4.2-4.3等差、等比数列的综合问题课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

等差、等比数列的综合问题 复习引入 例题 练习 例题 例题 练习 随堂检测 课外作业 课本P41 等差数列 等比数列 定义式 通项公式 中项 的等差中项为 A= 的等比中项为 G= 前 项和公式 ； （1）当 时, ; （2）当 时, ； . 等差数列 等比数列 性质 （1） （1） （2） ; . （2） ; . （3） 成 数列. （3）当 时， 成 数列. 等差数列 等比数列 通项 的函数特征 当 时， 是关于 的 函数. 当 时， 是关于 的 函数. 前 项和的函数特征 当 时， 是关于 的 函数. 当 时， 是关于 的 函数. （1）∵ ，结合 得 ，∴ . 1．（2017·全国II卷文数）已知等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ，且 ， ， . （1）若 ，求 的通项公式； 解：设等差数列 公差为 ，等比数列 公比为 . ， . ， ， ，即 . 当 时， ，此时 . ， （2）若 ，求 . 解：（2）∵ ，∴ . ， ，解得 或3. ∴当 时， ，此时 ； 1.（2013重庆高考）设数列 满 足: , , . （1）求 的通项公式及前 项和 ； 解：（1）由题设知 是以1为首项，3为公比的等比数列， . （2）已知 是等差数列, 为前 项和,且 , ,求 . 解：（2） EMBED Equation.DSMT4 . 由 ,得 ，解得 . 2.在等比数列{an}(n∈N*)中，a1>1，公比q>0，设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0. (1)求证：数列{bn}是等差数列； 解：(1)证明：∵bn＝log2an， ∴bn＋1－bn＝log2eq \f(an＋1,an)＝log2q为常数， ∴数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q. ∴Sn＝4n＋eq \f(nn－1,2)×(－1)＝eq \f(9n－n2,2). (2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an. 解：(2)设数列{bn}的公差为d， ∵b1＋b3＋b5＝6，∴b3＝2. ∵a1>1，∴b1＝log2a1>0. ∵b1b3b5＝0，∴b5＝0. ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b1＋2d＝2，,b1＋4d＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b1＝4，,d＝－1.)) ∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(log2q＝－1，,log2a1＝4，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(q＝\f(1,2)，,a1＝16.)) ∴an＝25－n(n∈N*)． 例2：（2012陕西理）设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列． (1)求数列{an}的公比； 解：(1)设数列{an}的公比为q(q≠0，q≠1). 由 成等差数列，得 ， 即 ， 由 ，q≠0，得q2＋q－2＝0， 解得 (舍去)，所以q＝－2. (2)证明：对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列． (2)证明：(法一)对任意k∈N＋， Sk＋2＋Sk＋1-2Sk＝(Sk＋2－Sk)＋(Sk＋1－Sk) ＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1＝2ak＋1＋ak＋1·(－2) ＝0， 所以，对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列． 因此，对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列． 1．（2017·全国I卷理数）记Sn为等比数列 的前n项和，已知S2=2，S3=-6. （1）求 的通项公式； 解：（1）设 的公比为 . 由题设可得 ， 解得 ， . 故 的通项公式为 . （2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列． 解：由（1）知 ， . 可得 . ∴Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列. 2.（2012陕西高考文）已知等比数列 的公比为 ． （1）若 ，求数列 的前 项和； 解：（1）∵ ， ， ∴ ，∴ ． ∴数列 的前 项和 ． （2）证明：对任意 ， ， ， 成等差数列． 证明：对任意 ， ， ∵ ，∴ ， ∴ ， ∴对任意 ， ， ， 成等差数列． 1．各项都是正数的等比数列{an}中，a2，eq \f(1,2)a3，a1成等差数列，则eq \f(a4＋a5,a3＋a4)的值为(　　) A.eq \f(\r(5)－1,2) B.eq \f(1－\r(5),2)或eq \f(1＋\r(5),2) C.eq \f(\r(5)＋1,2) D.eq \f(1－\r(5),2) 解析：设{an}公比为q，∵a2，eq \f(1,2)a3，a1成等差数列， ∴a3＝a1＋a2，∴a1q2＝a1＋a1q. ∴q2－q－1＝0，解得q＝eq \f(1±\r(5),2). ∵数列各项都是正数，∴q>0，∴q＝eq \f(1＋\r(5),2)，∴eq \f(a4＋a5,a3＋a4)＝q＝eq \f(1＋\r(5),2).故选C. 2.(2013·新课标全国卷) 已知等差数列 的公差不 为零, ,且 成等比数列. （1）求 的通项公式; 解：（1）设等差数列 的公差为 ,则 ， ∵ 成等比数列, ， ∴ . ∵ ，∴ （舍去），或 . ∴ 的通项公式为 . （2）求 . 解：（2）令 , 由（1）知， ， ， ∴ . 3.（2013湖北高考）已知 是等比数列 的前 项和, , , 成等差数列,且 . （1）求数列 的通项公式; （2）是否存在正整数 ,使得 ?若存在,求出符合条件的所有 的集合;若不存在,说明理由. 解：（1）设数列 的公比为 ,则 , . 由题意得 ， 即 ，解得 ， ∴数列 的通项公式为 . （2）由（1）有 . 若存在 ,使得 ,则 ,即 当 为偶数时, , 上式不成立; 当 为奇数时, ,即 ,则 . 综上,存在符合条件的正整数 ,且所有这样的 的集合为 . 4.已知数列 为等差数列，公差 ，其中 恰为等比数列，若 ，求 的值. 解：据题意有： ， ，化简得： ，于是有等比数列公比为： 所以 ， . 5.（2012湖北高考）已知等差数列 前三项的和为 ，前三项的积为 ． （1）求等差数列 的通项公式； （2）若 成等比数列，求数列 的前 项和． 解：（1）设等差数列 的公差为 ， 则 ， ， 由题意得 ，解得 ，或 ． ∴ ， ， 即 ，或 ． （2）当 时， 分别为 ，不成等比数列； 当 时， 分别为 ，成等比数列，满足条件． 故 记数列 的前 项和为 ． 当 时， ；当 时， ； 当 时， EMBED Equation.DSMT4 ． 当 时，满足此式． 综上， 《选择性必修第二册》 “综合运用”5. 5．已知 是等比数列 的前n项的和， ， ， 成等差数列．求证： ， ， 成等差数列． 解：由 ， ， 成等差数列，得 ， 若q＝1，则 ， ， 由 ≠0　得　 ，与题意不符， 所以q≠1． 由 ，得 ． 整理得 ，由q≠0，1，得 ． ， ， ， 所以 ， ， 成等差数列． $$