精品解析：广东省深圳市福田区红岭教育集团2024-2025学年上学期九年级数学期中试卷

红岭教育集团2024-2025学年度第一学期 九年级期中考试数学试卷 一．选择题（共8小题） 1. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 3. 某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表． 根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数 近视学生数与的比值 A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 在同一直角坐标系中，函数与的大致图象可能为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点是边延长线上的一点，交于点，下列各式中可能错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 每年春秋季节流感盛行，极具传染性如果一人得流感，不加干预，则经过两轮后共有81人得流感，则每人每轮平均会感染几人？设每人每轮平均感染人，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，E是对角线上的动点，以为边作正方形，M是的中点，连接，若正方形的边长为8，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 二．填空题（共3小题） 9. 已知，则________． 10. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，是用“矩”测量一个信号塔高度的示意图，点在同一水平线上，和均为直角，与交于点，测得，，则信号塔的高度为______． 11. 如图，将矩形对折，使与边重合，得到折痕，再将点A沿过点D的直线折叠到上，对应点为，折痕为，，则的长度为_________． 12. 如图，点在反比例函数（）的图象上，且点是线段的中点，点为轴上一点，连接交反比例函数图象于点，连接，若，，则的值为______． 13. 如图，点E为中点，连接，若，，，求的长为______________________． 三．解答题（共8小题） 14. 解方程： 15. 2024年10月21日，红岭中学举行了第十三届运动会．本届赛事共设置跳高、跳远、铅球三个项目．赛后随机抽取了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分调查，整理后得到下列不完整的图表： 等级 A B C D 分数段 频数 440 280 m 40 请根据表中提供的信息，解答下列问题： （1）此次调查共抽取了 名选手， ， ； （2）扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角度数是 度； （3）赛后若在三个项目的冠军中随机抽取两人访谈，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到跳高和跳远冠军的概率． 16. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个． （1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ （2）因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 17. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，延长到点，使得．连接．过点作，交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求菱形的面积． 18. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． （1）根据上述定义，一元二次方程 （填“是”或“不是”）“倍根方程”； （2）若点在双曲线上，请说明关于x的方程是“倍根方程”． 19. 【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，如图，即），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A． （1）若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为______． （2）为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的质量为，的长度为．则①y关于x的函数解析式是______． ②完成下表： … 10 20 30 40 50 … … 8 a 2 b … ③在直角坐标系中画出该函数的图象． （3）在（2）的条件下，将函数图象向右平移4个单位长度，与原来的图像组成一个新的函数图象，记为L．若点A的坐标为，在L上存在点Q，使得．请直接写出所有满足条件的点Q的坐标． 20. 【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则，把绕着A逆时针方向旋转，连接和． ①如图2，找出图中的另外一组相似三角形 ； ②若则 ； 【迁移应用】在和中，，点D为线段上的一个动点，连接． ①如图3，写出比的值及的度数，并说明理由； ②如图4，点P为中点，在点D从B点运动到C点的过程中，请直接写出点P经过的路径长； 【创新应用】如图5：，是直角三角形，，，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，，连接，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红岭教育集团2024-2025学年度第一学期 九年级期中考试数学试卷 一．选择题（共8小题） 1. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 2. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 3. 某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表． 根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数 近视学生数与的比值 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据频率估算概率，根据大量重复试验的结果，频率逐渐趋向于概率，由此即可求解． 【详解】解：根据表格信息，近视学生数与的比值逐渐趋向于， 故选：D ． 4. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或计算． 【详解】解：当位似图形与在y轴同侧时， ∵，相似比为2， ∴； 当位似图形与在y轴两侧时， ∵，相似比为2， ∴； 故选：D． 5. 在同一直角坐标系中，函数与的大致图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数和反比例函数的图象和性质，即可解答． 【详解】解：①当时，， 一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限； ②当时，， 一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数经过第一、三象限； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数图象的性质，解题的关键是掌握一次函数，当时，经过一、三象限；当时，经过二、四象限；反比例函数，当时，经过一、三象限；当时，经过二、四象限． 