专题01 函数重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题01 函数重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 函数的概念 题型二 函数的解析式 题型三 求自变量的取值范围 题型四 求自变量的值或函数值 题型五 函数图象识别 题型六 从函数的图象获取信息 题型七 用描点法画函数图象 题型八 动点问题的函数图象 题型九 函数的三种表示方法 题型十 函数相关多结论问题 【知识点1 函数的概念】 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值． 【知识点2 求函数的值】 (1) 当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个． (2)函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值． 【知识点3 函数的图象】 把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象． 【经典例题一 函数的概念】 【例1】（23-24八年级·全国·假期作业）下列关系式中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）下列变量之间是函数关系的有（    ） ①正方形的周长C与边长a；②矩形的周长C与宽a；③圆的面积S与半径R；④y=2x-3中的y与x A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）下列各项：①；②；③；④；具有函数关系（自变量为）的是 ．（填序号） 3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）我国的高铁技术发展日新月异，一次次惊艳世界，成为擦亮中国的一张名片．在高铁行驶过程中，司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄，如图表示了司机的视野（度）随车速（千米/时）变化而变化的情况． 速度v(千米/时) 50 100 b 400 视野f(度) a 40 20 10 (1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是_____； (2)结合图象，表格中_____， _____； (3)若高铁司机视野不小于度，则高铁行驶的速度最快是______； (4)请举出生活中一个变量随另一个变量变化而变化的例子，并写出自变量和因变量． 【经典例题二 函数的解析式】 【例2】（23-24八年级下·河南鹤壁·期中）函数中自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 1．（23-24七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，且，，点是线段上一个动点，由向以移动，运动至点停止，则的面积随点的运动时间之间的关系式为（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）一个等腰三角形的周长是60cm，腰为xcm，底为ycm，则y与x之间的关系式为 ． 3．（23-24八年级上·浙江金华·期末）已知实数x，y满足． (1)用含x的代数式表示y，则 ． (2)若等腰三角形的腰长为x，底边长为y，该等腰三角形的周长为l． ①求l关于x的函数表达式； ②求l的取值范围． 【经典例题三 求自变量的取值范围】 【例3】（24-25九年级上·山东临沂·开学考试）已知函数．当时，函数值为，并且，为整数，则当时，函数值不可能为（　　） A． B． C． D． 1．（23-24九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（    ） A．x≥1 B．x≠2 C．x≥2 D．x≥1且x≠2 2．（2024·四川眉山·一模）函数的自变量的取值范围是 ． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知一条钢筋长，把它折弯成长方形（或正方形）框，其一条边长记为，围成的面积记为． (1)求S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围． (2)分别求当，25，28时，函数S的值． 【经典例题四 求自变量的值或函数值】 【例4】（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）已知函数，则当时，的值为（   ） A． B．或 C．或5 D．或5 1．（23-24八年级上·河南郑州·期末）结合学习函数的经验，小红在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．根据图象，小红得到了该函数四条结论，其中正确的是（    ） A．y随x的增大而减小 B．当时，y有最大值 C．当与时，函数值相等 D．当时， 2．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数，如果那么 ． 3、（24-25八年级上·甘肃白银·期中）某商品的定价是每千克5元，元旦期间，该商品推出优惠活动，若一次购买该商品的数量超过2千克，则超过2千克的部分，价格打8折；若一次购买的数量不超过2千克（含2千克），仍按原价付款． (1)根据题意，填写下表． 购买的数量（千克） 1.5 2 3.5 4 …… 付款金额（元） 7.5 16 …… (2)若一次购买的数量为x千克，在的条件下，请你写出付款金额y（元）与x（千克）之间的关系式 (3)若某顾客一次购买该商品花费了68元，求该顾客购买商品的数量． 【经典例题五 函数图象识别】 【例5】（23-24八年级下·云南曲靖·期末）如图，向高为的圆柱形水杯中注水，已知水杯底面圆半径为，那么注水量与水深的函数关系的图象是（　　） A．B． C． D． 1．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）如图，一辆货车匀速通过一条隧道（隧道长大于货车长），从货车头刚进入隧道开始，货车在隧道内的长度与行驶的时间之间的关系用图象描述大致是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河南信阳·期末）如图，下列各曲线中表示是的函数的有 （填序号）． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）“漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度．下页哪个图象适合表示y与x的对应关系？（不考虑水量变化对压力的影响．） 【经典例题六 从函数的图象获取信息】 【例6】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图1所示，在甲、乙两地之间有一车站丙（离乙地较近），一辆货车从甲地出发经丙站驶往乙地，一辆轿车从乙地出发经丙站驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，图2分别是货车、轿车行驶时离丙站的路程与行驶时间之间的函数图象．则下列说法错误的是（   ） A．货车的速度为 B． C．当时，两车相遇 D．当时，轿车刚好到达丙车站 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）周末，自行车骑行爱好者甲、乙相约沿同一路线从地出发前往地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度骑行，乙比甲早出发分钟，乙骑行分钟后，甲以原速度的继续骑行，经过一段时间，甲先到达地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程（单位：米）与乙骑行的时间（单位：分钟）之间的关系如图所示．以下说法中错误的是（    ） A．点指甲从开始出发 B．甲的原速度为 C．甲与乙相遇时，甲出发了分钟 D．乙比甲晚分钟到达地 2．（2024·山东济南·模拟预测）2023年11月23日智博会在济南黄河国际会展中心举办，小明一家上午开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离与时间的函数图象．根据图中信息，车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的 倍． 3．（23-24七年级下·山东青岛·期中）小明家距离学校8千米，今天早晨，小明骑车上学途中，自行车出现故障，恰好路边有便民服务点，几分钟后车修好了，他增加速度骑车到校．我们根据小明的这段经历画了一幅图象（如图），该图描绘了小明行的路程s与他所用的时间t之间的关系． 请根据图象，解答下列问题： (1)小明行了_____千米时，自行车出现故障；小明共用了_____分钟到学校； (2)小明修车用了多长时间？ (3)如果自行车未出现故障，小明一直用修车前的速度行驶，那么他比实际情况早到或晚到多少分钟？ 