精品解析：浙江省嘉兴市秀洲区上海外国语大学秀洲外国语学校2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试题

2024学年第一学期期中测试试题卷（2024.11） 九年级数学学科 考生注意： 1．本试题卷分选择题、填空题和解答题三部分，共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题时，请在答题纸相应的规定位置上规范作答，在试题卷上的作答一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在下列四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题是考查运用旋转设计图案，根据旋转图形的特点解答即可． 【详解】解：A、不能旋转得到，错误； B、可以旋转得到，正确； C、不能旋转得到，错误； D、不能旋转得到，错误； 故选：B． 2. 如图，⊙是的外接圆，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=100°， ∴∠ACB=∠AOB=×100°=50°． 故选D． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式的特点，熟练掌握二次函数的顶点式的特点是解此题的关键．直接利用顶点式的特点可求顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：D． 4. 已知的半径为4，若点在内，则的长可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解此题的关键．根据点与圆的位置关系解答即可． 【详解】解：已知的半径为4，若点在内， 那么 所以的长度可能是3 故选：A． 5. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． 根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：从中随机抽取一张，有四种等可能的情况， 其中抽到“夏至”有两种等可能的情况， ， 故选：C 6. 如图是一次函数（，为常数，）的图象，则二次函数的图象不经过的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数以及二次函数的图象综合判断，直接利用一次函数图象经过的象限得出a，b的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一，第三，第四象限， ∴，， ∴，且当时，， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴在x轴的右侧，与y轴交于原点， 故图象一定不经过第三象限， 故选：C． 7. 过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 0个或1个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查确定圆的条件，分三点共线和不共线求解即可． 【详解】解：若平面内A，B，C三个点共线，则过三点不能作出一个圆， 若平面内A，B，C三个点不共线，则过这三点能作出1个圆， 故过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为0个或1个． 故选：D． 8. 已知，，是抛物线（为常数）上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练求出对称轴，并熟悉二次函数的增减性是解题的关键．求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，函数有最大值， ∵关于对称点为，， ∴． 故选：B． 9. 如图，海岸线，经过、的弓形内部（包括边缘）是暗礁区，弓形所在圆的半径为，船保持怎样的航行不会进入暗礁区（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接交圆O于D，连接、，过O作于H，延长交圆O于E，连接、，根据垂径定理，结合线段垂直平分线和勾股定理求得，可证明是等边三角形得到，根据圆周角定理可得，根据三角形的外角性质可得，进而可得结论． 【详解】解：连接交圆O于D，连接、，过O作于H，延长交圆O于E，连接、， 则，，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 即， ∴船保持的航行不会进入暗礁区， 故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理、三角形的外角性质、垂径定理、线段垂直平分线的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键． 10. 如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（为任意实数）；④若，则，其中正确结论为（ ） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用二次函数的性质判断符合特征等；①由图象得，，由对称轴可判断的符号，即可判断；②由对称轴得图象与x轴交于另一点，，可得，将化为，即可判断；③由二次函数的最值得，可得，即可判断；④由②可求，，代入，即可判断；能熟练利用二次函数的性质进行运算判断是解题的关键． 【详解】解：①由图象得：， ， ， ， ，故①正确； ②对称轴为直线， 图象与x轴交于点， 图象与x轴交于另一点， ， ， ， ， ， ，即， ， ，故②错误； ③，对称轴为直线， 当时， ， ，即（为任意实数）， ， ， ，故③错误； ④由②得，，， ，， ， ， ， ，故④正确； 故正确的结论有：①④， 故选：B． 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数的图象与轴的交点为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求二次函数图象与y轴的交点坐标，求时，即可． 【详解】解：对于函数， 当时，， ∴二次函数的图象与轴的交点为， 故答案为：． 12. 将抛物线的图象先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的表达式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据函数图象平移规则“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】解：将抛物线的图象先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的表达式是，即， 故答案为：． 13. 随机抽取一批毛衫的合格情况，得到如下的频数表. 抽取件数（件） 1000 合格频数 950 合格频率 估计出厂的2000件毛衫中，次品大约有______件. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查频率分布表和利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用最终频率的稳定值即可估计其概率，再用总数乘以次品对应的频率即可． 【详解】解：由表格知，任意抽一件衬衣是合格品的概率为； 估计次品的数量为（件）， 故答案为：． 14. 