6. 如图，在中，点是边延长线上的一点，交于点，下列各式中可能错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到再利用平行线分线段成比例定理即可判断A和B选项，再利用平行线分线段成比例定理和等量代换即可判断C选项，再证明，即可判断D选项 【详解】四边形是平行四边形， ，， ，， ，故选项A和选项B正确，不符合题意； 故选项C正确，不符合题意； 四边形是平行四边形， ，， ， ，故选项D错误，符合题意； 故选：D 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质． 7. 每年春秋季节流感盛行，极具传染性如果一人得流感，不加干预，则经过两轮后共有81人得流感，则每人每轮平均会感染几人？设每人每轮平均感染人，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设每人每轮平均感染x人，根据“两轮传染后共有81人患了流感”列出方程即可． 【详解】设每人每轮平均感染人，由题意得， x（x+1）+x+1=81， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程，本题的等量关系是两轮传染后共有81人患了流感． 8. 如图，在正方形中，E是对角线上的动点，以为边作正方形，M是的中点，连接，若正方形的边长为8，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由可证得，，由此得当点E与点A重合时，点G与点C重合，当点E与点C重合时，点G与点K重合，即当点E在线段上运动时，点G在线段上运动，根据“垂线段最短”可知：当时，为最短，即当点G与点T重合时，为最小，最小值为线段的长，由，得为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得的最小值． 【详解】连接并延长与的延长线交于点K，过点M作于T，如图所示： ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴当点E与点A重合时，点G与点C重合，当点E与点C重合时，点G与点K重合， 即当点E在线段AC上运动时，点G在线段CK上运动， 根据“垂线段最短”可知：当时，为最短， 即当点G与点T重合时，为最小，最小值为线段的长． ∵，， ∴为等腰直角三角形，即， ∵，点M为的中点， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴． ∴的最小值为 ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识点，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形三角形的判定和性质是解决问题的关键． 二．填空题（共3小题） 9. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值．由已知比例，可将b用a表示，代入所求分式化简即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴． 故答案为：． 10. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，是用“矩”测量一个信号塔高度的示意图，点在同一水平线上，和均为直角，与交于点，测得，，则信号塔的高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．由题意可知，，，证明，得到，即可求出信号塔的高度． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 11. 如图，将矩形对折，使与边重合，得到折痕，再将点A沿过点D的直线折叠到上，对应点为，折痕为，，则的长度为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，由矩形的性质得，由折叠得，因为垂直平分，所以，，可证明四边形是矩形，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， 由折叠得，点D与点A关于直线对称， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 如图，点在反比例函数（）的图象上，且点是线段的中点，点为轴上一点，连接交反比例函数图象于点，连接，若，，则的值为______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，本题的突破点是证明； 作于于．首先证明，由此构建方程即可解决问题； 【详解】解：作于于． ∴， ∵， ∴设， ∵、在上，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：16． 13. 如图，点E为中点，连接，若，，，求的长为______________________． 【答案】 【解析】 【分析】作于点，连接，由，得，，则，求得，由点为中点，点为中点，得，则，所以，而，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点，连接，则， ， ，， ，， ， 点为中点，点为中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 14. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， 或， ． 15. 2024年10月21日，红岭中学举行了第十三届运动会．本届赛事共设置跳高、跳远、铅球三个项目．赛后随机抽取了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分调查，整理后得到下列不完整的图表： 等级 A B C D 分数段 频数 440 280 m 40 请根据表中提供的信息，解答下列问题： （1）此次调查共抽取了 名选手， ， ； （2）扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角度数是 度； （3）赛后若在三个项目的冠军中随机抽取两人访谈，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到跳高和跳远冠军的概率． 【答案】（1）800，40，5 （2）126 （3） 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，频数分布表，列表法或树状图法求概率： （1）先用A等级人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数乘以C等级所占的百分比得到m的值，然后D等级人数除以调查的总人数得到n的值； （2）用乘以B等级所占的百分比即可； （3）用A、B、C分别表示跳高、跳远、铅球三个项目．则通过画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出跳高和跳远冠军的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：此次调查共抽取的选手总人数为（名） 所以， 所以， 即， 故答案为：800，40，5； 【小问2详解】 解：扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角度数； 故答案为：126； 【小问3详解】 解：用A、B、C分别表示跳高、跳远、铅球三个项目． 