【经典例题七 用描点法画函数图象】 【例7】（2021·陕西西安·模拟预测）变量的一些对应值如下表： … … … … 根据表格中的数据规律，当时，的值是（    ） A． B． C． D． 1．（2021·陕西西安·模拟预测）变量的一些对应值如下表： … … … … 根据表格中的数据规律，当时，的值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·北京朝阳·期中）写出一个在函数图象上的点的坐标 ． 3．（23-24八年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中画出的图像 解：列表（将下表填写完整） 描点 连线 【经典例题八 动点问题的函数图象】 【例8】（24-25八年级上·四川达州·期中）如图，在中，，D 为斜边的中点，动点P 从B 点出发，沿运动，如图 1所示，设 ，点P 运动的路程为x ，若y 与x 之间的函数图象如图2 所示，则y 的最大值为（       ） A．2 B．3 C．6 D．7 1．（23-24八年级下·河南南阳·期中）如图①在长方形中，动点P从点B出发，沿方向匀速运动至点A停止，已知点P的运动速度为，设点P的运动时间为，的面积为，若y关于t的函数图象如图②所示，则长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，点P从长方形的顶点D出发，沿D→C→B→A路线以每秒的速度运动，运动时间x和的面积y之间构成的函数的图象如图2所示，则长方形的面积为 ． 3．（23-24八年级下·河北沧州·期末）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度与旋转时间之间的关系如图2所示．      (1)根据图2填表： 旋转时间 0 3 6 8 12 … 高 5 5 5 … (2)变量是的函数吗？为什么？ (3)根据图中的信息，请写出摩天轮的直径． 【经典例题九 函数的三种表示方法】 【例9】（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）某航空公司规定，旅客可免费携带一定质量的行李，超出部分需另外收费，下表列出了乘客携带的行李质量x（千克）与其运费y（元）之间的一些数据： x（千克） 20 23 26 29 32 y（元） 0 90 180 270 360 若旅客携带了36千克的行李，他应该支付的运费为（    ） A．450元 B．480元 C．510元 D．600元 1．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如下表： 防水时间（） 1 2 3 4 … 水池中水量（） 48 46 44 42 … 下面说法不正确的是（    ） A．放水时间是自变量，水池中的水量是因变量 B．随着放水时间的增加，水池中水量减少 C．放水后，水池中的水全部放完 D．放水后，水池中还有水 2．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）阅读下面材料：小明想探究函数的性质，他借助计算器求出了y与x的几组对应值，并在平面直角坐标系中画出了函数图象：小聪看了一眼就说：“你画的图象肯定是错误的．”请回答：小聪判断的理由是 ．写出函数的一条性质： ． x … 1 2 3 … y … 2.83 1.73 0 0 1.73 2.83 … 3．（2021·河南·二模）小云在学习二次根式以后突发奇想，就尝试着来研究和二次根式相关的函数下面是小云对其探究的过程，请补充完整：与x的几组对应值如表： x 0 1 2 3 y m 2 n 可得 ______ ， ______ ． 结合表，在平面直角坐标系xOy中，画出当时的函数y的图象． 结合表格和图象，请写出函数的三条性质． 【经典例题十 函数相关多结论问题】 【例10】（24-25九年级上·湖南岳阳·开学考试）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米/时，两车之间的距离（千米）与货车行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：①快递车从甲地到乙地的速度为100千米/时；②甲、乙两地之间的距离为120千米；③图中点的坐标为；④快递车从乙地返回时的速度为90千米/时．其中正确的是（    ） A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①③ 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）惠农种子公司以一定价格销售“丰收一号”玉米种子，如果一次购买以上(不含)的种子，超过的那部分种子的价格将打折，并依此得到付款金额y(单位：元)与一次购买种子质量x(单位：)之间的函数关系如图所示．下列四种说法：①一次购买种子时，付款金额为100元；②一次购买种子质量不超过时，销售价格为5元/；③一次购买以上的种子时，超过的那部分种子的价格打五折；④一次购买种子比分两次购买且每次购买种子少花20元钱．其中正确的有（    ） A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 1．（23-24七年级下·内蒙古包头·阶段练习）小张从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示，下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，则下列说法中正确的个数是（    ） ①小张家距离单位4千米；②小张上班所用的时间为分钟；③小张上坡的速度是千米/小时；④小张下班所用时间为分钟． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个过程中，汽车离开A城的距离与时间t的对应关系如图所示，下列说法： ①A、B两城相距300 ②甲车比乙车多用两个小时 ③甲车出发一个半小时后被乙车追上 ④甲乙两车的速度比为 ⑤乙车追上甲车时距终点B城还有150 其中正确的说法是（　　） A．①②④⑤ B．①②③④ C．①②⑤ D．①③⑤ 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．根据最近人体构造学的研究成果，下表是测得的指距与身高的一组数据： 指距d（） 20 21 22 23 身高h（） 已知，世界上被证实最高的人的身高是厘米，则他的指距约为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，其中错误的结论是（    ） A．甲步行的速度为60米/分； B．乙走完全程用了30分钟； C．乙到达终点时，甲离终点还有360米； D．乙用16分钟追上甲； 3．（2024·河北邢台·模拟预测）一个小球沿一个光滑斜坡上下滚动，其速度v（单位：）与时间t（单位：）的图象如图所示．下列说法错误的是（    ） A．小球的初始速度为 B．小球先沿斜坡向下滚动，再沿斜坡向上滚动 C．当时，小球的速度每秒增加 D．小球在整个滚动过程中，当时，到达斜坡的最高处 4．（23-24八年级下·山西长治·期末）下列选项中，不是函数的是（    ） A．B．C． D． 5．（23-24七年级上·山东淄博·期末）等腰三角形的周长是，底边长是腰长的函数，此函数关系式和自变量取值范围正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）小红和小星分别从甲、乙两地相向而行，进行跑步训练．他们同时出发，小红从甲地向乙地跑，到达乙地停止，小星从乙地向甲地跑，到达甲地停止．假设小红和小星跑步的速度均为匀速，且小红的速度比小星的速度慢．在跑步过程中，已知小红和小星之间相距的路程s(单位：km)与小红所花的时间t(单位：h)之间的关系如图所示，则当小星到达终点时，小红离终点的路程是 km． 7．（24-25八年级上·上海·期中）上海与杭州两地之间的距离是，若汽车以每小时的速度匀速从杭州开往上海，则汽车距杭州的路程与行驶的时间之间的函数关系式为 ． 8．（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息，已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，有如下四个结论：①甲的速度是4米/秒；②甲从起点到终点共用80秒；③离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点60米；④甲、乙两人相距的最大距离为68米．上述所有正确结论的序号是 ． 9．（2024·山东济南·模拟预测）甲乙两地相距a千米，小亮乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为 ． 10．（23-24六年级下·山东威海·期末）如图，在梯形中（图1），，，．动点P以每秒的速度沿着方向运动，相应的的面积与时间之间的函数关系如图2所示．则梯形的面积为 ．（温馨提示：梯形的面积） 11．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）一架飞机停机前一段时间内的速度和经过时间之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 … 42 39 36 33 30 … (1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______； (2)飞机运行的时间每增加，飞机的速度是如何变化的？ (3)根据表格估计经过多长时间，飞机的速度变为？ 12．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）科学家一直以来都在不断探索地球奥秘的路途中，经过大量的模拟实验，发现地表以下岩层的温度与所处深度的关系如表所示． 所处深度 1 2 3 4 5 6 7 岩层的温度 55 90 125 160 195 230 265 (1)表中，自变量为______，因变量为______； (2)请求出地表以下岩层的温度与所处深度的关系式； (3)当岩层的温度为时，求所处深度． 13．（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）某体育用品专卖店为了对某新品牌的羽毛球拍进行促销，推出两种优惠方案．方案一：买一支球拍赠送一打羽毛球；方案二，按购买金额打九折付款．已知羽毛球拍每支售价60元，羽毛球每打售价10元，校羽毛球队欲购买球拍20支，羽毛球x打（）供训练使用． (1)写出每种优惠方案实际付款金额y（元）与x（打）之间的函数关系式； (2)若只能按一种方案购买，比较购买100打的羽毛球，按哪种方案付款更合算； (3)若专卖店允许以任意选择一种优惠方案购买，也可以用两种方案混合购买，请就购买球拍20支和羽毛球50打设计一种最省钱的购买方法． 14．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）周末，小明骑车想去电影院看电影，当他骑了一段时间后，想起要买点饮料和爆米花，于是又折回到刚经过的超市，买到东西后继续骑车去电影院．他离家距离（米）与所用的时间（分钟）的关系如图所示．根据如图回答下列问题： (1)小明家到电影院的距离是______米； (2)小明在超市停留了______分钟； (3)在去电影院的途中，小明一共骑行了______米； (4)在去电影院的途中______（时间段）小明骑车速度最快，最快速度是______ 15．（23-24八年级下·全国·期中）一个装有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4内只进水不出水，在随后的14内既进水又出水，在第18后只出水不进水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量）（单位：）与时间x（单位：）之间的关系如图所示． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)每分钟的进水量为_____，每分钟的出水量为_____； (2)求m的值； (3)若在某一时间x（）时，容器内水量恰好为30，直接写出此时x的值为_____． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 函数重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 函数的概念 题型二 函数的解析式 题型三 求自变量的取值范围 题型四 求自变量的值或函数值 题型五 函数图象识别 题型六 从函数的图象获取信息 题型七 用描点法画函数图象 题型八 动点问题的函数图象 题型九 函数的三种表示方法 题型十 函数相关多结论问题 【知识点1 函数的概念】 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值． 【知识点2 求函数的值】 (1) 当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个． (2)函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值． 【知识点3 函数的图象】 把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象． 【经典例题一 函数的概念】 【例1】（23-24八年级·全国·假期作业）下列关系式中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此分析每一选项即可得出答案． 【详解】A． 符合函数定义，是函数，故选项错误，不符合题意；   B． 符合函数定义，是函数，故选项错误，不符合题意；    C． 对于x的每一个取值（），y都有两个值，不是函数，故选项正确，符合题意；   D． 符合函数定义，是函数，故选项错误，不符合题意． 故选：C 【点睛】本题考查了函数的定义，一般地，在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）下列变量之间是函数关系的有（    ） ①正方形的周长C与边长a；②矩形的周长C与宽a；③圆的面积S与半径R；④y=2x-3中的y与x A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】①正方形的周长C与边长a，由正方形的周长公式列出关系式C=4a； ②矩形的周长C与宽a，由矩形的周长公式列出关系式C=2a+2×长，其中长不确定是变量； ③圆的面积S与半径R，由圆的面积公式列出关系式S=； ④y=2x-3中的y与x，可根据函数的定义判定． 【详解】解：①由正方形的周长公式列出关系式C=4a，其中a，C是变量，4是常量， C与是a的函数； ②由矩形的周长公式列出关系式C=2a+2×长，其中长不确定是变量，所以C与a不是函数关系； ③由圆的面积公式列出关系式S=，其中R，S是变量， S是R的函数； ④y=2x-3中的y与x，可根据函数的定义可得，y是x函数． 综上所述，是函数的有3个． 故选B． 【点睛】主要考查函数的定义，解决本题的关键是要熟练掌握函数的定义. 2．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）下列各项：①；②；③；④；具有函数关系（自变量为）的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定哪些是函数． 【详解】解：∵对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值， ∴①y=x2；②y=2x-1④当x取值时，y有唯一的值对应； 而③，例如当x=2时，y=±2，不具有唯一值. 故具有函数关系（自变量为x）的是①②④． 故答案为①②④ 【点睛】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）我国的高铁技术发展日新月异，一次次惊艳世界，成为擦亮中国的一张名片．在高铁行驶过程中，司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄，如图表示了司机的视野（度）随车速（千米/时）变化而变化的情况． 速度v(千米/时) 50 100 b 400 视野f(度) a 40 20 10 (1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是_____； (2)结合图象，表格中_____， _____； (3)若高铁司机视野不小于度，则高铁行驶的速度最快是______； (4)请举出生活中一个变量随另一个变量变化而变化的例子，并写出自变量和因变量． 【答案】(1)高铁的速度，司机的视野 (2)， (3)千米/时 (4)某天的气温随时间的变化而变化．自变量是时间，因变量是气温．（答案不唯一，合理即可） 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由函数图象即可得出答案； （2）由表格可得，计算即可得出答案； （3）由函数图象即可得出答案； （4）写出生活中的例子即可． 【详解】（1）解：由图象可得：在这个变化过程中，自变量是高铁的速度，因变量是司机的视野； （2）解：由表格可得：， ∴，； （3）解：由函数图象可得，若高铁司机视野不小于度，则高铁行驶的速度最快是千米/时； （4）解：某天的气温随时间的变化而变化．自变量是时间，因变量是气温．（答案不唯一，合理即可） 【经典例题二 函数的解析式】 【例2】（23-24八年级下·河南鹤壁·期中）函数中自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据二次根式，以及分母不为0可得且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵函数有意义， ∴且， 解得且. 故选：D 1．（23-24七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，且，，点是线段上一个动点，由向以移动，运动至点停止，则的面积随点的运动时间之间的关系式为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是一个动点，由向以匀速移动，求出的底，即可求得的面积随点的运动时间之间的关系式． 【详解】解：是一个动点，由向以匀速移动， ， ， ； 故选：C． 【点睛】本题考查了函数关系式，求出的底是解题的关键． 2．