如图所示，已知的半径为10，，，则线段的长为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：连接，如图 ∵，， ∴， ∵的半径为10， ∴ ， ∴线段的长为6， 故答案为：6． 15. 已知二次函数（，为常数），则抛物线的对称轴是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，将二次函数的一般式化为顶点式，即可得出答案． 【详解】解： ， 则抛物线的对称轴是， 故答案为：． 16. 如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结．若的半径长为，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．如图，延长交于点，连接，利用折叠的性质可判断和所在圆为等圆，则根据圆周角定理得到，所以，根据圆周角定理得到，再利用勾股定理可计算出即可． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， 劣弧沿弦翻折，交翻折后的弧于点，而和都对， ， ， 为直径，的半径长为， ，， 在中，， 故答案为：． 三、解答题（本题8小题，17－21每题8分，22，23每题10分，24题12分） 17. 已知抛物线经过点． （1）求的值； （2）求此抛物线的顶点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求解函数表达式以及将抛物线表达式化为顶点式． （1）把代入，即可求出m的值； （2）根据（1）中求出m的值，得出抛物线的表达式，将其化为顶点式，即可求出顶点坐标． 【小问1详解】 解：把代入得： ， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）可得：， ∴该抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为． 18. 一面圆形的镜子被打碎，剩下如下的形状，请你用尺规完成下列作图： （1）请在原图上补全它原来的形状； （2）镜子破碎之前弧的中点处正好有个小挂钩，请你用尺规作图把它标出来． 【答案】（1） 如图，点O为所求的圆心，则补全它原来的形状如图所示； （2）如图，点C即为所求作． 【解析】 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，线段的垂直平分线的性质、垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）在圆弧上取D点，连接，，作线段，的垂直平分线交于点O，点O即为所求； （2）根据垂径定理，由（1）中作图，得，则点C即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 某校运动会田赛部分由、、、四个项目组成，学生可以任选一项参加．为了了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）求区域扇形圆心角的度数； （3）已知每项比赛获奖取前3名，小丽和小杰都参加了项目的比赛，小丽取得了第一名的好成绩，求小杰获奖的概率． 【答案】（1） 补全统计图如下： （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了求概率，条形统计图，求扇形统计图圆心角的度数， （1）根据C项目所占百分比和人数，可求出总人数，即可求出B选项的人数，再补全统计图即可； （2）求出A选项所占的百分比，再乘以可得答案； （3）根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 样本的容量为， 则参加B项目的人数为． 【小问2详解】 A区域扇形圆心角的度数为； 【小问3详解】 根据题意可知A项目有5个人参赛，小丽已获得第一名，所以小杰获奖的概率是． 20. 如图，等腰三角形的顶角，以腰为直径作半圆，交于点，交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 连接，如图， ∵为直径， ∴，即， ∵是等腰三角形， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答的关键． （1）连接，先根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据等腰三角形的三线合一性质得到，进而可得结论； （2）连接，根据圆周角定理求得，进而求得可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴， ∴， 则的度数为． 21. 某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量千克与销售价元/千克（x为整数）存在一次函数关系，如图所示． （1）求关于的函数关系式； （2）应怎样确定销售价，使该苹果的每天销售利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1） （2）销售单价为22或23元千克时，苹果的每天销售利润最大，最大利润是312元 【解析】 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及求二次函数最值等知识． （1）由图象过点和，利用待定系数法求直线解析式； （2）每天利润每千克的利润销售量．据此列出表达式，运用函数性质解答． 【小问1详解】 解：设，图象过点和，则 ， 解得：， 关于的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设每天的利润为p，由题意得： ， ， 有最大值， ∵x为整数， ∴当或23时，． 答：当销售单价为22或23元千克时，苹果的每天销售利润最大，最大利润是312元． 22. 如图，是的直径，把分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设，那么的周长，的面积． （1）探究：①把分成两条相等的线段，每个小圆的周长； ②把分成三条相等的线段，每个小圆的周长记作， ③把分成四条相等的线段，每个小圆的周长，… ④把分成条相等的线段，每个小圆的周长． 分别求出，，； （2）类比探究：仿照（1）的探索过程，当把大圆直径平均分成等分时，以每条线段为直径画小圆，求每个小圆的面积与大圆面积之间的关系． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的周长、面积．正确求出小圆的半径是解题的关键． （1）把分成三条相等的线段，则小圆半径为，每个小圆的周长为；同理，把分成四条相等的线段，每个小圆的周长为；把分成条相等的线段，每个小圆的周长为； （2）由题意知，把大圆直径平均分成等分时，小圆半径为，则每个小圆的面积． 【小问1详解】 解：由题意知，把分成三条相等的线段，则小圆半径为， ∴每个小圆的周长为； 把分成四条相等的线段，则小圆半径为， ∴每个小圆的周长为； 把分成条相等的线段，则小圆半径为， ∴每个小圆的周长为； ∴，，； 【小问2详解】 解：由题意知，把大圆直径平均分成等分时，小圆半径为， ∴每个小圆的面积， ∴． 23. 对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数是有上界函数，其上确界是1． （1）函数是否为有上界函数？若是，请求出它的上确界； （2）如果以10为上确界的有上界函数，求的值； （3）如果函数是以为上确界的有上界函数，求实数的值． 【答案】（1）有上确界，上确界为0 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程，根据所给范围分类讨论求二次函数的最大值是解题的关键． （1）根据上确界的定义，结合二次函数的性质即可求解； （2）根据上确界的定义，结合一次函数的性质即可求解； （3）分当时，则，当时，则，当时，则，三种情况，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标， 有上确界，上确界为0； 【小问2详解】 解：∵， ∴随值的增大而增大， ∵以10为上确界的有上界函数， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：的对称轴为直线，开口向下， 当时，则， 的最大值为， 为上确界， ， 解得：或（舍去）； 当时，则， 的最大值为， ∵为上确界， ， 解得：或（舍去）； 当时，则， 的最大值为， 为上确界， ∴， ∴， ∴无解． 综上所述：的值为或． 24. 如图，，是的两条弦且，点是弧的中点，点沿着弦从点运动到点． （1）如图1，当时，连结，，，．求证：； （2）如图2，当时，求证：； （3）如图3，当点运动到点时，连结和，如果正好过圆心且，．求此时的长． 【答案】（1） 证明：点是弧的中点， ， ． ，是所对的圆周角， ． 在和中 ， ． （2） 证明：在上截取，连接，，，，如下图 点是弧的中点， ， ． ，是所对的圆周角， ． 在和中 ， ， ． ， ， ， 即． （3）4 【解析】 【分析】（1）根据点是弧的中点，得到，利用同弧所对的圆周角相等得，再利用证明三角形全等； （2）在上截取，连接，，，，根据（1）的方法得到，进而得到，再结合，利用三线合一来求得即可求解； （3）在上截取，连接，，，，利用（2）的方法得到，得到，进而得到 ，结合直径所对的圆周角是直角求得，用勾股定理求出，设，再利用勾股定理求出即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在上截取，连接，，，，如下图 点是弧的中点， ， ． ，是所对的圆周角， ． 在和中 ， ， ， ． 正好过圆心， ，， ， ， ． ， ． 设， ． 在中 ， 解得，（不符合题意舍去）， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定和性质，三线合一，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，作出辅助线，构建三角形全等是解答关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期期中测试试题卷（2024.11） 九年级数学学科 考生注意： 1．本试题卷分选择题、填空题和解答题三部分，共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题时，请在答题纸相应的规定位置上规范作答，在试题卷上的作答一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在下列四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，⊙是的外接圆，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知的半径为4，若点在内，则的长可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 5. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一次函数（，为常数，）的图象，则二次函数的图象不经过的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 0个或1个 8. 已知，，是抛物线（为常数）上的点，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，海岸线，经过、的弓形内部（包括边缘）是暗礁区，弓形所在圆的半径为，船保持怎样的航行不会进入暗礁区（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（为任意实数）；④若，则，其中正确结论为（ ） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ①③④ 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数的图象与轴的交点为_______． 12. 将抛物线的图象先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的表达式是_____． 13. 随机抽取一批毛衫的合格情况，得到如下的频数表. 抽取件数（件） 1000 合格频数 950 合格频率 估计出厂的2000件毛衫中，次品大约有______件. 14. 如图所示，已知的半径为10，，，则线段的长为_______． 15. 已知二次函数（，为常数），则抛物线的对称轴是_______． 16. 如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结．若的半径长为，，则_______． 三、解答题（本题8小题，17－21每题8分，22，23每题10分，24题12分） 17. 已知抛物线经过点． （1）求的值； （2）求此抛物线的顶点坐标． 18. 一面圆形的镜子被打碎，剩下如下的形状，请你用尺规完成下列作图： （1）请在原图上补全它原来的形状； （2）镜子破碎之前弧的中点处正好有个小挂钩，请你用尺规作图把它标出来． 19. 某校运动会田赛部分由、、、四个项目组成，学生可以任选一项参加．为了了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）求区域扇形圆心角的度数； （3）已知每项比赛获奖取前3名，小丽和小杰都参加了项目的比赛，小丽取得了第一名的好成绩，求小杰获奖的概率． 20. 如图，等腰三角形的顶角，以腰为直径作半圆，交于点，交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 21. 某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量千克与销售价元/千克（x为整数）存在一次函数关系，如图所示． （1）求关于的函数关系式； （2）应怎样确定销售价，使该苹果的每天销售利润最大?最大利润是多少? 22. 如图，是的直径，把分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设，那么的周长，的面积． （1）探究：①把分成两条相等的线段，每个小圆的周长； ②把分成三条相等的线段，每个小圆的周长记作， ③把分成四条相等的线段，每个小圆的周长，… ④把分成条相等的线段，每个小圆的周长． 分别求出，，； （2）类比探究：仿照（1）的探索过程，当把大圆直径平均分成等分时，以每条线段为直径画小圆，求每个小圆的面积与大圆面积之间的关系． 23. 对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数是有上界函数，其上确界是1． （1）函数是否为有上界函数？若是，请求出它的上确界； （2）如果以10为上确界的有上界函数，求的值； （3）如果函数是以为上确界的有上界函数，求实数的值． 24. 如图，，是的两条弦且，点是弧的中点，点沿着弦从点运动到点． （1）如图1，当时，连结，，，．求证：； （2）如图2，当时，求证：； （3）如图3，当点运动到点时，连结和，如果正好过圆心且，．求此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $