5.3.2函数的极值与最大（小）值课件（2）-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2 函数的极值与最大（小）值 （2） 复习引入 即f ′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的必要条件. 2. 对于可导函数，若x0是极值点， 则 f '(x0)=0; 反之，若f '(x0)=0，则x0不一定 是极值点. 3.求可导函数f(x)极值的步骤： (2) 求导数f ′(x)； (3) 求方程f ′(x)=0的根； (4) 用方程f'(x) =0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格. 检查f ′(x)在方程根左右的符号： 如果左正右负（左增右减）， 那么f(x)在这个根处取得极大值； 如果左负右正（左减右增）， 那么f(x)在这个根处取得极小值. (1) 确定函数的定义域； ＋ － x0 － ＋ x0 4.函数最大值和最小值的概念： 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M ; （2）存在 x0∈I，使得f(x0) = M.那么，称M 是函数y=f(x)的最大值. （2）对于任意的x∈I ，都有f(x)≥M ; （2）存在 x0∈I，使得f(x0) = M.那么，称M 是函数y=f(x)的最小值 . 5 5 2024年11月19日星期二8时5分42秒 5 我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质. 也就是说，如果x0是函数y=f(x)的极大(小)值点，那么在x= x0附近找不到比 f(x0)更大(小)的值. 但是，在解决实际问题或研究函数的 性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最 大，哪个值最小. 如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大 (小)值点，那么f(x0)不小(大)于函数y=f(x)在此区间上的 所有函数值. 思考1 ：下图是函数y=f(x), x∈[a, b]的图象，你能找出它的极小(大)值吗? x y O a b x1 x2 x3 x4 x5 x6 探究：求可导函数在给定区间上的最值 x y O a b x1 x2 x3 x4 x5 x6 追问：你能进一步找出函数在区间[a, b]上的最小(大)值吗？ 思考2：在图(1)、图(2)中，观察[a, b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a, b]上有最大值、最小值吗? 如果有，最大值和最小值分别是什么? x y O a b (1) (2) x y O a b x1 x2 x3 x4 x5 归纳总结 一般地，如果在区间[a, b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 由上述例子可知，只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值. 1.函数的最大值、最小值是比较整个定义域上的函数 值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近 的函数值得出的. 2.函数的极值可以有多个，但函数在其定义域上的最 大值、最小值最多各有一个. 3.极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得； 有最值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要 不在端点处取得必定是极值. 追问1：函数最值与极值有什么关系？ 因为不能保证f(x)在开区间上有最大值和最小值(最值有可能在区间端点处取得). O x y a b y=f(x) y=f(x) O x y a b O x y a b y=f(x) O x y a b y=f(x) 追问2：为什么给定函数的区间必须是闭区间？ 例1： 解： x y O 4 2 3 例题 x (0, 2) 2 ( 2, 3) f '(x) f (x) 课本P93 如果函数 f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，那么求 函数f(x)在[a ,b]上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数f(x)在(a, b)内的极值； （2）求函数f(x)在区间端点处的函数值f(a), f(b)； （3）将函数f(x)在各极值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 反思归纳 解： 练习 课本P94 解： 课本P94 解： 课本P94 解： 课本P94 除点(1,0)外，曲线C1： 在 y 轴右侧的部分位于曲线C2 ：y=lnx的下方. 例题 课本P94 所以,当x=1时, f(x)取得 最小值. x (0, 1) 1 ( 1, +∞) f '(x) 0 f (x) – + 单调递减 单调递增 所以, f(x) ≥ f(1)=0, 即 证明：将不等式 转化为 设 ,那么 令 ,解得 故当x>0时, 课本P94 反思归纳 用导数证明不等式f(x)>g(x)，x∈(a，b)的步骤 (1)将要证明的不等式f(x)>g(x)移项可以转化为证明f(x)－g(x)>0； (2)构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，研究F(x)的单调性； (3)若[f(x)－g(x)]′>0，说明函数F(x)＝f(x)－g(x)在(a，b)上是增函数.只需保证F(a)>0； (4)若[f(x)－g(x)]′<0，说明函数F(x)＝f(x)－g(x)在(a，b)上是减函数.只需保证F(b)>0. 证明： 练习 x y O y=x-1 y=lnx 除点(1,0)外，曲线C1：y=x-1在 y 轴右侧的部分位于曲线C2 ：y=lnx的上方. 课本P94 随堂检测 解析：由f(x)>0得0<x<2，故A正确. f′(x)＝(2－x2)ex， 当x→－∞时，f(x)→0， 当x→＋∞时，f(x)→－∞， 结合函数的单调性可知，函数f(x)有最大值无最小值， 故C不正确，D正确. 4.已知函数f(x)＝aln x－bx2，a，b∈R，且曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－ 相切. (1)求a，b的值； (2)求f(x)在 上的最大值. 令f′(x)>0，得0<x<1，令f′(x)<0，得x>1， 当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0， ∴f(x)在(－1，＋∞)上是增函数. 于是当x>0时，f(x)>f(0)＝0， 课堂小结 1.求最大（小）值的方法 只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值和最小值. 2.求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下： (2) 将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a), f(b)比 较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． (1)求函数y=f(x)在(a,b)上的极值； 课外作业 1.函数的极值 （1）极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都____，f′(a)＝___；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)____ 0，右侧f′(x)____ 0，我们把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． （2）极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都____，f′(b)＝___；而且在点x＝b附近的左侧 f′(x)___ 0，右侧f′(x)____ 0. 我们把b叫做函数y＝f(x)的 极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x) 的极大值． （3）极值：极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 1．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上 有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为 (　　) A．－37 B．－29 C．－5 D．－11 解析：因为f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)， 由f′(x)＝0得x＝0或2. 又f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，f(－2)＝－40＋m， 显然f(0)>f(2)>f(－2)， 所以m＝3，最小值为f(－2)＝－37. 答案：A　 2.函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是(　　) A．[0，1) B．(0，1) C．(－1，1) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) 解析：因为f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，可得a＝x2， 又因为x∈(0，1)，所以 0＜a＜1. 答案：B ∴当x>0时，不等式ln(x＋1)>x－eq \f(1,2)x2成立. 5.当x>0时，证明：不等式ln(x＋1)>x－eq \f(1,2)x2. 证明：设f(x)＝ln(x＋1)－x＋eq \f(1,2)x2， 《选择性必修第二册》 “复习巩固”6， “复习巩固”8；“拓广探索”18. $$