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）一个等腰三角形的周长是60cm，腰为xcm，底为ycm，则y与x之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，函数解析式的确定，根据等腰三角形的周长公式列出函数关系式． 【详解】由题意得，， 则 ∵ ∴， ∴ 故答案为： 3．（23-24八年级上·浙江金华·期末）已知实数x，y满足． (1)用含x的代数式表示y，则 ． (2)若等腰三角形的腰长为x，底边长为y，该等腰三角形的周长为l． ①求l关于x的函数表达式； ②求l的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】此题考查求函数解析式，三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键： （1）通过移项、合并同类项、系数化为1即可得出y与x的关系式； （2）①根据三角形周长的计算公式解答即可； ②先求出x的取值范围，即可确定l的取值范围． 【详解】（1）解：， ， ∴， 故答案为：； （2）①由题意得，等腰三角形的周长， 由（1）得， ∴； ②由三角形三边关系定理得，， ∴， 解得， 又∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 【经典例题三 求自变量的取值范围】 【例3】（24-25九年级上·山东临沂·开学考试）已知函数．当时，函数值为，并且，为整数，则当时，函数值不可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数值，解题的关键是根据已知条件与所求的函数值建立关系．由当时，函数值为，可得到，再代入当时的函数值中，即可求解． 【详解】解：函数，当时，函数值为， ， 整理可得：， 当时，， ，为整数， 一定为奇数， 函数值不可能是， 故选：B． 1．（23-24九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（    ） A．x≥1 B．x≠2 C．x≥2 D．x≥1且x≠2 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解． 【详解】解：根据二次根式的意义可知：x-1≥0，即x≥1， 根据分式的意义可知：x-2≠0，即x≠2， ∴x≥1且x≠2． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 2．（2024·四川眉山·一模）函数的自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据被开方数是非负数且分母不等于零，可得答案，利用被开方数是非负数且分母不等于零得出不等式是解题关键． 【详解】解：由题意，得且， 解得且， ∴自变量的取值范围是且， 故答案为：且． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知一条钢筋长，把它折弯成长方形（或正方形）框，其一条边长记为，围成的面积记为． (1)求S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围． (2)分别求当，25，28时，函数S的值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）根据长方形的周长，可得长方形的另一边长，根据长方形的面积公式，可得答案； （2）根据自变量与函数值的对应关系，把自变量的值代入函数关系式，可得答案． 【详解】（1）解：长方形的另一边长为， ， 是长方形一边的长，， 长方形的另一边长为，得 ，解得， 自变量的取值范围为； （2）解：当时，； 当时，； 当时，． 【点睛】本题考查了函数关系式，利用长方形的面积是解题关键，自变量与函数值的对应关系是求函数值的关键． 【经典例题四 求自变量的值或函数值】 【例4】（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）已知函数，则当时，的值为（   ） A． B．或 C．或5 D．或5 【答案】A 【分析】此题考查的是根据函数值，求自变量的值，把代入解析式即可求解，掌握分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 【详解】解：当时，， 解得：，， ∵， ∴， 当时，， 解得：， ∵， ∴此情况不存在， ∴的值为， 故选：A． 1．（23-24八年级上·河南郑州·期末）结合学习函数的经验，小红在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．根据图象，小红得到了该函数四条结论，其中正确的是（    ） A．y随x的增大而减小 B．当时，y有最大值 C．当与时，函数值相等 D．当时， 【答案】D 【分析】根据函数的图象以及函数的解析式逐一判断即可． 【详解】A：由图象可知，当时，随的增大而增大，故本选项不合题意； B：函数的自变量的取值范围为，故本选项不合题意； C：当时，函数值为；当时，函数值为1，故本选项不合题意； D：由图象可知，当时，，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的图象和性质，解题关键是根据函数解析式得出函数值和自变量的取值范围． 2．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数，如果那么 ． 【答案】 【分析】本题考查求函数的函数值，先把代入可得到，然后代入解题即可． 【详解】解：当时，，解得， ∴当时，， 故答案为：． 3、（24-25八年级上·甘肃白银·期中）某商品的定价是每千克5元，元旦期间，该商品推出优惠活动，若一次购买该商品的数量超过2千克，则超过2千克的部分，价格打8折；若一次购买的数量不超过2千克（含2千克），仍按原价付款． (1)根据题意，填写下表． 购买的数量（千克） 1.5 2 3.5 4 …… 付款金额（元） 7.5 16 …… (2)若一次购买的数量为x千克，在的条件下，请你写出付款金额y（元）与x（千克）之间的关系式 (3)若某顾客一次购买该商品花费了68元，求该顾客购买商品的数量． 【答案】(1)10，18 (2) (3)16.5千克. 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意． （1）根据总价单价数量结合优惠政策，可分别求出购买2千克和4千克时所需费用； （2）根据题意即可找出与之间的函数关系式； （3）由（2）的结论结合某顾客一次购买该商品花费了68元，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：购买2千克时，付款金额为（元）； 购买4千克时，付款金额为（元）， 则填表如下： 购买的数量(千克) 1.5 2 3.5 4 … 付款金额(元) 7.5 10 16 18 … 故答案为：10，18； （2）解：当时，， ∴的条件下，付款金额y（元）与x（千克）之间的关系式为； （3）解：依题意，得，解得， 答：该顾客购买商品的数量为16.5千克． 【经典例题五 函数图象识别】 【例5】（23-24八年级下·云南曲靖·期末）如图，向高为的圆柱形水杯中注水，已知水杯底面圆半径为，那么注水量与水深的函数关系的图象是（　　） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的图象的知识点，根据圆柱形水杯是均匀的物体，随着水的深度变高，需要的注水量也是均匀升高，判断函数为正比例函数关系式，正确理解函数的图象是解题的关键． 【详解】由于圆柱形水杯是均匀的物体，随着水的深度变高，需要的注水量也是均匀升高的，可知， 只有选项适合均匀升高这个条件， 故选：． 1．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）如图，一辆货车匀速通过一条隧道（隧道长大于货车长），从货车头刚进入隧道开始，货车在隧道内的长度与行驶的时间之间的关系用图象描述大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查长度和时间之间的图象描述，根据题意可知货车进入隧道的长度和时间的关系具体可描述为：货车前期进入、完全进入和驶离隧道三个阶段，第一阶段随时间的增加长度逐渐增加，第二间阶段随时间增加但是长度不变，第三阶段随时间的增加长度逐渐减小，由题意知货车匀速通过一条隧道，则增加或减小的长度随时间均匀变化． 【详解】解：当货车开始进入时c长度逐渐变长，当货车完全进入隧道，由于隧道长大于货车长，此时长度达到最大，当货车开始出来时长度逐渐变小．另外是匀速运动，长度随时间的均匀变化而均匀变化，故图象呈直线型． 故选：C． 2．（23-24八年级下·河南信阳·期末）如图，下列各曲线中表示是的函数的有 （填序号）． 【答案】（1） 【分析】本题考查了函数的概念，根据“在某个变化过程中，如果两个变量和之间存在这样的关系，即对于在某一范围内的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，那么就称是的函数，称为自变量”即可求解． 【详解】解：根据函数的定义，自变量任意取一个值，函数都有唯一值对应， ∴是的函数的是（1）， 故答案为：（1） ． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）“漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度．下页哪个图象适合表示y与x的对应关系？（不考虑水量变化对压力的影响．） 【答案】图（2） 【分析】根据题意，可知y随x的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题． 【详解】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度， ∴y随x的增大而匀速的减小，符合一次函数图象， ∴图象（2）适合表示y与x的对应关系． 【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【经典例题六 从函数的图象获取信息】 【例6】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图1所示，在甲、乙两地之间有一车站丙（离乙地较近），一辆货车从甲地出发经丙站驶往乙地，一辆轿车从乙地出发经丙站驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，图2分别是货车、轿车行驶时离丙站的路程与行驶时间之间的函数图象．则下列说法错误的是（   ） A．货车的速度为 B． C．当时，两车相遇 D．当时，轿车刚好到达丙车站 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，有理数的除法运算．从图象中获取正确的信息是解题的关键． 由图可知，甲地与丙地相距，货车的速度为，可判断A的正误；从甲地到乙地的距离为，则乙地与丙地相距，即，可判断B的正误；轿车的速度为，则两车的相遇时间为，可判断C的正误；轿车刚好到达丙车站的时间为，可判断D的正确． 【详解】解：由图可知，甲地与丙地相距， 货车的速度为，A正确，故不符合要求； ∴从甲地到乙地的距离为， ∴乙地与丙地相距， ∴，B正确，故不符合要求； 轿车的速度为， 两车的相遇时间为，C错误，故符合要求； 轿车刚好到达丙车站的时间为，D正确，故不符合要求； 故选：C． 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）周末，自行车骑行爱好者甲、乙相约沿同一路线从地出发前往地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度骑行，乙比甲早出发分钟，乙骑行分钟后，甲以原速度的继续骑行，经过一段时间，甲先到达地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程（单位：米）与乙骑行的时间（单位：分钟）之间的关系如图所示．以下说法中错误的是（    ） A．点指甲从开始出发 B．甲的原速度为 C．甲与乙相遇时，甲出发了分钟 D．乙比甲晚分钟到达地 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，根据函数图象逐一排除即可，从图象中获取信息得到与问题相关的速度，时间，路程是解题的关键． 【详解】、根据图象可知：点指甲从开始出发，此选项正确，不符合题意； 、根据题意乙的速度为，设甲的原速度为， ∴，解得：，此选项正确，不符合题意； 、∵乙骑行分钟后，甲以原速度的继续骑行， ∴此时甲的速度为， ∴， 则甲与乙相遇时，甲出发了（分钟）， 此选项正确，不符合题意； 、当时，甲到达地，此时乙距离地还有（米）， 需要（分钟）， ∴乙比甲晚分钟到达地，此选项错误，符合题意； 故选：． 2．（2024·山东济南·模拟预测）2023年11月23日智博会在济南黄河国际会展中心举办，小明一家上午开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离与时间的函数图象．根据图中信息，车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的 倍． 【答案】// 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，分别求出修车之前的平均速度、车修好之后的平均速度，再列式计算即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得： 修车之前的平均速度是， 车修好之后的平均速度是， ， ∴车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的倍， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·山东青岛·期中）小明家距离学校8千米，今天早晨，小明骑车上学途中，自行车出现故障，恰好路边有便民服务点，几分钟后车修好了，他增加速度骑车到校．我们根据小明的这段经历画了一幅图象（如图），该图描绘了小明行的路程s与他所用的时间t之间的关系． 请根据图象，解答下列问题： (1)小明行了_____千米时，自行车出现故障；小明共用了_____分钟到学校； (2)小明修车用了多长时间？ (3)如果自行车未出现故障，小明一直用修车前的速度行驶，那么他比实际情况早到或晚到多少分钟？ 【答案】(1)3，30 (2)5分钟 (3)早到分钟 【分析】本题考查了函数图象，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，解题的关键是准确识图，从图象获取必要的信息． （1）根据自行车出现故障后路程不变解答；路程等于8千米时的时间即为用的时间； （2）修车的时间等于路程不变的时间； （3）利用“速度路程时间”分别列式计算即可得解． 【详解】（1）解：根据图象可得：小明行了3千米时，自行车出现故障；小明共用了30分钟到学校． 故答案为：3，30； （2）解：根据图象可得：（分钟）； 答：小明修车用了5分钟； （3）解：修车前速度：(千米/分)， （分钟）， （分钟）， 答：他比实际情况早到分钟． 【经典例题七 用描点法画函数图象】 【例7】（2021·陕西西安·模拟预测）变量的一些对应值如下表： … … … … 根据表格中的数据规律，当时，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格描点，连线，发现函数图像的特征，列出函数的解析式，利用函数解析式求函数值即可． 【详解】解：根据表格数据画出图象如图： 由图象可知，函数的解析式为， 把x＝﹣5代入得，． 故选择：B． 【点睛】本题考查分段函数，读懂表格信息，会利用图像求函数的解析式，会利用解析式求函数值是解题关键． 1．（2021·陕西西安·模拟预测）变量的一些对应值如下表： … … … … 根据表格中的数据规律，当时，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格描点，连线，发现函数图像的特征，列出函数的解析式，利用函数解析式求函数值即可． 【详解】解：根据表格数据画出图象如图： 由图象可知，函数的解析式为， 把x＝﹣5代入得，． 故选择：B． 【点睛】本题考查分段函数，读懂表格信息，会利用图像求函数的解析式，会利用解析式求函数值是解题关键． 2．（23-24八年级下·北京朝阳·期中）写出一个在函数图象上的点的坐标 ． 【答案】 【分析】根据所给函数可得该函数自变量的取值范围为，在给出一个合适的x值，代入函数解析式中求出y值，即可得出点的坐标． 【详解】解：∵， ∴，即该函数自变量的取值范围为x≠0， 当时，， ∴点（1，0）在该函数图象上． 故答案为：（1，0）． 【点睛】本题主要考查函数的图象定义：对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．注意：①函数图象上的任意点都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点是否在函数图象上的方法是：将点的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上． 3．（23-24八年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中画出的图像 解：列表（将下表填写完整） 描点 连线 【答案】见解析 【分析】先取出一些数据，填表；然后根据一次函数的解析式画出图象即可． 本题考查了描点法画函数图象，熟练掌握图象的画法是解题的关键． 【详解】解： 【经典例题八 动点问题的函数图象】 【例8】（24-25八年级上·四川达州·期中）如图，在中，，D 为斜边的中点，动点P 从B 点出发，沿运动，如图 1所示，设 ，点P 运动的路程为x ，若y 与x 之间的函数图象如图2 所示，则y 的最大值为（       ） A．2 B．3 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解决问题．根据已知条件和图象可以得到、的长度，当时，点P与点C重合，此时，从而可以求出函数的最大值． 【详解】解：根据函数图象可得，当时，点P与点C重合，，， ∵，点D为的中点， ∴当时，， 此时函数有最大值，则y 的最大值为3， 故选：B． 1．（23-24八年级下·河南南阳·期中）如图①在长方形中，动点P从点B出发，沿方向匀速运动至点A停止，已知点P的运动速度为，设点P的运动时间为，的面积为，若y关于t的函数图象如图②所示，则长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，根据y与x的函数图象求出长方形的长和宽是解决本题的关键． 由函数图象得：当时，点P到达点C；当时，点P到达点D，然后求出和的长即可． 【详解】解：由函数图象得：当时，点P到达点C；当时，点P到达点D； ∴，， ∴长方形的面积为， 故选：D． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，点P从长方形的顶点D出发，沿D→C→B→A路线以每秒的速度运动，运动时间x和的面积y之间构成的函数的图象如图2所示，则长方形的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，根据图2可知，当运动时间为4时，点P运动到点C处，当运动时间为7时，点P运动到点B处，据此求出的长即可得到答案． 【详解】解：由图2得，当运动时间为4时，点P运动到点C处， ∴， 当运动时间为7时，点P运动到点B处， ∴， ∴长方形的面积， 故答案为：12． 3．（23-24八年级下·河北沧州·期末）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度与旋转时间之间的关系如图2所示．      (1)根据图2填表： 旋转时间 0 3 6 8 12 … 高 5 5 5 … (2)变量是的函数吗？为什么？ (3)根据图中的信息，请写出摩天轮的直径． 【答案】(1) (2)变量是的函数，原因见解析 (3) 【分析】（1）由图2中函数图像，结合表中数据即可得到答案； （2）由函数的表示方法及函数定义即可判断； （3）由图2中信息可知，最低点坐标为，最高点坐标为，从而得到摩天轮的直径为 【详解】（1）解：由图2可知，当时，；当时，； 故答案为：； （2）解：由图2可知，对于自变量取值范围内，作轴的垂线，与函数图像有且只有一个值， 由函数定义可知变量是的函数； （3）解：由图2可知，摩天轮上离地面最低点坐标为，最高点坐标为， 摩天轮的直径为． 【点睛】本题考查从图像中获取信息解决问题，涉及函数关系判断、求相关数据等知识，看懂图像，数形结合是解决问题的关键． 【经典例题九 函数的三种表示方法】 【例9】（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）某航空公司规定，旅客可免费携带一定质量的行李，超出部分需另外收费，下表列出了乘客携带的行李质量x（千克）与其运费y（元）之间的一些数据： x（千克） 20 23 26 29 32 y（元） 0 90 180 270 360 若旅客携带了36千克的行李，他应该支付的运费为（    ） A．450元 B．480元 C．510元 D．600元 【答案】B 【分析】本题主要考查函数的表示方法，“当行李的质量超过20千克时，求出每千克需要支付的费用”是解题的关键． 由图表可知，当行李的质量超过20千克时，求出每千克需要支付的费用，即可求出答案． 【详解】解：由图表可知，当行李的质量超过20千克时，每千克需要支付的费用为（元）， 则（元）． 故选：B． 1．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如下表： 防水时间（） 1 2 3 4 … 水池中水量（） 48 46 44 42 … 下面说法不正确的是（    ） A．放水时间是自变量，水池中的水量是因变量 B．随着放水时间的增加，水池中水量减少 C．放水后，水池中的水全部放完 D．放水后，水池中还有水 【答案】D 【分析】根据表格中的数量关系可辨别各选项是否符合题意． 【详解】解：A、由题意可得，放水时间是自变量，水池中的水量是因变量，故选项正确； B、水池中原有水，每分钟放水，随着放水时间的增加，水池中水量减少，故选项正确，不符合题意； C、放水后，水池中的水还有，此时水池中水全部放完，故选项正确，不符合题意； D、放水后，水池中的水还有，故选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了利用函数解决实际问题的能力，解题的关键是准确理解题目中的数量关系，并能列式表达． 2．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）阅读下面材料：小明想探究函数的性质，他借助计算器求出了y与x的几组对应值，并在平面直角坐标系中画出了函数图象：小聪看了一眼就说：“你画的图象肯定是错误的．”请回答：小聪判断的理由是 ．写出函数的一条性质： ． x … 1 2 3 … y … 2.83 1.73 0 0 1.73 2.83 … 【答案】 因为函数值不可能为负，所以在x轴下方不会有图象 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大（答案不唯一） 【分析】此题考查函数的表示方法：表格法和图象法，还考查了函数的性质：利用表格中x与y的对应值确定函数图象的位置及函数的性质，正确理解表格中自变量与函数值的对应关系，分析其变化规律是解题的关键. 根据表格函数值没有负数解答，根据表格的x与y的值得到增减性. 【详解】解：由表格可知：∵函数值不可能为负， ∴在x轴下方不会有图象， 性质：当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， 故答案为：因为函数值不可能为负，所以在x轴下方不会有图象；当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大； 3．（2021·河南·二模）小云在学习二次根式以后突发奇想，就尝试着来研究和二次根式相关的函数下面是小云对其探究的过程，请补充完整：与x的几组对应值如表： x 0 1 2 3 y m 2 n 可得 ______ ， ______ ． 结合表，在平面直角坐标系xOy中，画出当时的函数y的图象． 结合表格和图象，请写出函数的三条性质． 【答案】（1）； ；（2）见解析；（3）①函数关于y轴对称；②函数没有最大值，有最小值2；③当时，y随x的增大而增大． 【分析】表示的是时，y的值，把代入函数解析式即可；n表示的是时，y的值，把代入函数解析式即可． 根据表格描点，连线，就可以得到． 结合图象，可以得出相关结论． 【详解】解：把代入函数， 可得； 把代入函数， 可得． 故答案为：；． 根据表格，可在图中描点，得到图形，如下图， 结合表格和图象，可得：函数关于y轴对称；函数没有最大值，有最小值2；当时，y随x的增大而增大． 【点睛】本题主要考查函数的表示方式：表格法和图象法，把两种表示方法结合在一起是本题解题关键． 【经典例题十 函数相关多结论问题】 【例10】（24-25九年级上·湖南岳阳·开学考试）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米/时，两车之间的距离（千米）与货车行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：①快递车从甲地到乙地的速度为100千米/时；②甲、乙两地之间的距离为120千米；③图中点的坐标为；④快递车从乙地返回时的速度为90千米/时．其中正确的是（    ） A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①③ 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键．根据函数图象得到3小时行驶120千米，即可判断①②，根据快递车到达乙地后缷完物品再另装货物共用分钟，得到点的横坐标，进而求得纵坐标，判断③，设快递车从乙地返回时的速度为千米时则返回时与货车共同行驶的时间为小时此时两车还相距千米，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：①设快递车从甲地到乙地的速度为千米时，由图像可得 ， ， 故①正确； ②因为千米是快递车到达乙地后两车之间的距离，不是甲、乙两地之间的距离， 故②错误； ③因为快递车到达乙地后缷完物品再另装货物共用分钟， 所以图中点的横坐标为， 纵坐标为， 故③正确； ④设快递车从乙地返回时的速度为千米时则返回时与货车共同行驶的时间为小时，此时两车还相距千米， 由题意，得， ， 故④正确． 其中正确的是：①③④． 故选C． 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）惠农种子公司以一定价格销售“丰收一号”玉米种子，如果一次购买以上(不含)的种子，超过的那部分种子的价格将打折，并依此得到付款金额y(单位：元)与一次购买种子质量x(单位：)之间的函数关系如图所示．下列四种说法：①一次购买种子时，付款金额为100元；②一次购买种子质量不超过时，销售价格为5元/；③一次购买以上的种子时，超过的那部分种子的价格打五折；④一次购买种子比分两次购买且每次购买种子少花20元钱．其中正确的有（    ） A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据购买种子花费50元可得一次购买种子质量不超过时，销售价格为元/，据此可判断①；根据购买种子花费150元，可建立方程求出一次购买以上的种子时，超过的部分价格为元，据此可判断③；再分别求出一次购买种子，一次购买种子，分两次购买且每次购买种子的费用，即可判断①④． 【详解】解：由函数图象可知一次购买种子质量不超过时，销售价格为元/，故②正确； 设一次购买以上的种子时，超过的部分价格为m元， 由题意得，， 解得， ∴一次购买以上的种子时，超过的部分价格为元， ∵， ∴一次购买以上的种子时，超过的那部分种子的价格打五折，故③正确； ∵元， ∴一次购买种子时，付款金额为100元，故①正确； 一次购买种子时，所需费用为元， 分两次购买且每次购买种子的费用为元， ∴一次购买种子比分两次购买且每次购买种子少花25元钱，故④错误； ∴正确的有①②③， 故选：C． 1．（23-24七年级下·内蒙古包头·阶段练习）小张从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示，下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，则下列说法中正确的个数是（    ） ①小张家距离单位4千米；②小张上班所用的时间为分钟；③小张上坡的速度是千米/小时；④小张下班所用时间为分钟． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象．从图象中获取正确的信息是解题的关键． 由题意知，小张家距离单位4千米；小张上班所用的时间为分钟；小张上坡的速度是千米/小时；小张下班返回时走下坡路的速度为千米/小时，路程为千米，可求走上坡路的时间为分钟，小张下班返回时走上坡路的速度为千米/小时，路程为千米，可求走上坡路的时间为分钟，小张下班返回时走平路的时间为3分钟，进而可得小张下班所用时间为分钟；然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，小张家距离单位4千米；小张上班所用的时间为分钟；小张上坡的速度是千米/小时； 小张下班返回时走下坡路的速度为千米/小时，路程为千米， ∴走上坡路的时间为分钟， 小张下班返回时走上坡路的速度为千米/小时，路程为千米， ∴走上坡路的时间为分钟， 小张下班返回时走平路的时间为3分钟， ∴小张下班所用时间为分钟； ∴①②④正确，故符合要求；③错误，故不符合要求； 故选：C． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个过程中，汽车离开A城的距离与时间t的对应关系如图所示，下列说法： ①A、B两城相距300 ②甲车比乙车多用两个小时 ③甲车出发一个半小时后被乙车追上 ④甲乙两车的速度比为 ⑤乙车追上甲车时距终点B城还有150 其中正确的说法是（　　） A．①②④⑤ B．①②③④ C．①②⑤ D．①③⑤ 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象去分析各个说法即可． 【详解】①由图象得甲乙两人到达终点时，都是距离城的距离为，故①正确； ②甲所用的时间为（小时），乙所用的时间为（小时）， （小时）， 甲车比乙车多用两个小时，故②正确； ④，，，故④正确； ③由图象得甲比乙早出发一个小时，路程差，则乙追上甲用时为小时，即甲车出发两个半小时后被乙车追上，故③错误； ⑤由③④得：乙车追上甲车时距终点城为，故⑤正确． 故选：A． 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．根据最近人体构造学的研究成果，下表是测得的指距与身高的一组数据： 指距d（） 20 21 22 23 身高h（） 已知，世界上被证实最高的人的身高是厘米，则他的指距约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用表格表示函数关系，根据表格可知，指距每增加身高就增加，据此列式计算即可求出答案． 【详解】解：根据表格可知，指距每增加身高就增加， ， 即世界上被证实最高的人的身高是厘米，则他的指距约为， 故选：B． 2．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，其中错误的结论是（    ） A．甲步行的速度为60米/分； B．乙走完全程用了30分钟； C．乙到达终点时，甲离终点还有360米； D．乙用16分钟追上甲； 【答案】D 【分析】本题考查函数图象，根据题意和函数图象中的数据可以逐个判断结论是否正确即可解答． 【详解】解：根据图象，甲步行4分钟走了240米， 甲步行的速度为（米分），故选项A正确，不符合题意； 由图象可知，甲出发16分钟后乙追上甲，则乙用了（分钟）追上甲，故选项D错误，符合题意； 乙的速度为（米分）， 则乙走完全程的时间为（分，故选项B正确，不符合题意； 当乙到达终点时，甲步行了（米， 甲离终点还有（米，故选项C正确，不符合题意； 故选：D． 3．（2024·河北邢台·模拟预测）一个小球沿一个光滑斜坡上下滚动，其速度v（单位：）与时间t（单位：）的图象如图所示．下列说法错误的是（    ） A．小球的初始速度为 B．小球先沿斜坡向下滚动，再沿斜坡向上滚动 C．当时，小球的速度每秒增加 D．小球在整个滚动过程中，当时，到达斜坡的最高处 【答案】B 【分析】本题考查动点问题函数图象，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据函数图象结合图形分析即可． 【详解】解：由函数图象可得时速度为，故A选项不符合题意； 由函数图象可得速度先减小后增加，所以小球先沿斜坡向上滚动，再沿斜坡向下滚动，故B选项错误，符合题意； 当时，小球的速度每秒增加，故C选项不符合题意； 当时，到达斜坡的最高处，故D选项不符合题意； 故选：B． 4．（23-24八年级下·山西长治·期末）下列选项中，不是函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数，根据函数的定义：自变量每取一个值，都有唯一确定的值与之对应，则叫的函数，据此即可得判断求解，掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 、自变量每取一个值，有两个值和它对应， ∴不是函数，该选项符合题意； 、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 故选：． 5．（23-24七年级上·山东淄博·期末）等腰三角形的周长是，底边长是腰长的函数，此函数关系式和自变量取值范围正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的周长和三边关系，掌握三角形周长等于三边之和及两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解决本题的关键．根据三角形的周长为，可得出与的关系，再根据三角形的三边关系可确定的范围． 【详解】解：根据三角形周长等于三边之和可得： ∴， 根据三角形三边关系可得：， 即： ∴可知 故选：C． 6．（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）小红和小星分别从甲、乙两地相向而行，进行跑步训练．他们同时出发，小红从甲地向乙地跑，到达乙地停止，小星从乙地向甲地跑，到达甲地停止．假设小红和小星跑步的速度均为匀速，且小红的速度比小星的速度慢．在跑步过程中，已知小红和小星之间相距的路程s(单位：km)与小红所花的时间t(单位：h)之间的关系如图所示，则当小星到达终点时，小红离终点的路程是 km． 【答案】0.64 【分析】设小红的速度为，小星的速度为．由图知甲乙两地相距，两人出发0.2小时相遇，由此可得．又由图知小星从乙地跑到甲地用了0.32小时，则可得的值，进而求得的值，由此即可求出当小星到达终点时，小红离终点的路程． 本题考查了用图像表示变量之间的关系，解题的关键是认真读题，并结合图像弄清楚图像上每一个点所表示的实际意义． 【详解】解：设小红的速度为，小星的速度为． 由图知甲乙两地相距，两人出发0.2小时相遇， ∴， ， 又由图知小星从乙地跑到甲地用了0.32小时， ， ， ∴小星到达甲地时小红好跑了， 此时小红离终点的路程为． 故答案为：0.64 7．（24-25八年级上·上海·期中）上海与杭州两地之间的距离是，若汽车以每小时的速度匀速从杭州开往上海，则汽车距杭州的路程与行驶的时间之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据实际问题列一次函数关系，正确掌握路程、时间、速度之间的关系是解题关键．根据题意得到时间的取值范围，再结合路程、时间、速度之间的关系列出函数关系式即可． 【详解】解：（小时）， ． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息，已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，有如下四个结论：①甲的速度是4米/秒；②甲从起点到终点共用80秒；③离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点60米；④甲、乙两人相距的最大距离为68米．上述所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查从函数图像获取信息，根据函数图象得出相关信息是解题关键． 根据图象及行程问题进行先求出甲、乙的速度即可求解． 【详解】解：由图可知：甲3秒跑了12米， ∴甲的速度是4米/秒；故①正确； ∴甲从起点到终点共用（秒），故②不正确； 由图知，乙用80秒跑400米， ∴乙速度为5米/秒， ∴乙追上甲用的时间为（秒），此时距出发点（米），故③正确； 乙出发80秒时，甲跑的路程是（米），此时甲、乙两人相距距离最大，最大距离是（米），故④正确； 故答案为：①③④． 9．（2024·山东济南·模拟预测）甲乙两地相距a千米，小亮乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数图象、一元一次方程的应用，从函数图象中正确获取信息是解题关键．先根据函数图象分别求出慢车和快车的速度，再根据相遇时，慢车与快车行驶的路程之和等于甲乙两地的距离建立方程，解方程即可得． 【详解】解：由函数图象可知，慢车的行驶速度为（千米/分钟），快车的行驶速度为（千米/分钟）， 设慢车行驶分钟后，小亮与小莹相遇， 则，即， 解得， 所以小亮与小莹相遇的时刻为， 故答案为：． 10．（23-24六年级下·山东威海·期末）如图，在梯形中（图1），，，．动点P以每秒的速度沿着方向运动，相应的的面积与时间之间的函数关系如图2所示．则梯形的面积为 ．（温馨提示：梯形的面积） 【答案】 【分析】本题考查动点的图像问题，能从图象中提取相关信息计算是解题的关键． 【详解】由题可得当时，面积最大，这时点P与D重合， ∴梯形的高为， 从第到第时，面积不变， ∴， ∴梯形的面积， 故答案为：． 11．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）一架飞机停机前一段时间内的速度和经过时间之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 … 42 39 36 33 30 … (1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______； (2)飞机运行的时间每增加，飞机的速度是如何变化的？ (3)根据表格估计经过多长时间，飞机的速度变为？ 【答案】(1)时间，速度 (2)飞机运行的时间每增加，飞机的速度是减少3； (3)估计经过，飞机的速度变为． 【分析】此题考查了自变量和因变量、用表格表示变量间的关系、一元一次方程的应用． （1）根据题意得到一架飞机停机前一段时间内的速度随着时间的变化而变化，即可得到答案； （2）由题意可知，飞机运行的时间每增加，飞机的速度是减少3，即可得到答案； （3）设估计经过x，飞机的速度变为，飞机运行的时间每增加，飞机的速度是减少3，据此列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知，一架飞机停机前一段时间内的速度随着时间的变化而变化， ∴在这个变化过程中，自变量是时间，因变量是速度； 故答案为：时间，速度 （2）由题意可知，飞机运行的时间每增加，飞机的速度是减少3； （3）设估计经过x，飞机的速度变为， 则， 解得， 即估计经过，飞机的速度变为 12．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）科学家一直以来都在不断探索地球奥秘的路途中，经过大量的模拟实验，发现地表以下岩层的温度与所处深度的关系如表所示． 所处深度 1 2 3 4 5 6 7 岩层的温度 55 90 125 160 195 230 265 (1)表中，自变量为______，因变量为______； (2)请求出地表以下岩层的温度与所处深度的关系式； (3)当岩层的温度为时，求所处深度． 【答案】(1)所处深度；岩层的温度 (2) (3) 【分析】本题考查函数的表示方法、常量与变量、函数关系式， （1）根据自变量与因变量的定义作答即可； （2）根据“地表以下岩层的温度深度为处岩层的温度所处深度增加，岩层的温度升高量”计算即可； （3）将代入（2）中求得的关系式，求出对应的值即可． 【详解】（1）解：表中，自变量为所处深度，因变量为岩层的温度． 故答案为：所处深度，岩层的温度． （2）由表格可知，所处深度增加，岩层的温度升高， 则， 与的关系式为． （3）当时，得， 解得， 当岩层的温度为时，所处深度是． 13．（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）某体育用品专卖店为了对某新品牌的羽毛球拍进行促销，推出两种优惠方案．方案一：买一支球拍赠送一打羽毛球；方案二，按购买金额打九折付款．已知羽毛球拍每支售价60元，羽毛球每打售价10元，校羽毛球队欲购买球拍20支，羽毛球x打（）供训练使用． (1)写出每种优惠方案实际付款金额y（元）与x（打）之间的函数关系式； (2)若只能按一种方案购买，比较购买100打的羽毛球，按哪种方案付款更合算； (3)若专卖店允许以任意选择一种优惠方案购买，也可以用两种方案混合购买，请就购买球拍20支和羽毛球50打设计一种最省钱的购买方法． 【答案】(1)方案一：； 方案二： (2)按照方案二付款更合算 (3)用方案一买20支球拍赠20打羽毛球，剩下的30打羽毛球用方案二购买 【分析】本题考查了列函数关系式，解题的关键是读懂题意，根据题意列出方程． （1）根据方案一和方案二的优惠政策列出函数关系式即可； （2）根据购买100打的羽毛球，求出分别用方案一和方案二购买需要的费用，即可选出最合适的方案； （3）因为可以任意选择一种优惠方案，也可以同时用两种方案购买，所以分三种情况分别讨论，进行比较即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得， 方案一：； 方案二：． （2）购买100打的羽毛球，则， 方案一：； 方案二：， ∵，    ∴按照方案二付款更合算． （3）当买20支球拍和50打羽毛球时，即， 方案一：（元）， 方案二：（元）， 两种方案买：（元）， ∵， ∴用方案一买20支球拍赠20打羽毛球，剩下的30打羽毛球用方案二购买． 14．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）周末，小明骑车想去电影院看电影，当他骑了一段时间后，想起要买点饮料和爆米花，于是又折回到刚经过的超市，买到东西后继续骑车去电影院．他离家距离（米）与所用的时间（分钟）的关系如图所示．根据如图回答下列问题： (1)小明家到电影院的距离是______米； (2)小明在超市停留了______分钟； (3)在去电影院的途中，小明一共骑行了______米； (4)在去电影院的途中______（时间段）小明骑车速度最快，最快速度是______ 【答案】(1)1500 (2)4 (3)2700 (4)第分钟，450米/分 【分析】本题考查了函数的图象，读懂图象信息、熟练掌握路程、速度与时间的关系是解题的关键． （1）直接根据图象写出即可； （2）与横轴平行的线段表示路程没有变化，据此解答即可； （3）共小明骑行的路程=小明家到电影院的距离+折回超市的路程，据此计算即得答案； （4）先结合图象与路程、速度与时间的关系计算出各时段的速度，再进行比较即可． 【详解】（1）解：小明家离电影院的距离是1500米． 故答案为：1500； （2）解：由图象可知：小明在超市停留了 (分钟)． 故答案为：4； （3）解：（米），即本次上学途中，小明一共骑行了2700米． 故答案为：2700； （4）解：折回之前的速度（米/分）； 折回超市时的速度（米/分）； 从超市到电影院的速度（米/分）； 经过比较可知：小明从超市到电影院的速度最快，即在整个上学的途中，从第分钟小明骑车速度最快，最快的速度是 450 米/分． 故答案为：第分钟，450米/分． 15．（23-24八年级下·全国·期中）一个装有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4内只进水不出水，在随后的14内既进水又出水，在第18后只出水不进水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量）（单位：）与时间x（单位：）之间的关系如图所示． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)每分钟的进水量为_____，每分钟的出水量为_____； (2)求m的值； (3)若在某一时间x（）时，容器内水量恰好为30，直接写出此时x的值为_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查通过图象求信息． （1）通过图象先求出每分钟进水量，再求出每分钟出水量即可； （2）通过图象先求出第时容器内的水量，继而求出m的值； （3）先用第时容器内的水量减去某一时间x时容器内水量恰好为30，结果除以每分钟出水量，后加上即可得到x的值． 【详解】（1）解：由图可知， ∵从某时刻开始的4内只进水不出水， ∴每分钟进水量为：， ∵在随后的14内既进水又出水， ∴每分钟出水量为：， 故答案为：； （2）解：由图可得， ∵第时容器内的水量有：， ∴， ∴m的值为； （3）解：∵在第18后只出水不进水，每分钟的进水量和出水量是两个常数， ∵第时容器内的水量有：， ∴由题意得：， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$