精品解析：四川省内江市资中县育才学校2024—2025学年上学期九年级数学月练习

2024-2025学年度资中县育才学校九年级上册数学月练习 A卷（共100分） 一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列根式是最简二次根式的是（　　　）． A. B. C. D. 4. 若，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如果关于x的方程（m-3）x +mx+1=0是一元二次方程，则m为（　　） A. -1 B. -1或3 C. 3 D. 1或-3 6. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 7. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 8. 已知在中，，，是边上的高．若，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 9. 《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长?若设绳索长x尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 若，且关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 11. 已知方程的两个实数根，满足，则实数的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 12. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是线段AB上的一点，连接CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下三个结论： ①； ②若点D是AB的中点，则AF=AB； ③若，则S△ABC=6S△BDF；其中正确的结论的序号是（　　） A. ①②③ B. ①③ C. ①② D. ②③ 二、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13. 若y＝＋＋1，则xy＝_____． 14. 如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接交于点F，则的面积与的面积之比为_____ 15. 如图，平面直角坐标系中，已知和B点，点C是的中点，点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与相似，那么点P的坐标是_________. 16. 已知，，且，则的值等于______. 三、解答题（共4小题，满分44分） 17. 计算下列各题： （1）； （2）； （3）． 18. 用指定的方法解下列一元二次方程： （1）x2﹣2x﹣2＝0（公式法）； （2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）（因式分解法）； （3）2x2﹣4x+1＝0（配方法） 19. 如图，在菱形中，E为边上一点，． （1）求证：； （2）若，，求菱形的边长． 20. 用篱笆靠墙围成矩形花圃，墙可利用的最大长度为15m，篱笆总长为24m． （1）若围成的花圃面积为，求的长； （2）如图（2），若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃总面积为，则能否成功围成花圃？如果能，求的长；如果不能，请说明理由． B卷（共60分） 一、填空题（共4小题，满分24分，每小题6分） 21. 已知m为方程的一个根，则代数式的值为______． 22. 已知反比例函数y=﹣和一次函数y=kx+1的图象只有一个公共点，那么k的值为_____． 23. 如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动．若P、Q两点同时开始运动，当点P运动到点B时停止，点Q也随之停止．运动过程中，若以B、P、Q为顶点的三角形与相似，则运动时间为________s． 24. 如图，在正方形中，点为边的中点，连接，过点作于点，连接交于点．则为_____________． 二、解答题（共3小题，满分36分，每小题12分） 25. 某班数学兴趣小组在学习二次根式时进行了如下题目的探索研究： （1）填空　　；　　； （2）观察第（1）题的计算结果回答：一定等于　　 ． ． ． ．不确定 （3）根据（1）、（2）的计算结果进行分析总结的规律，计算：． （4）请你参照数学兴趣小组的研究规律，化简：． 26. 如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE． （1）判断线段BD与CE的数量关系并给出证明； （2）延长ED交直线BC于点F． ①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______； ②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由． 27. 阅读下列范例，按要求解答问题． 例：已知实数、、满足，，求、、的值． 解法1：由已知得，①．② 将①代入②，整理得．③ 由①、③可知，、是关于的方程④的两个实数根． ，即．而，，， 将代入④，得．，即．，． 解法2：，、设，．① ，．② 将①代入②，得． 整理，得，即．，． 将、的值同时代入①，得，．，． 以上解法1是构造一元二次方程解决问题．若两实数、满足，，则、是关于的一元二次方程的两个实数根，然后利用判别式求解． 以上解法2是采用均值换元解决问题。若实数、满足，则可设，，一些问题根据条件，若合理运用这种换元技巧，则能使问题顺利解决． 下面给出两个问题，解答其中任意一题： （1）用另一种方法解答范例中的问题． （2）选用范例中的一种方法解答下列问题： 已知实数、、满足，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度资中县育才学校九年级上册数学月练习 A卷（共100分） 一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：A、方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、方程，是一元二次方程，故本选项符合题意； C、方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、当时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法，减法，以及乘除法运算，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 根据二次根式的加法，减法，以及乘除法运算计算即可． 【详解】解：A选项，与不是同类二次根式，不能合并，故错误； B选项，属于同类二次根式相减，即，故错误； C选项，根据二次根式的除法运算法则，，故错误； D选项，根据二次根式的乘法运算法则，，故正确． 故选：D ． 3. 下列根式是最简二次根式的是（　　　）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式， 判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．据此判定即可． 【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误； B、符合最简二次根式的定义，故本选项正确； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项错误； D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误； 故选∶B． 4. 若，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用已知表示出x，y的值，进而代入计算得出答案． 【详解】∵， ∴设x=5a，y=2a， ∴=． 故选C． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键． 5. 如果关于x的方程（m-3）x +mx+1=0是一元二次方程，则m为（　　） A. -1 B. -1或3 C. 3 D. 1或-3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由于原方程是一元二次方程，那么有x的次数是2，即m2-2m-1=2，系数不等于0，即m-3≠0，联合起来解即可． 【详解】根据题意得m-3≠0，m2-2m-1=2， 解得m=-1． 故选A． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 6. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 7. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把方程变形为x2−4x＝7，然后把方程两边加上4后利用完全平方公式写为（x−2）2＝11即可． 【详解】x2−4x＝7， x2−4x＋4＝11， 所以（x−2）2＝11． 故选A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程−配方法：将一元二次方程配成（x＋m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 8. 已知在中，，，是边上的高．若，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是含30度角的直角三角形性质和三角形内角和定理的应用，求出，求出，根据含30度角的直角三角形性质求出，，求出即可．关键是求出，． 【详解】解：是高，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 9. 《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长?若设绳索长x尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．根据题意利用勾股定理可直接进行列式求解． 【详解】解：设绳索长x尺，则木柱高为尺， 由题意得：； 故选：A． 10. 若，且关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和一元一次方程的解．同时考查了非负数的性质．先根据非负数的性质求出与的值，再分类讨论：当，方程变形为，此一元一次方程有解；当，，方程有两个实数解，得到且，然后综合两种情况即可得到实数的取值范围． 【详解】解：， ，， ，， 方程即为方程． 当，方程变形为，此一元一次方程的解为； 当，， 解得， 即且时，方程有两个实数根， 综上所述实数的取值范围为． 故选：B． 11. 已知方程的两个实数根，满足，则实数的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数关系即韦达定理，两根之和是，两根之积是．同时考查代数式的变形．由根与系数关系可得：，；而与可用关系式联系起来． 【详解】解：方程的两个实数根为，； 则，． ， ， 即， ， ， 解得或． 故选：D． 12. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是线段AB上的一点，连接CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下三个结论： ①； ②若点D是AB的中点，则AF=AB； ③若，则S△ABC=6S△BDF；其中正确的结论的序号是（　　） A. ①②③ B. ①③ C. ①② D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】①先证明△AFG∽△CFB，然后根据相似三角形的性质得； ②由点D是AB的中点，易证得，再根据AC=AB即可求解； ③先判断出AF=AC，进而得出S△BDF=S△ABC，即S△ABC=12S△BDF． 【详解】∵∠ABC=90°，∠GAD=90°， ∴AG//BC， ∴△AFG∽△CFB， ∴， ∵AB=BC， ∴，故①正确． ∵∠BCD+∠EBC=∠EBC+∠ABG=90°， ∴∠BCD=∠ABG， ∵AB=BC，∠CBD=∠BAG=90°， ∴△CBD≌△BAG， ∴AG=BD， ∵BD=AB， ∴， ∴， ∴， ∵AC=AB， ∴AF=AB，故②正确； ∵AG=BD，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴AF=AC， ∴S△ABF=S△ABC； ∵S△BDF=S△ABF， ∴S△BDF=S△ABC， 即S△ABC=12S△BDF，故③错误； 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，比例的基本性质，同底的两三角形的面积比是高的比，解本题的关键是用比例的基本性质推导线段的比，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用． 二、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13. 若y＝＋＋1，则xy＝_____． 【答案】． 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到关于x的不等式组，求出x，代入求出y，即可求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得x＝ ， ∴＝1， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，熟练掌握二次根式有意义的条件，代数式求值，根据二次根式有意义的条件求出x、y的值是解题关键． 14. 如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接交于点F，则的面积与的面积之比为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质以及判定，先证明，再求出的值，根据两个相似三角形面积之比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，平面直角坐标系中，已知和B点，点C是的中点，点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与相似，那么点P的坐标是_________. 【答案】或 【解析】 【分析】设P（x，0），可表示出AP的长，分△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB，利用相似三角形的性质可得到关于x的方程，解方程即可求得P点的坐标． 【详解】解：∵A（8，0），B（0，6）， ∴OA＝8，OB＝6， ∴AB＝10， ∵C是AB的中点， ∴AC＝5， 设P（x，0）， 由题意可知点P在点A的左侧， ∴AP＝8−x， 分情况讨论： ①当△APC∽△AOB时，则 ，即， 解得x＝4， ∴P（4，0）； ②当△ACP∽△AOB时，则，即， 解得x＝， ∴P（，0）； 故答案为（4，0）或（，0）． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意分类讨论． 16. 已知，，且，则的值等于______. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据m和n的值得出和的值，从而得出和的值，然后利用整体代入求出a的值． 【详解】解：由，得， 两边平方，得， 即，故， 同理，得， 代入， 得 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的灵活运用，直接将m、n的值代入，运算比较冗繁，解题关键是求出部分代数式的值再整体代入． 三、解答题（共4小题，满分44分） 17. 计算下列各题： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）3 （2）4 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． （1）根据二次根式的乘除法则运算； （2）先利用完全平方公式计算，再合并即可； （3）根据二次根式的乘法法则、绝对值的意义和零指数幂的意义运算； 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ． 18. 用指定的方法解下列一元二次方程： （1）x2﹣2x﹣2＝0（公式法）； （2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）（因式分解法）； （3）2x2﹣4x+1＝0（配方法） 【答案】（1）x1＝1+ ，x2＝1﹣ ；（2）x1＝ ，x2＝3；（3）x1＝1+ ，x2＝1﹣． 【解析】 【分析】（1）利用公式法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解； （3）利用配方法解方程即可求解． 【详解】（1）∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣2， ∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＝4+8＝12＞0， 则 x＝ ＝1±， ∴x1＝1+，x2＝1﹣； （2）∵2（x﹣3）＝3x（x﹣3）， ∴2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0， 则（2﹣3x）（x﹣3）＝0， ∴2﹣3x＝0 或x﹣3＝0， 解得：x1＝，x2＝3； （3）∵2x2﹣4x+1＝0， ∴2x2﹣4x＝﹣1， ∴x2﹣2x＝﹣， 则 x2﹣2x+1＝﹣+1，即（x﹣1）2＝， ∴x﹣1＝±， 则 x1＝1+，x2＝1﹣． 【点睛】此题分别考查了一元二次方程的几种解法，解题的关键是根据不同方程的形式选择最佳方法解决问题． 19. 如图，在菱形中，E为边上一点，． （1）求证：； （2）若，，求菱形的边长． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是关键． （1）根据菱形的性质，得出，进而证明结论即可； （2）根据菱形的性质和相似三角形的性质，得到，即可求出菱形的边长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， ， ， ， ，， ， 为边长， 20. 用篱笆靠墙围成矩形花圃，墙可利用的最大长度为15m，篱笆总长为24m． （1）若围成的花圃面积为，求的长； （2）如图（2），若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃总面积为，则能否成功围成花圃？如果能，求的长；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）的长为； （2） 不能围成花圃，理由如下： 根据题意得， ， 方程可化为， ∴， ∴方程无实数解， ∴不能围成花圃． 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用． （1）由于篱笆总长为，设平行于墙的边长为，由此得到，接着根据题意列出方程，解方程即可求出的长； （2）不能围成花圃；根据（）得到，此方程的判别式，由此得到方程无实数解，所以不能围成花圃． 【小问1详解】 解：设平行于墙的边长为． 根据题意得，， 则， ∴， 因为， 所以舍去， 所以， 答：的长为； 【小问2详解】 略 B卷（共60分） 一、填空题（共4小题，满分24分，每小题6分） 21. 已知m为方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解及代数式求值，解题关键是运用整体代入思想进行解题．先将m代入方程得，再将代入变形后的式子进行化简求值即可． 【详解】解：根据题意得：， ． 故答案为：9． 22. 已知反比例函数y=﹣和一次函数y=kx+1的图象只有一个公共点，那么k的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】解方程组得到kx2+x+2=0，由反比例函数的图象与直线y=kx+1（k≠0）只有一个公共点，得到△=1-8k=0，求得k=. 【详解】解：由得kx2+x+2=0， ∵反比例函数y=-和一次函数y=kx+1的图象只有一个公共点， ∴△=1-8k=0， ∴k=， 故答案为． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，知道反比例函数的图象与直线y=kx+1（k≠0）只有一个公共点时，△=0是解题的关键． 23. 如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动．若P、Q两点同时开始运动，当点P运动到点B时停止，点Q也随之停止．运动过程中，若以B、P、Q为顶点的三角形与相似，则运动时间为________s． 【答案】2或 【解析】 【分析】设点P运动的时间为，则，，再分两种情况求t的值，一是，则，可列方程；二是，则，可列方程，解方程求出相应的t的值即可． 【详解】解：设点P运动的时间为，则， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， 解得； ∵， ∴当时，， ∴， ∴， 解得． 综上所述，运动时间为或． 故答案为：2或． 【点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质、动点问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示相似三角形的对应边的长度是解题的关键． 24. 如图，在正方形中，点为边的中点，连接，过点作于点，连接交于点．则为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】设正方形的边长为，由勾股定理求得，易证，得到，进而求得，再证 ，利用相似三角形的性质求得 于是，最后进一步求比值即可． 【详解】设正方形的边长为， ∵四边形为正方形， ， ∵点为边的中点， ， 在中,， ∵, ， ， 又 ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理，找出合适的相似三角形，利用相似三角形的性质得出相关线段之间的关系式解题关键. 二、解答题（共3小题，满分36分，每小题12分） 25. 某班数学兴趣小组在学习二次根式时进行了如下题目的探索研究： （1）填空　　；　　； （2）观察第（1）题的计算结果回答：一定等于　　 ． ． ． ．不确定 （3）根据（1）、（2）的计算结果进行分析总结的规律，计算：． （4）请你参照数学兴趣小组的研究规律，化简：． 【答案】（1）3，5．（2）C．（3）b−a．（4）． 【解析】 【分析】（1）依据被开方数即可计算得到结果； （2）观察计算结果不一定等于a，应根据a的值来确定答案； （3）原式利用得出规律计算即可得到结果． （4）直接利用完全平方公式，变形化简即可． 【详解】（1）3，＝5； 故答案为：3，5． （2）不一定等于a，也不一定等于−a，＝|a|， 故答案为：C． （3）∵a＜b， ∴a−b＜0， ∴＝b−a． （4） = = = =． 【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解本题的关键． 26. 如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE． （1）判断线段BD与CE的数量关系并给出证明； （2）延长ED交直线BC于点F． ①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______； ②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由． 【答案】（1）解：． 证明：∵是等边三角形， ∴，． ∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 即． 在和中 ， ∴， ∴； （2）①； ②，理由如下： 过点A作于点G，连接AF，如下图． ∵是等边三角形，， ∴， ∴． ∵是等边三角形，点F为线段BC中点， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴． ∵，， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的性质和旋转的性质易得到，再由全等三角形的性质求解； （2）①根据线段绕点A按逆时针方向旋转得到得到是等边三角形， 由等边三角形的性质和（1）的结论来求解；②过点A作于点G，连接AF，根据等边三角形的性质和锐角三角函数求值得到，，进而得到，进而求出，结合，ED＝EC得到，再用等腰直角三角形的性质求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：① 理由：∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）得， ∴； ②略． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解相关知识是解答关键． 27. 阅读下列范例，按要求解答问题． 例：已知实数、、满足，，求、、的值． 解法1：由已知得，①．② 将①代入②，整理得．③ 由①、③可知，、是关于的方程④的两个实数根． ，即．而，，， 将代入④，得．，即．，． 解法2：，、设，．① ，．② 将①代入②，得． 整理，得，即．，． 将、的值同时代入①，得，．，． 以上解法1是构造一元二次方程解决问题．若两实数、满足，，则、是关于的一元二次方程的两个实数根，然后利用判别式求解． 以上解法2是采用均值换元解决问题。若实数、满足，则可设，，一些问题根据条件，若合理运用这种换元技巧，则能使问题顺利解决． 下面给出两个问题，解答其中任意一题： （1）用另一种方法解答范例中的问题． （2）选用范例中的一种方法解答下列问题： 已知实数、、满足，，求证：． 【答案】（1） 解：由已知等式消去，得， 即， ， 故，， 于是由，得， 故，； （2） 证明：由已知得① ② 将①代入②得， ③ 由①③可知，、是关于的方程④的两个实数根． ， 化简得， 而， ． 将代入④， 解得， ， ． 【解析】 【分析】此题考查了利用换元法根据根与系数的关系构造一元二次方程，还涉及非负数的性质等内容，解决本题的关键是掌握用换元法构造一元二次方程． （1）此题可以利用方程组的知识建立起与之间的关系，根据非负数的性质解答； （2）利用换元法构造一元二次方程，然后利用根与系数的关系解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $