精品解析：浙江省9+1高中联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

2024学年第一学期浙江省9+1高中联盟高二年级期中考试 数学 命题：新昌中学 赵洋 审题：富阳中学 李小平 桐乡高级中学 李亮 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷； 4.参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 从两位数中随机选择一个数，则它的平方的个位数字为1的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，，且，则函数可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线：，过点的直线与双曲线交于，两点.若点为线段的中点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，则方程的实根个数是（ ） A. 2 B. .3 C. 4 D. 5 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分. 9. 下列从总体中抽得的样本是简单随机抽样的是（ ） A. 总体编号为1～75，在0～99之间产生随机整数.若或，则舍弃，重新抽取 B. 总体编号为1～75，在0～99之间产生随机整数，除以75的余数作为抽中的编号.若余数为0，则抽中75 C. 总体编号为6001～6879，在1～879之间产生随机整数，把作为抽中的编号 D. 总体编号为1～712，用软件的命令“sample（1:712，50，replace＝F”）得到抽中的编号 10. 已知椭圆：，直线：，（ ） A. 若直线与椭圆有公共点，则 B. 若，则椭圆上的点到直线的最小距离为 C. 若直线与椭圆交于两点，则线段的长度可能为6 D. 若直线与椭圆交于两点，则线段的中点在直线上 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知双曲线：，则双曲线的离心率是______. 12. 已知圆：，直线，若直线与圆相切，则______. 13. 在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则四面体的外接球的表面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 记的内角，，的对边分别为，，，已知， （1）求； （2）过点作交于点，是的中点，连接.若，求的长度. 15. 已知点与点关于直线：对称，圆：（），圆的半径为，且圆与圆交于，两点. （1）求的取值范围； （2）当时，求的面积. 16. 如图，四棱锥中，底面，，，，. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知圆：，点，点是圆A上任意一点.线段的垂直平分线和半径相交于点，与圆A交于，两点，则当点在圆A上运动时， （1）求点的轨迹方程； （2）证明：直线是点轨迹的切线； （3）求面积的最大值. 18. 如图，，，垂足分别为，，异面直线，所成角为，，点，点分别是直线，上的动点，且，设线段的中点为. （1）求异面直线与所成的角； （2）求的取值范围； （3）求四面体的体积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期浙江省9+1高中联盟高二年级期中考试 数学 命题：新昌中学 赵洋 审题：富阳中学 李小平 桐乡高级中学 李亮 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷； 4.参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别解指数不等式和二次不等式得到集合，再由集合交集的定义得到结果. 【详解】解，∴，则， 解，∴，则， ∴. 故选：B. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的四则运算求解. 【详解】由，则， 可得. 故选：C. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直得到向量数量积为0，建立方程，解得的值. 【详解】∵，∴，∴. 故选：A. 4. 从两位数中随机选择一个数，则它的平方的个位数字为1的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意找出个位数字为1或9的总个数除以两位数的总个数即可得出结果. 【详解】两位数的平方个位数字为1的数字需满足个位数字为1或9，这样的两位数字共个； 两位数共有个， 所以它的平方的个位数字为1的概率是. 故选：D. 5. 已知函数，，且，则函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，计算可得，再逐项验证即可得结论. 【详解】由函数，，， 得，整理得， 对于A，，，则，A不是； 对于B，，，则，B不是； 对于C，，，则，C是； 对于D，，，则，无意义，D不是. 故选：C. 6. 已知双曲线：，过点的直线与双曲线交于，两点.