5.3.2函数的极值与最大（小）值课件（1）-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2 函数的极值与最大（小）值 （1） 复习引入 1.一般地，函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系: （1）在某个区间(a, b)上, 如果 , 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递增; 在某个区间(a, b)上, 如果 , 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递减. 如果在某个区间上恒有 ，那么函数y=f(x)在这个区间上是常数函数. 2.如果f(x)在(a,b)内为增函数，则 ,在(a,b)内恒 成立； 如果f(x)在(a,b)内为减函数，则 ,在(a,b)内恒 成立； 2.判断函数y=f(x)的单调性的步骤： 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性. 观察图(1), 我们发现, t=a时, 高台跳水运动员距水面的高度最大. 那么, 函数h(t)在此点的导数是多少呢? 此点附近的图象有什么特点? 相应地, 导数的符号有什么变化规律? 思考1 ：在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减. 如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢? x y O a b (1) 探究：函数的极值 观察图(1), 我们发现, t=a时, 高台跳水运动员距水面的高度最大. 那么, 函数h(t)在此点的导数是多少呢? 此点附近的图象有什么特点? 相应地, 导数的符号有什么变化规律? x y O a b (1) 放大t=a附近的图象, 如图(2)所示. (2) 由图可以看出, h′(a)=0; 在t=a的附近, 当t<a时，函数h(t)单调递增，h′(t)>0; 当t>a时，函数h(t)单调递减，h'(t)<0. 这就是说，在t=a附近，函数值先增后减，即当t在a的附近从小到大经过a时，h'(t)先正后负，且h'(t)连续变化，于是有h'(a)=0. 思考2：对于一般的函数y=f(x)，是否也有同样的性质呢? 追问1：如图，函数y=f(x)在x=a, b, c, d, e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? 以x=a, b两点为例, 思考2：对于一般的函数y=f(x)，是否也有同样的性质呢? 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小. 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大. f ′(a)=0 f ′(b)=0 追问2： y=f(x)在这些点的导数值是多少? f ′(a)=0 f ′(b)=0 追问3： 在这些点附近， y=f(x)的导数的正负性有什么 规律? 在x=a附近的左侧f ′(x)<0, 右侧f ′(x)>0. 在x=b附近的左侧f ′(x)>0, 右侧f ′(x)<0. 我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点， f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；b叫做函数y=f(x)的极大值点， f(b)叫做函数y=f(x)的极大值；极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 函数的极值 若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小, 且在点x=a附近的左侧f′(x)<0 (单减), 右侧f′(x)>0 (单增), f′(a)=0, 我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. 如图(1). 若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大, 且在点x=b附近的左侧f′(x)>0 (单增), 右侧f′(x)<0 (单减), f′(b)=0, 我们把b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 如图(2). (1) b (2) 归纳总结 下图是导函数y=f′(x)的图象，试找出函数y=f(x)的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点. a b x y x1 O x2 x3 x4 x5 x6 练习 课本P92 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质. 极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值． 极小值 极大值 思考3： 极大值一定大于极小值吗? 注意：对于可导函数，若x0是极值点，则 f '(x0)=0; 反之，若f '(x0)=0，则x0不一定是极值点. 思考4 ：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？ 即是 f ′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的必要不充分 条件. 追问：x=0 是否为函数 f(x)= x3 的极值点? x y O y＝x3 解：函数f(x)= x3， f ′(x)=3x2 当x=0时， f ′(0)=0 当x≠0时， f ′(x)>0 又因为函数 f(x)= x3是增函数 所以0不是函数 f(x)= x3的极值点. O a x0 b x y x x0左侧 x0 x0右侧 f′(x) f(x) O a x0 b x y x x0左侧 x0 x0右侧 f′(x) f(x) 增 f′(x) >0 f′(x) =0 f′(x) <0 极大值 减 f′(x) <0 f′(x) =0 增 减 极小值 f′(x) >0 判断f (x0)是极大值或是极小值的方法： 左正右负为极大，左负右正为极小 左增右减为极大，左减右增为极小 ＋ － － ＋ 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例1： 解： x y O -2 2 例题 x (–∞, –2) –2 (–2, 2) 2 ( 2, +∞) f '(x) f (x) 课本P93 求可导函数f(x)极值的步骤： (2) 求导数f ′(x)； (3) 求方程f ′(x)=0的根； (4) 用方程f'(x) =0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格. 检查f ′(x)在方程根左右的符号： 如果左正右负（左增右减）， 那么f(x)在这个根处取得极大值； 如果左负右正（左减右增）， 那么f(x)在这个根处取得极小值. (1) 确定函数的定义域； 归纳总结 ＋ － x0 － ＋ x0 解： x f′(x) f(x) 练习 课本P92 解： x (－∞, －3) －3 (－3, 3) 3 (3, ＋∞) f′(x) f(x) 课本P92 解： x (－∞, －2) －2 (－2, 2) 2 (2, ＋∞) f′(x) f(x) 课本P92 解： x (－∞, －1) －1 (－1, 1) 1 (1, ＋∞) f′(x) f(x) 课本P92 随堂检测 ， 2.若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝_____，b＝_____. 解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 但由于当a＝－3，b＝3时， f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0， 故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值， 不符合题意，应舍去. 而当a＝4，b＝－11时，经检验知符合题意， 故a，b的值分别为4，－11. (2)f(x)＝x2e－x. 解：函数f(x)的定义域为R， f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x. 令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 单调递减 0 单调递增 4e－2 单调递减 因此当x＝0时，f(x)取得极小值，且极小值为f(0)＝0； 当x＝2时，f(x)取得极大值， 4. 已知函数f(x)＝x3＋ax＋2在x＝1时取得极值． (1) 求a的值； (2) 求函数y＝f(x)在x＝2处的切线方程． 解：(1)由已知f′(x)＝3x2＋a， 由f′(1)＝0，得a＝－3. (2)由(1)得f′(2)＝9，f(2)＝4， ∴切点坐标为(2,4)，切线斜率为9. ∴y＝f(x)在x＝2处的切线方程为9x－y－14＝0. 5.已知函数 在点 处取得极大值5，其导函数 的图像(如图)过点(1,0),(2,0), 求： (1) 的值；(2) a,b,c的值. . 解：(1)由图像可知 课堂小结 课外作业 1．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为(　　) A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6 C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6 解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，解得a＞6或a＜－3. 答案：D x (0，e) e (e，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) ↗ 极大值eq \f(1,e) ↘ 故当x＝e时，函数取得极大值，且极大值为f(e)＝eq \f(1,e)，无极小值． 3.求下列函数的极值： (1)f(x)＝eq \f(ln x,x)； 解：函数f(x)＝eq \f(ln x,x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝eq \f(1－ln x,x2). 令f′(x)＝0，得x＝e. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 3.求下列函数的极值： 1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值． 2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x0两侧f′(x)符号相反． 3．可导函数f(x)求极值的一般步骤： (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格． 《选择性必修第二册》 “复习巩固”4，5； “复习巩固”9. $$