3.3.2抛物线的简单几何性质限时练-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3.2抛物线的简单几何性质-四维限时练 (考察范围： p的意义，焦点弦长公式，对称性 ) 【1】知识总览（1-2分钟，快速阅读，重点查看不熟悉的知识点） 图形 标准方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0） 顶点 O（0，0） 范围 x≥0， x≤0， y≥0， y≤0， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 e=1 准线方程 焦半径 ******************************************************************************* 【2】限时练习（约30分钟，全心投入，旨在检测自己的解题能力） 1、 单选题 1．对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 2.已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 3．为抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，则为（    ） A． B． C． D． 4．抛物线上一点到焦点的距离为，则实数的值为 A． B． C． D． 5．是抛物线上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且的重心恰为F，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6.已知过抛物线的焦点的直线垂直于轴，且与抛物线交于，两点，点在轴上，且．若（为坐标原点），则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知抛物线的焦点为，点为上任意一点，点，下列结论正确的是（    ） A．的最小值为2 B．抛物线关于轴对称 C．的最小值为4 D．过点且与抛物线有一个公共点的直线有且只有一条 8.设抛物线的准线与对称轴交于点，过点作抛物线的两条切线﹐切点分别为和，则（　　） A．点坐标为 B．直线的方程为 C． D． 三、填空题 9．已知点关于轴的对称点在曲线上，且过点的直线与曲线相交于点，则 . 10．以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点.已知，，则的顶点到准线的距离为 . 四、解答题 11．已知抛物线（）的焦点F与双曲线的一个焦点重合. (1)求抛物线C的方程； (2)过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，且，求线段的中点M到准线的距离. 12．已知抛物线y2＝8x． (1)求出该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、自变量x的范围； (2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，其中|OA|＝|OB|．若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长． ******************************************************************************* 【3】核对解析（5-10分钟，筛选需看题目，变“不会”为“会”） 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A C A D A CD ABC 1．【详解】由题知，该抛物线的标准方程为， 则该抛物线开口向上，焦点坐标为. 故选：A. 2.【详解】由题意，依据抛物线的对称性，及等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上， 可设另外两个顶点的坐标分别为， ，解得， 故这个等边三角形的边长为. 故选：A. 3．【详解】，抛物线中时可得，且 则，取（如图）   ， ,又对称性可知. 故选；C. 4．【详解】解：因为抛物线过点，所以， 抛物线的焦点为， 由抛物线的定义可知，解得. 故选：A. 5．【详解】设， 因为的重心恰为F，则，解得， 由可知关于x轴对称，即， 则，即， 又因为，解得. 故选：D. 6.【详解】由抛物线的方程，得， 由抛物线的对称性，不妨设，， 当点的坐标为时，，， 因为，所以，则（不合题意，舍去）； 当点的坐标为时，， 因为，所以，则， 所以抛物线的准线方程为， 故选：A． 7． 【详解】 作出抛物线的准线，过作的垂线，垂足为，则. 当在原点时，最小为1，A错误； 易知抛物线关于轴对称，B错误； ，∴当三点共线时最小，最小值为到准线的距离为4，C正确. 点在抛物线内，故只有当过的直线平行于对称轴轴时，过的直线与抛物线有一个公共点，D正确. 故选：CD. 8.【详解】由题意，易知； 由得，，则焦点，其准线方程为，，故A正确； 设切线方程为，由得， 令，解得； 解方程可得，则，即两切点坐标为，，所以直线的方程为，，故B正确，D错； 不妨令，， 则，，，从而，即，C正确； 故选：ABC． 9．【答案】16 【详解】因为曲线的方程为，即， 所以由题意及抛物线的对称性，知点在抛物线上，且在轴的下方， 因为直线过此抛物线的焦点. 设， 联立，得， 则， 所以由抛物线的焦点弦长公式得. 故答案为：16. 10．【答案】2 【详解】设抛物线的方程为，圆的方程为， 因为，所以，分别代入抛物线和圆的方程 得①， 因为，所以②，联立①②得，， 所以的顶点到准线的距离为. 故答案为：2. 11．【详解】(1)∵双曲线的焦点坐标为，又抛物线（）的焦点， ∴，即.∴抛物线C的方程为. (2)设，，由抛物线定义，知，∴，于是线段的中点M的横坐标是1，又准线方程是，∴点M到准线的距离等于. 12．【详解】　(1)抛物线y2＝8x的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、自变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，直线x＝－2，x轴，[0，＋∞)． (2)如图所示．由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，设垂足为点M． 因为焦点F是△OAB的重心，所以|OF|＝|OM|．因为F(2,0)， 所以|OM|＝|OF|＝3，所以M(3,0)． 故设A(3，m)(m＞0)，代入y2＝8x得m2＝24，所以m＝2或m＝－2(舍去)． 所以A(3,2)，B(3，－2)，|OA|＝|OB|＝，所以△OAB的周长为2＋4． ******************************************************************************* 【4】反思总结（3-5分钟，重在做好错因分析和查漏补缺，但不一定都写出来） 解题点睛: 【常用结论】 1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p. 2．抛物线上一点到焦点的距离也称为抛物线的焦半径 3.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 个人感悟： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$