若点为线段的中点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用点差法，设，代入双曲线方程，作差变形，由是线段AB的中点，求得直线的斜率，再用点斜式可得直线方程. 【详解】设，代入双曲线方程， 可得，作差， 因为点为线段的中点，所以 所以，即， 所以直线的方程是，即， 经检验，直线满足题意. 故选：A. 7. 设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】我们先根据已知条件求出的值，再利用向量夹角公式求出. 【详解】已知向量是单位向量，则，即， 因为向量与的夹角为，根据向量夹角公式可得： ，即， 联立方程，将代入可得： ，解得， 当时，；当时，， 因为向量是单位向量，则，即， 又因为向量与的夹角为，根据向量夹角公式可得： ，即， 联立方程，将代入可得： ，解得， 当时，；当时，， 根据向量夹角公式，， 当时，；当时，， 所以. 故选：B. 8. 已知函数，，则方程的实根个数是（ ） A. 2 B. .3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】作出函数的草图，数形结合，分析两个函数图象交点个数，可得方程实根的个数. 【详解】如图： 函数在上单调递增，且，. 在上，因为， ，， 所以方程在上有1解； 又，所以是方程的1解； 又，， 所以方程在上有1解； 当时，由图可知，恒成立， 所以在上，方程无解. 所以方程实根的个数为：3. 故选：B 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分. 9. 下列从总体中抽得的样本是简单随机抽样的是（ ） A. 总体编号为1～75，在0～99之间产生随机整数.若或，则舍弃，重新抽取 B. 总体编号为1～75，在0～99之间产生随机整数，除以75的余数作为抽中的编号.若余数为0，则抽中75 C. 总体编号为6001～6879，在1～879之间产生随机整数，把作为抽中的编号 D. 总体编号为1～712，用软件的命令“sample（1:712，50，replace＝F”）得到抽中的编号 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抽中的可能性是否相等依次判断每个选项得到答案. 【详解】对于A：总体编号为1～75，在0～99之间产生随机整数.若或，则舍弃，重新抽取， 则编号为1~75可能被抽中，被抽中的可能性相同，故A正确； 对于B：总体编号为1～75，在0～99之间产生随机整数，除以75的余数作为抽中的编号.若余数为0， 则抽中75.因为1~24，75号与25~74号抽中的可能性不同，所以不是简单随机抽样，故B错误； 总体编号为6001~6879，在1~879范围内产生一个随机整数，把作为抽中的编号. 每个编号抽中的可能性相同，所以是简单随机抽样，故C正确； 由R软件的简单统计功能，“sample（1:712，50，replace＝F”）表示在区间内随机产生50个不重复随机整数， 故每个编号抽中的可能性相同，故D正确 故选：ACD 10. 已知椭圆：，直线：，（ ） A. 若直线与椭圆有公共点，则 B. 若，则椭圆上的点到直线的最小距离为 C. 若直线与椭圆交于两点，则线段的长度可能为6 D. 若直线与椭圆交于两点，则线段的中点在直线上 【答案】ABD 【解析】 【分析】可设椭圆上的点为，结合三角函数有界性分析判断AB；对于C：结合椭圆性质分析判断；对于D：利用点差法分析判断. 【详解】由椭圆方程可知：，且焦点在x轴上，设椭圆上的点为. 对于选项A：若直线与椭圆有公共点，则存在点在直线上， 则，可得，故A正确； 对于选项B：若，则直线：， 可得点到直线的距离为 ， 所以椭圆上的点到直线的最小距离为，故B正确； 对于选项C：椭圆的最长弦长为长轴长， 但直线不可能与y轴重合，所以，故C错误； 对于选项D：设，线段的中点为， 则，， 因为在椭圆上，则， 两式相减可得，整理可得， 即，可得，则， 可知点在直线上，即线段的中点在直线上，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知双曲线：，则双曲线的离心率是______. 【答案】 ## 【解析】 【分析】利用双曲线方程求出实半轴长、半焦距，进而求出离心率. 【详解】双曲线：的实半轴长，虚半轴长， 则半焦距，所以双曲线的离心率. 故答案为： 12. 已知圆：，直线，若直线与圆相切，则______. 【答案】9或 【解析】 【分析】由圆心到直线的距离等于半径可得． 【详解】由得圆心，半径， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径， 由点到直线的距离得，解得，故或. 故答案为：9或 13. 在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则四面体的外接球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】以为坐标原点，，，为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，根据，，，到球心距离等于半径，求出半径，得到四面体的外接球的表面积 【详解】以为坐标原点，，，为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图 设四面体的外接球的球心为，半径为. 因为，，，， 所以解得，， 故四面体的外接球的表面积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 记的内角，，的对边分别为，，，已知， （1）求； （2）过点作交于点，是的中点，连接.若，求的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求解即可； （2）解直角三角形得出，再由中线的向量形式平方即可得解. 【小问1详解】 由题意可知，， 由，故， 故，又， 所以，. 【小问2详解】 如图，， 由（1）可知，，则，， 故， 因为 ， 所以， 所以，即的长度为. 15. 已知点与点关于直线：对称，圆：（），圆的半径为，且圆与圆交于，两点. （1）求的取值范围； （2）当时，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出点关于直线的对称点为，得到圆方程，再利用两圆位置关系得到关于的不等式组，解之即可得解； （2）先求出当时圆的圆心与半径，从而分析得是以为顶点的等腰三角形，进而利用三角形面积公式即可得解. 【小问1详解】 设点关于直线的对称点为， 则，解得， 故圆为， 因为圆与圆交于，两点， 所以， 解得. 【小问2详解】 当时，圆：，：， 故是以为顶点的等腰三角形， 由（1）可知，， 所以边上的高为， 所以的面积为. 16. 如图，四棱锥中，底面，，，，. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为平面，平面ABCD ，所以，， 由，，得； 在中，，所以为正三角形， 过作的垂线，垂足为，，有，， 所以四边形为矩形. 故，平面.平面，所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）先证明四边形为矩形.再得到，运用线面平行判定可解. （2）求出两个面的法向量，然后利用面面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，，，分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，. 设平面，的法向量分别为，. ，，， ，得，解得； ，得，解得； 设平面与平面的夹角大小为， 则. 故平面与平面的夹角的余弦值为. 17. 已知圆：，点，点是圆A上任意一点.线段的垂直平分线和半径相交于点，与圆A交于，两点，则当点在圆A上运动时， （1）求点的轨迹方程； （2）证明：直线是点轨迹的切线； （3）求面积的最大值. 【答案】（1） （2）证明：设， 则有：， 将代入椭圆：消去整理得 ， 故， 即 所以，直线是点轨迹的切线；. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题设得到，结合椭圆定义写出轨迹方程即可. （2）设求出直线l的方程，然后与椭圆联立消元，通过判别式等于零得方程有两个相等的根即可， （3）根据面积公式列出关于的表达式，然后根据的有界性求出最值即可 【小问1详解】 由线段的垂直平分线的性质可知，， 故， 所以点在以点A，为焦点的椭圆上， 其中椭圆的长轴长为8，焦距为，短轴长， 故点的轨迹方程为：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知，点到直线的距离为 ， 点A到直线的距离为 ， 故线段， 所以的面积为 ， 当且仅当时，等号成立， 所以当时，的面积的最大值为. 【点睛】 18. 如图，，，垂足分别为，，异面直线，所成角为，，点，点分别是直线，上的动点，且，设线段的中点为. （1）求异面直线与所成的角； （2）求的取值范围； （3）求四面体的体积的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作的平行线，过点作的平行线交于点，可得是异面直线与所成的角，再根据几何关系求解即可； （2）思路一：建立空间直角坐标系，求出点的轨迹，进而可得的取值范围； 思路二：由空间向量的线性运算可得，进而可得范围. （3）先求得，思路一：设，，根据基本不等式求得，范围，进而可得最大值. 思路二：直接根据结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 如图，过点作的平行线，过点作的平行线交于点， 则有是异面直线与所成的角或其补角. 因为，， 所以，，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，， 所以，所以，， 所以异面直线与所成的角为. 【小问2详解】 如图，过的中点分别作，的平行线，， 以为坐标原点，的外角平分线、内角平分线分别为轴，轴， 过点并且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系. 由题意可知，，设,， 则，， 从而，且. 所以. 思路一：因为，，， 所以，， 所以，即. 所以点的轨迹是椭圆（长轴长为6，短轴长为2），其轨迹方程为. 点，所以. 思路二：设在，上的投影分别为，则且， 则、分别为平行四边形的两条对角线，则为中点. 故， 可得 ， 因为，则，所以. 【小问3详解】 由题意异面直线，所成角为，则到平面的距离， 故， 思路一：不妨设，， 则， 故， 从而，此时. 思路二：因为， 故， 从而，此时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $