5.3.2函数的极值与最大（小）值课件（3）-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2 函数的极值与最大（小）值（3） 1.如何用导数判断函数y=f(x)的单调性？ f(x)为增函数 f(x)为减函数 设函数y=f(x)在 某个区间内可导， 2.如何用导数求函数y=f(x)的极值？ （1）确定定义域. （2）求导数f′(x). 复习引入 （3）求f′(x)=0的根. （4）列表. （5）判断. (1)求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值. (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,从而确定函数的最值. 3.如何用导数求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最值？ 解： 探究1:利用导数解决与函数相关的问题 例题 课本P95 x f′(x) f(x) 解： x y O 1 -1 -2 • • • 课本P95     根据以上信息，我们画出的大致图像如图所示 解： x y O 1 -1 -2 • • • 课本P95 通常，可以按如下步骤画出函数f(x)的大致图象： (1) 求出函数f(x)的定义域； (2) 求导数f′(x)及函数f′(x)的零点； (3) 用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值； (4) 确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势； (5) 画出f(x)的大致图象. 反思归纳 1. 已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝_____． 解：设f(x)＝x3－3x＋c，则f′(x)＝3x2－3， 令f′(x)＝0，得x＝±1， 易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减． ∴ f(x)极大值＝f(－1)， f(x)极小值＝ f(1). 若函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点， 则f(1)＝0，或f(－1)＝0，解得c＝2或c＝－2. 答案：－2或2 练习 2.已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0).若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围． 解：∵f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x2－3a， ∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，解得a＝1. ∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3. 由f′(x)>0，可得x<－1或x>1；由f′(x)<0，可得－1<x<1. ∴f(x)极大值＝f(－1)＝1， f(x)极小值＝ f(1)＝－3. 作出f(x)的大致图象及直线y＝m 如图所示， 由图象可知，当－3<m<1时，直线y＝m与函数y＝f(x) 的图象有三个不同的交点. ∴m的取值范围是(－3，1). 问题：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 (1) 你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗? (2) 是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大? 例2：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料. 瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位: cm)是瓶子的半径. 已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm. (1) 瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大? (2) 瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小? 探究2:导数在解决实际问题中的应用 课本P96 作业及练习 解： 作业及练习 解： r y O 3 2 1 换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数f(r)的图象上观察，你有什么发现？ 作业及练习 反思归纳 解： 1.如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为a m2.为使所用材料最省，圆的直径应为多少? 练习 课本P97 随堂检测 1.已知函数f(x)＝ex－x－a，若函数y＝f(x)有零点，则实数a的取值范围是（ ） A.(1，＋∞) B.[1，＋∞) C.(－∞，1) D.(－∞，1] 解析：函数y＝f(x)有零点等价于方程ex－x＝a有解， 令g(x)＝ex－x，g′(x)＝ex－1， 当x>0时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增； 当x<0时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减， 又g(0)＝1，所以a≥1. 当x>e时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当0<x<e时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 显然当x>1时，g(x)>0；当0<x<1时，g(x)<0； 当x＝1时，g(1)＝0， 3.某产品的销售收入y1(万元)关于产量x(千台)的函数关 系式为y1＝17x2，生产成本y2(万元)关于产量x(千台)的 函数关系式为y2＝2x3－x2，已知x>0，为使利润最 大，应生产该产品________千台. 解析：由题意，利润y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝18x2－2x3(x>0). y′＝36x－6x2， 由y′＝36x－6x2＝6x(6－x)＝0，得x＝6(x＝0舍去)， 当x∈(0，6)时，y′>0，当x∈(6，＋∞)时，y′<0， ∴函数在(0，6)上为增函数，在(6，＋∞)上为减函数. 则当x＝6时，y有最大值. 4. a为何值时，方程x3－3x2－a＝0恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根，有没有可能无实根？ 解：令f(x)＝x3－3x2，则f(x)的定义域为R， 由f′(x)＝3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2，　 所以当x＜0或x＞2时，f′(x)＞0； 当0＜x＜2时，f′(x)＜0. 所以函数f(x)在x＝0处有极大值0，在x＝2处有极小值－4， 如图所示，故当a＞0或a＜－4时，原方程有一个根； 当a＝0或a＝－4时，原方程有两个不等实根； 当－4＜a＜0时，原方程有三个不等实根； 由图象可知，原方程不可能无实根． 课堂小结 1.研究求函数零点的方法： 采取分离变量法把零点个数问题转化为函数图象的交 点个数问题. 2.利用导数解决优化问题，往往归结为函数的最大值或 最小值问题.解题的一般方法如下： (1)设出变量找出函数关系式，确定定义域； (2)若函数f(x)在定义域内只有一个极值点x0，则不需与 端点处函数值比较，f(x0)即是所求的最大值或最小值.　　　　　 课外作业 1．利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)； 并确定函数的定义域； (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论． 2．几何中最值问题的求解思路 面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．　　　　 2．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与仓库到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处． 解析：依题意可设每月土地占用费y1＝eq \f(k1,x)，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数． 于是由2＝eq \f(k1,10)，得k1＝20；由8＝10k2，得k2＝eq \f(4,5). 因此，两项费用之和为y＝eq \f(20,x)＋eq \f(4x,5)(x＞0)， y′＝－eq \f(20,x2)＋eq \f(4,5)，令y′＝0，得x＝5或x＝－5(舍去)． 当0＜x＜5时，y′＜0；当x＞5时，y′＞0. 因此，当x＝5时，y取得极小值，也是最小值．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小． 答案：5 5.一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元， 问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？ 解：设速度为每小时v海里的燃料费是每小时p元，那么由题设的比例关系得p＝k·v3，其中k为比例系数，它可以由v＝10，p＝6求得，即k＝eq \f(6,103)＝0.006，于是有p＝0.006v3. 又设当船的速度为每小时v海里时，行1海里所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是0.006v3＋96(元)，而行1海里所需时间为eq \f(1,v)小时，所以，行1海里的总费用为：q＝eq \f(1,v)(0.006v3＋96)＝0.006v2＋eq \f(96,v). q′＝0.012v－eq \f(96,v2)＝eq \f(0.012,v2)(v3－8 000)， 令q′＝0，解得v＝20.∵当v<20时，q′<0； 当v>20时，q′>0，∴当v＝20时取得最小值，即速度为20海里/小时时，航行1海里所需费用总和最小． 《选择性必修第二册》 “综合运用”8，11； “综合运用”15，“拓广探索”17. $$