河南省2024-2025学年九年级上学期期末数学专题复习圆部分重难点专项练习

河南省2024-2025学年度九年级上学期期末数学专题复习 圆部分重难点专项练习 本资料以2023年河南省各大市期末考试题目汇编而成，旨在为学生期末复习理清方向！ 一、单选题 1．（23-24九年级上·河南新乡·期末）下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，⑤长度相等的两条弧是等弧，⑥圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24九年级上·河南漯河·期末）如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，都是的半径，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·河南郑州·期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的直径长是（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·河南南阳·期末）如图，已知是的直径，与相切于点，．则下列结论中不一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，是的直径，点在圆周上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，，点D为的中点，以2为半径作，则下列说法不正确的是（　　）    A．点A在圆外 B．点C在圆上 C．与直线相切 D．与直线相交 8．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，一个隧道的横截面是以O为圆心的圆的一部分，点D是中弦的中点，经过圆心O交于点C，若路面，此圆的半径的长为5，则净高的长为（    ） A．5 B．6 C． D．9 9．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，半径为2的是正六边形的外接圆，则下列说法错误的是（    ） A．点O是正六边形的中心 B．正六边形的边长是2 C．正六边形的中心角是 D．正六边形的边心距 10．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，一个扇形纸片的圆心角为，半径为4，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（23-24九年级上·河南新乡·期末）有下列命题：①不在同一条直线上的三个点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弦相等；③同弧（或等弧）所对的圆心角等于该弧所对的圆周角的一半；④三角形内切圆的圆心是三角形的内心，是三边垂直平分线的交点；⑤圆内接四边形的对角互补．其中真命题的个数有 个． 12．（23-24九年级上·河南信阳·期末）在中，，则的外接圆半径R与内切圆半径r的差 ． 13．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，已知、是的直径，，，则 14．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，在中，是的内切圆，若，则图中阴影部分的面积为 ． 15．（23-24九年级上·河南许昌·期末）扇面画是中国传统书画中一种独具特色的艺术样式，将扇子的实用功能与书画的观赏功能巧妙结合．如图所示，已知，，的长为，则的长为 ． 16．（23-24九年级上·河南新乡·期末）如图，在边长为1的网格中，点，，都为格点，线段经过点．以为圆心，为半径画弧，弧经过格点交所在格线于点，则阴影部分的面积是 ． 17．（23-24九年级上·河南开封·期末）如图，从一块直径为2的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，则被剪掉部分的面积为 （结果保留）． 18．（23-24九年级上·河南周口·期末）一扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的弧长为 cm． 19．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，在矩形中，，将绕点A按逆时针方向旋转到（点A、B、E在同一直线上），则在运动过程中所扫过的面积为 ． 20．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，在平面直角坐标系中，是直线：上的一个动点，的半轻为1，过点作的切线，切点为，则长度的最小值为 ． 三、解答题 21．（23-24九年级上·河南三门峡·期末）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上． (1)以O为原点建立直角坐标系，点B的坐标为，则点A的坐标为______； (2)画出绕点O顺时针旋转90°后的，并求线段扫过的面积． 22．（23-24九年级上·河南信阳·期末）如图，为的直径，过圆上一点D作的切线交的延长线于点C，过点O作，交于点E，连接． (1)求证：直线与相切； (2)若，，求直径的长． 23．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，已知等腰内接于，过点作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径长为1，求的长． 24．（23-24九年级上·河南漯河·期末）如图，的直径垂直于弦于点F，点P在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)若的直径为4，弦平分半径，求图中阴影部分的面积． 25．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，在中，经过A、B两点的与边交于点E，圆心O在上，过点O作交于点D，连接交于点F，且． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 26．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，是半圆的直径，点是半圆上一点（不与点，重合），连接，．点为线段延长线上一点，连接，． (1)求证：为的切线； (2)作的平分线，交于点，交于点． ①请用无刻度的直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，求的长． 27．（23-24九年级上·河南三门峡·期末）如图，三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么这个三角形可称为“等中三角形”，探索体验 （1）如图①，点D是线段的中点，请画一个，使其为“等中三角形”． （2）如图②，在 中， ，判断是否为“等中三角形”，并说明理由． 拓展应用 （3）如图③，正方形木板的边长，请探索在正方形木板上是否存在点P，使为面积最大的“等中三角形”？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 28．（23-24九年级上·河南许昌·期末）【了解概念】 折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段，点在折线段上，若，则称点是折线段的中点． 【概念应用】 （1）如图2，的半径为是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则的长为______； 【认识定理】 爱动脑筋的小亮发现将折线段放在圆中，且、、三点都在圆上时，就有数学中著名的阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），是的中点，，垂足为，则． 这个定理有很多证明方法，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 【证明定理】 证明：如图3，在上截取，连接，，和． 是的中点， …… （2）请按照上面的证明思路，在图3中连接辅助线并写出该证明的剩余部分； 【灵活运用】 （3）如图4，已知等边三角形内接于，为弧上一点，于点，连接，若，，请直接写出的周长． 参考答案： 1．C 【分析】本题考查三角形的外心，垂径定理，圆周角定理，确定圆的条件等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．①根据确定一个圆的条件即可判断．②根据垂径定理即可判断．③根据圆周角定理即可判断．④根据三角形外心的性质即可判断，⑤根据等弧的定义判断，⑥根据圆的对称性质进行判断． 【详解】解：①三点确定一个圆，错误，应该是不在同一直线上的三点确定一个圆； ②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，正确． ③相等的圆心角所对的弦相等，错误，条件是在同圆或等圆中； ④三角形的外心到三个顶点的距离相等，正确， ⑤长度相等的两条弧是等弧，错误，条件是在同圆或等圆中； ⑥圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确． ∴正确的有②④⑥，共3个． 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了圆周角定理，应用圆周角定理即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C 3．B 【分析】本题主要考查圆周角定理，利用圆周角定理可得，，结合可得结论． 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意连接，作，延长交于点，可得，根据垂径定理可得，设圆的半径为，则，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，延长交于点，    ∴，， 设圆的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得，，即圆的半径为， ∴球的直径长为， 故选：A ． 5．D 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，分别根据切线的性质、平行线的判定定理及圆周角定理对各选项进行逐一判断即可，熟知圆的切线垂直于经过切点的半径是解答此题的关键． 【详解】∵是的直径，切于点， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵是所对的圆心角，是所对的圆周角， ∴，故正确； 只有当时，故本选项错误， 故选：． 6．C 【分析】本题考查圆周角定理，涉及直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互余、同弧所对的圆周角相等等知识，连接，如图所示，由直径所对的圆周角是直角，结合直角三角形两锐角互余得到，再由同弧所对的圆周角相等得到，熟记圆周角定理是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 是的直径， ， 在中，，则， ， ， 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，三角形的中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，由直角三角形的斜边上的中线定理得，进而得，，根据三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵D是的中点， ∴．，故点A在圆外，点C在圆外， 故选项A正确，不符合题意；选项B不正确，符合题意， 连接，作于点E，    ∴，D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，，故与直线相切； 故选项C正确，不符合题意， 过D作于F， ∴， ∴； ∴， 故与直线相交；故选项D正确，不符合题意， 故选：B． 8．D 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 由题意知，，，勾股定理求，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 由勾股定理得，， ∴， 故选：B． 9．D 【分析】本题考查了正多边形与圆，正多边形的性质，是正六边形的外接圆可判断选项A，连接，证明是等边三角形可判断B，C；由勾股定理求出可判断D 【详解】解：∵是正六边形的外接圆， ∴点O是正六边形的中心，故选项A正确，不符合题意； 连接，如图， ∵正六边形内接于， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴正六边形的边长是2，故选项B正确，不符合题意； ∴正六边形的中心角是，故选项C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴选项D错误，符合题意； 故选：D． 10．D 【分析】本题考查了不规则图形面积的求解与等边三角形的判定与性质，勾股定理，根据阴影部分的面积等于计算即可，熟练运用扇形公式是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，    由折叠可知：，， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 故选：D． 11． 【分析】根据圆的相关定义、定理，即可进行判断求解，本题考查了，圆的基本概念，圆周角定理，三角形内心的定义，圆内接四边形的性质，解题的关键是：熟记并充分理解相关定义、定理． 【详解】①不在同一条直线上的三个点确定一个圆，是真命题， ②相等的圆心角所对的弦相等，是假命题，前提条件是：在同圆或等圆中， ③同弧（或等弧）所对的圆心角等于该弧所对的圆周角的一半，是真命题， ④三角形内切圆的圆心是三角形的内心，是三边垂直平分线的交点，是假命题，三角形的内心是三个内角的角平分线的交点， ⑤圆内接四边形的对角互补，是真命题， 综上所述①③⑤为真命题， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与外接圆，切线长定理．设分别为与内切圆的切点，则，根据勾股定理可求出的长，从而得到R的值，再证明四边形是矩形，根据切线长定理可得，可求出r，即可求解． 【详解】解：如图，设分别为与内切圆的切点，则，    在中，， 由勾股定理得， ∴外接圆半径． ∵分别为与内切圆的切点， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为： 13．/64度 【分析】根据等弦所对圆心角相等，即可求解，解题的关键是：找到等弦所对的圆心角． 【详解】解：， ， 又， ， ， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查与圆相关的阴影部分面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键，根据题意求出圆的半径和的度数，再计算出与的差，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵是的内切圆， ∴分别与相切于点， ∴四边形是正方形， 设的半径为， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴，解得：， ∵是的内切圆， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， 故答案为：． 15．50 【分析】本题考查求弧长，掌握弧长公式是解题的关键．先求出的度数，再利用弧长公式进行求解即可． 【详解】解：∵，，的长为， ∴，， ∴的长为； 故答案为：50． 16． 【分析】本题主要考查了扇形的面积，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据网格构造直角三角形求出扇形的半径．连接，过点作于点，在中，根据勾股定理求出半径，再根据相似三角形的性质求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点， 在中，由勾股定理得：， 扇形的半径为， 根据题意得：， 由图像可知，， ， ，即， ， ， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了扇形面积的求解，涉及了垂径定理，勾股定理等知识点．确定扇形的圆心角和半径是解题关键．连接，作，可推出；进一步可得，求出的长度即可． 【详解】解：连接，作，如图所示： 由题意得：，， ∴， ∴ ∴ ∴ 被剪掉部分的面积 故答案为： 18． 【分析】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长计算公式是解答本题的关键．弧长计算公式：，其中r为圆的半径，n为圆心角的度数，l为弧长．根据弧长计算公式计算即得答案． 【详解】 该扇形的弧长为． 故答案为：． 19． 【分析】本题考查了旋转的性质，扇形面积的计算，矩形的性质，根据旋转的性质可得，然后根据扇形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：在矩形中，∵， 由旋转的性质得，， ∴， ∴在运动过程中所扫过的面积． 故答案为：． 20． 【分析】首先确定点坐标，利用勾股定理解得的长度；连接，，切线的性质可得，所以在中，由勾股定理可得，当时，取最小值，也取最小值，然后利用面积法解得的值，进而确定长度的最小值即可． 【详解】解：对于直线：， 令，则，即， 令，则，解得，即， ∴，， ∵， ∴， 连接，，如下图， ∵为的切线，的半轻为1，即， ∴， ∴在中，， 当时，取最小值，也取最小值， 此时可有， 即，解得， ∴， ∴长度的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像与坐标轴交点问题、勾股定理、垂线段最短、切线的性质定理等知识，正确作出辅助线，结合切线的性质分析问题是解题关键． 21．(1)图见解析， (2)图见解析， 【分析】本题考查了作图旋转变换，扇形的面积公式． （1）先画出直角坐标系，然后根据第二象限点的坐标特征写出点坐标； （2）先利用网格特点和旋转的性质画出点和的对应点、，即可得到，再利用勾股定理计算出和，然后根据扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）如图1，点的坐标为； （2）如图2，为所作； ， 线段扫过的面积 ． 22．(1)见解析 (2)6 【分析】（1）连接，由切线的性质可得，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得，进而可证，最后利用全等三角形的性质即可解答； （2）设的半径为r，先在中，利用勾股定理求出r的长，即可求出直径的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， 与相切于点D， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， ∴直线与相切； （2）设的半径为r， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及勾股定理是解题的关键． 23．(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查切线的判定，圆周角定理和勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）作于点，根据切线的判定即可求出答案； （2）证明，，在中运用勾股定理可求出的长． 【详解】（1）证明：作于点， 是的外接圆． ． 又， ． 又是的半径， 是的切线． （2）解：， ， 又 ． 又， ． ． 在中，． 又， 即． 解得：． 24．(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，根据，结合圆周角定理得到，再根据得到，结合切线判定，即可作答． （2）连接，根据直角三角形的性质求出，根据三角形的面积公式得到，根据扇形面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）证明：连接，如图： ∵ ∴由圆周角定理得：， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 即与相切； （2）解：连接， 由已知得，在中， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是切线的性质、扇形面积计算、垂径定理、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 25．(1)相切；理由见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，，求出，根据，得出，说明，即可证明结论； （2）过点A作于点M，设，根据勾股定理得出，求出，在中，根据直角三角形的性质得出，求出，，即可得出阴影部分的面积． 【详解】（1）解：与相切，理由如下： ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 是的切线，即与相切． （2）解：过点A作于点M，如图所示： 设， ，， 在中，由勾股定理，得；， 解得：， ， ， ， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了扇形面积计算，三角形面积的计算，勾股定理，切线的判定定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质，数形结合． 26．(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角和等腰三角形的性质得出即可； （2）①按照尺规作图方法画图即可；②证明，得出为等腰直角三角形即可求解． 【详解】（1）证明：连接，   是半圆的直径， ， 即， ， ， ， ， 即， ， 为的半径， 为的切线； （2）解：①如图，为所作；    ②平分， ， ， 而， ， ， ， 为等腰直角三角形， ． 【点睛】本题考查了切线的证明，尺规作图，等腰三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用切线的判定定理进行证明，利用等腰三角形的性质得出为等腰直角三角形． 27．（1）见解析；（2）是“等中三角形”，理由见解析（3）存在，的长3． 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理等： （1）以D为圆心，的长为半径画圆；在圆上任意取一点C（直线与的交点除外），连接，则就是所求作的“等中三角形”； （2）取的中点D，连接，根据勾股定理可求出的长，从而得到，即可； （3）分三种情况，结合“等中三角形”的定义，即可求解． 【详解】解：（1）如图1，以D为圆心，的长为半径画圆；在圆上任意取一点C（直线与的交点除外），连接，则就是所求作的“等中三角形”； （2）是“等中三角形”．理由如下： ∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形较短直角边上的中线大于较长直角边， ∴取的中点D，连接，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是“等中三角形”； （3）存在． 当中线长时，如图，在正方形内任意取一点P，连接，取的中点E；以 E为圆心，以为半径画圆，当圆E经过点B时，是等中三角形； 当中线长时，如图，在正方形内任意取一点P，连接，取中点E；以 E为圆心，以为半径画圆，当圆E经过点A时，是等中三角形； 当中线长时，取中点E，以E为圆心，以为半径画圆，交于P，此时； 根据题意可得：当中线长时，点P到的距离最大， 即当中线长时，是面积最大的等中三角形， 此时：，四边形为矩形， 此时． 28．（1）；（2）见解析；（3）． 【分析】本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形全等的判定及性质，理解阿基米德折弦定理是解题的关键． （1）根据角所对的直角边等于斜边的一半，求出再由所给的定义求出的长即可; （2）在上截取连接，，和，可证明 得到则可证明； （3）先证明为等腰直角三角形，得到，再求出，由（2）同理得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的切线，为切点， ∵是折线段的中点， ． （2）证明：如图,在上截取连接，，和， 是的中点， 在和中， ， ； （3）解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 由（2）同理可得，， ∴的周长 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$