画树状图为： 共有6种等可能的结果，其中抽到跳高和跳远冠军的结果数为2种， 所以恰好抽到跳高和跳远冠军的概率． 16. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个． （1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ （2）因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 【答案】（1）元 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键． （1）设售价应定为每个元，则每个利润为元，销量为个，再利用总利润为元，再建立方程解题即可； （2）由（1）得：当售价为每个元时，销量为个，设这两周的平均增长率为，再结合增长率的含义建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设售价应定为每个元，则 整理得：， 解得：，； ∵更大优惠让利消费者， ∴不符合题意， ∴商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为每个元； 【小问2详解】 解：由（1）得：当售价为每个元时，销量为400个， 设这两周的平均增长率为，则： ， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴这两周的平均增长率为． 17. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，延长到点，使得．连接．过点作，交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）证四边形是平行四边形，再证，则，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由矩形的性质得，由菱形性质可证为等边三角形，可得，再由勾股定理求出，根据菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：由（1）知四边形是矩形， ， 又， ， ∵四边形是菱形， ， 为等边三角形， ， ， ， ． 18. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． （1）根据上述定义，一元二次方程 （填“是”或“不是”）“倍根方程”； （2）若点在双曲线上，请说明关于x的方程是“倍根方程”． 【答案】（1）不是； （2） 解：∵点在双曲线上， ， ∴方程化为方程， ， 解得，， ， ∴方程是“倍根方程”． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“倍根方程”的定义，本题属于中等题型． （1）根据“倍根方程”的定义即可得出结论； （2）方程化为方程，解方程求得方程的根，根据倍根方程的定义即可求出答案． 【小问1详解】 解：， ， 解得，，， 故一元二次方程不是“倍根方程”； 【小问2详解】 略 19. 【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，如图，即），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A． （1）若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为______． （2）为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的质量为，的长度为．则①y关于x的函数解析式是______． ②完成下表： … 10 20 30 40 50 … … 8 a 2 b … ③在直角坐标系中画出该函数的图象． （3）在（2）的条件下，将函数图象向右平移4个单位长度，与原来的图像组成一个新的函数图象，记为L．若点A的坐标为，在L上存在点Q，使得．请直接写出所有满足条件的点Q的坐标． 【答案】（1） （2）①； ②填表如下： … 10 20 30 40 50 … … 8 4 2 … ③函数图象如下所示：     （3）或 【解析】 【分析】（1）根据公式进行计算即可； （2）①根据公式即可得到；②根据（2）①所求求出a、b的值即可；③先描点，再连线，画出函数图象即可； （3）先根据面积求出点Q的纵坐标，再根据反比例函数性质和平移的性质求出点Q的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∴重物B所受拉力为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①∵， ∴，即， 故答案为：； ②由（2）①得， 填表如下： … 10 20 30 40 50 … … 8 4 2 … ③函数图象如下所示： 【小问3详解】 解：∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，当时， ∴在函数上满足题意的Q的坐标为， ∵将函数图象向右平移4个单位长度，与原来的图像组成一个新的函数图象，记为L， ∴点，即也在L上，即满足题意的Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际运用，正确理解题意是解题的关键． 20. 【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则，把绕着A逆时针方向旋转，连接和． ①如图2，找出图中的另外一组相似三角形 ； ②若则 ； 【迁移应用】在和中，，点D为线段上的一个动点，连接． ①如图3，写出比的值及的度数，并说明理由； ②如图4，点P为中点，在点D从B点运动到C点的过程中，请直接写出点P经过的路径长； 【创新应用】如图5：，是直角三角形，，，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，，连接，请直接写出的取值范围． 【答案】[问题背景]①； ②3； [迁移应用]①，，理由： 如图3中， ∵， ∴，． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； ②； [创新应用] ． 【解析】 【分析】[问题背景]①结论：．利用两边成比例夹角相等，证明两三角形相似；②利用相似三角形的性质求解； [迁移应用]①先由含角的直角三角形的性质得，则，再证，得，再结合利用两边成比例夹角相等，证明两三角形相似得，②当点与B重合时，点与C重合，的中点，记为； 当点与C重合时，点是的延长线与的延长线的交点，记为，则点的运动轨迹为，是的中位线，同理证明，则，即，，，即点经过的路径长为； [创新应用]如图5中，过点A作于点K，过点C作于点J，连接．通过计算证明，求出，可得结论． 【详解】解：[问题背景] ①如图2中， ， ， ， ， ， ∴， ． 故答案为：； ②， ， ∵ ， ． 故答案为：3； [迁移应用] ①略 ②同（1）得：当点与B重合时，点与C重合，的中点，记为； 当点与C重合时，点是的延长线与的延长线的交点，记为，如图所示： 则点的运动轨迹为，是的中位线， ， ∵， ， ， 即， ， ， 即点经过的路径长为． [创新应用]如图5中，过点作于点，过点作于点，连接． ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $