有一个根， 故④错误． 故答案为①②③． 二、解答题 26. 小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度.一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示.于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器CD，测得；再在BD的延长线上确定一点G，使米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得米，小明眼睛与地面的距离米，测量器的高度米.已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，则这棵古树的高度AB为多少米？（小平面镜的大小忽略不计） 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，则，，解，得出，那么，再证明，因此得出，再求出即可. 【详解】如图，过点作于点，则，， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴ 由反射角等于入射角得, ∴, ∴，即， 解得 ∴ ∴这棵树高18米. 【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，证明三角形相似是解题的关键. 27. 解决问题：银川市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个， ①若售价上涨1元，每月能售出______个头盔，若售价上涨元，每月能售出__________个头盔． ②为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）①590，②该品牌头盔的实际售价应定为50元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意，正确的列出方程，是解题的关键； （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，列出方程进行求解即可； （2）①根据售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，求解即可； ②根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意，得： ， 解得：或（舍去）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 ①售价上涨1元，每月能售出个头盔，售价上涨元，每月能售出个头盔； 故答案为：590，； ②由题意，得：， 解得：或， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， ∴售价应定为：（元） 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元． 28. 【基础巩固】（1）如图1，在中，是边上一点，是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，点是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中，，以为直角顶点作等腰直角三角形（其中），点在上，点在上．若，求的长． 【答案】 （1）证明：，， ， ， ∴， ， ， ， ； （2）5； （3）10 【解析】 【分析】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三等角基本几何模型是解题的关键． （1）利用一线三等角模型，可说明，得； （2）如图2中，延长交的延长线于点．证明，推出，求出，，再利用勾股定理求解； （3）过点作与交于点，使，由（1）同理得，可知，再利用，可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图2中，延长交的延长线于点． ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； （3）解：如图，过点作与交于点，使， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，（舍去） ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $