15.3分式方程 课时训练-2024-2025学年人教版数学八年级上册

15.3分式方程课时训练-2024-2025学年数学八年级上册人教版 一、单选题 1.下列各式中是关于x的分式方程的是( ) A. B. C. D. 2.下列说法正确的是( ) A.代数式化简后得 B.分式中x,y都扩大3倍,分式的值不变 C.分式的值为0,则x的值为 D.分式是最简分式 3.若分式方程的解为正数,则的取值范围( ) A. B.且 C. D.且 4.关于x的方程无解,则k的值为( ) A. B.3 C. D.无法确定 5.关于x的方程的根为,则a应取值( ) A.1 B.3 C. D. 6.甲、乙两个植树队参加植树造林活动,已知甲队每小时比乙队少种3棵树,甲队种60棵树与乙队种66棵树所用的时间相同.若设甲队每小时种x棵树,则根据题意可列方程为( ) A. B. C. D. 7.我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题:“今有绫、罗共三丈,各值钱八百九十六文, .”其大意为:“现在有绫布和罗布长共3丈 (1丈=10尺),已知绫布和罗布分别出售均能收入896文, .”设绫布有x尺,则可得方程为 根据此情境,题中“ ”表示缺失的条件,下列可以作为补充条件的是( ) A.每尺绫布比每尺罗布贵120文 B.每尺绫布比每尺罗布便宜120文 C.每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 D.每尺罗布比每尺绫布便宜120文 8.在“国庆畅游房山”系列活动中,某景点为游客定制了A,B两种文创产品,其中A种文创产品的单价比B种文创产品的单价低5元,用1200元购进A种文创产品的数量,是用1000元购进B种文创产品数量的1.5倍,求A种文创产品的单价.若设A种文创产品的单价为x元,那么依题意可列方程为( ) A. B. C. D. 二、填空题 9.若关于x的方程有增根,则a的值为 . 10.分式与的最简公分母是 ,分式方程的解是 . 11.某星期日,小明和小新约好同时出发到中山公园踏青,小明家和小新家到中山公园的距离分别是和,小明步行前往,小新骑共享单车前往.已知小新骑车的速度是小明步行速度的4倍,结果小新提前15min到达.若设小明步行的速度为,则根据题意可列方程 . 12.定义一种新运算:对于任意的非零实数a,b,存在.若,则的值为 . 13.在一个不透明的袋子中,装有11个白球和若干个红球,它们除颜色外完全相同,若小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色玻璃球的频率稳定在,则袋子中有 个红球. 14.对于两个不等的非零实数a,b,关于x的方程的两个解分别为.已知关于x的方程的两个解分别为,则的值为 . 15.如图是一个电脑运算程序图,当输入不相等的,后,按照程序图运行,会输出一个结果.若,时,输出的结果为2,则的值为 . 三、解答题 16.解方程: (1) (2) 17.关于x的方程的解与方程的解相同,求a的值. 18.解方程: ①的解为; ②的解为; ③的解为; ④的解为; …… (1)请根据发现的规律直接写出第⑤、⑥个方程及他们的解; (2)请你用一个含正整数n的式子表示上述规律,并求出它的解. 19.景区有一片蔬果采摘园,小美一家决定采摘一些新鲜蔬果.已知西红柿和土豆两种蔬菜的价格分别是每千克元和每千克元,采摘这两种蔬菜一共支付了元,其中西红柿比土豆少千克. (1)求西红柿和土豆各采摘了多少千克? (2)为了让小美去体验生活,他们将采摘的蔬菜拿去售卖,已知西红柿和土豆的销售额分别是元和元,土豆的售价是西红柿售价的,土豆比西红柿多卖出千克,求土豆和西红柿的售价. 20.为了响应“足球进校园”的号召,某体育用品商店计划购进一批足球.第一次用6000元购进品牌足球个,第二次又用6000元购进品牌足球,购进的品牌足球的数量比购进的品牌足球的数量多30个,并且每个品牌足球的进价是每个品牌足球进价的. (1)求的值; (2)若这两次购进的两种品牌的足球分别按照元/个,元/个的价格销售,全部销售完毕后,可获得的利润不低于4800元.求出的最小值. 21.给出定义:如果两个实数m,n使得关于的分式方程的解是成立,那么我们就把实数m,n组成的数对称为关于x的分式方程的一个“梦想数对”. 例如:当,时,使得关于的分式方程的解是成立,所以数对称为关于的分式方程的一个“梦想数对”. (1)在数对①;②;③中,_(只填号)是关于x的分式方程的“梦想数对”. (2)若数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”求a的值. (3)若数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”,且关于的方程有整数解,直接写出整数c的值. 第1页 共4页 第2页 共4页 第1页 共4页 第2页 共4页 学科网(北京)股份有限公司 参考答案: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D B B C C C D 1.D 【分析】本题考查的是分式方程的定义,分式方程的定义:①形如的式子;②其中,均为整式,且中含有字母.根据分式方程的定义,即可得出答案. 【详解】解:A. ,B. ,C. 都是整式方程,故不符合题意; D. 是分式方程,故该选项正确,符合题意; 故选:D. 2.D 【分析】本题考查了分式的化简,解分式方程,最简分式等知识.熟练掌握分式的化简,解分式方程,最简分式是解题的关键. 根据分式的化简,解分式方程,最简分式对各选项判断作答即可. 【详解】解:A中,故不符合要求; B中分式中x,y都扩大3倍,为,故不符合要求; C中分式的值为0, ∴, 解得,(舍去),故不符合要求; D中分式是最简分式,故符合要求; 故选:D. 3.B 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数,先把原方程化为整式方程,再解方程,接着根据方程的解为正数求出m的范围,再根据分母不为0,即可确定m的最终取值范围. 【详解】解: 去分母得:, 解得, ∵分式方程的解为正数, ∴, ∴, 又∵, ∴, ∴, 综上所述,且, 故选:B. 4.B 【分析】本题考查了分式方程无解问题,先将分式方程移项,去分母,合并同类项得,再由原方程无解得,联立方程组,求解即可. 【详解】解:原方程移项得:, 去分母得:, 合并同类项得:, 原方程无解, , 解得, 故选:B. 5.C 【分析】本题考查了分式方程的解及解分式方程,根据方程的解的定义,把代入方程,即可得到一个关于的分式方程,求解检验即可. 【详解】解:把代入方程得:, 在方程两边同乘得:, 解得:, 检验:当时,, 故选:C. 6.C 【分析】本题考查了分式方程的应用,设甲队每小时种x棵树,则乙队每小时种树棵,根据题意列出方程即可求解,解题的关键是读懂题意,列出方程. 【详解】解:设甲队每小时种x棵树,则根据题意可列方程为 故选:C. 7.C 【分析】本题考查分式方程的应用,理解方程的意义是解题的关键. 设绫布有尺,则罗布有尺,再表示每尺绫布和每尺罗布需要的费用,最后根据所列的方程求解即可. 【详解】解:设绫布有尺,则罗布有尺, ∵绫布和罗布分别出售均能收入896文, ∴每尺绫布的费用为元,每尺罗布的费用为元, ∵, ∴, ∴可以作为补充条件的是:每尺绫布和每尺罗布一共需要120文. 故选:C. 8.D 【分析】本题考查了分式方程的应用,熟练掌握解方程是解题的关键.设A种文创产品的单价为x元,则B种文创产品的单价为元,根据题意,得,解方程即可. 【详解】解:设A种文创产品的单价为x元,则B种文创产品的单价为元, 根据题意,得. 故选:D. 9. 【分析】本题考查了分式方程的增根,增根问题可按如下步骤进行:①让最简公分母为0确定增根;②化分式方程为整式方程;③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值. 【详解】解:, 去分母,得 , ∵方程有增根, ∴, ∴, ∴. 故答案为:. 10. 【分析】本题主要查了解分式方程.根据最简公分母的定义可确定分式与的最简公分母;把原分式方程化为整式方程,再检验,即可求解. 【详解】解:∵, ∴分式与的最简公分母是, , 去分母得:, 解得:, 检验:当时,, ∴原方程的解为. 故答案为:; 11. 【分析】本题主要查了分式方程的的实际应用.设小明步行的速度为,则骑共享单车的速度为,根据题意,列出方程,即可求解. 【详解】解:设小明步行的速度为,则骑共享单车的速度为,根据题意得:. 故答案为: 12. 【分析】本题主要考查了解分式方程,新定义,根据新定义可得,则去分母可得,再解方程后并检验即可得到答案. 【详解】解:∵, ∴, ∴, ∴, 解得, 检验,当时,, ∴, 故答案为;. 13.9 【分析】本题考查了已知频率求频数. 设布袋中红球有x个,根据频率公式即可列出方程,解方程即可求得. 【详解】解:设布袋中红球有x个, 根据题意得:, 解得, 经检验:是原方程的解, 故布袋中红球有9个, 故答案为:9. 14./0.2 【分析】本题考查了分式方程的解,将变形为,可得出的值,即可求解,读懂题意,理解方程的解的定义是解题的关键. 【详解】解:, ∴, ∴, ∴或, ∴或, 又∵, ∴,, ∴, 故答案为:. 15.或10 【分析】本题考查了解分式方程,分类讨论;分两种情况,解分式方程即可. 【详解】解:当时,,解得:; 当时,,解得:; 综上,x的值为或10. 故答案为:或10. 16.(1) (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程; (1)按照去分母,去括号,移项,合并同类项的步骤解方程,然后检验即可得到答案; (2)按照去分母,去括号,移项,合并同类项的步骤解方程,然后检验即可得到答案. 【详解】(1)解: 去分母得:, 去括号得:, 移项得:, 合并同类项得:, 检验,当时,, ∴是原方程的解; (2)解: 去分母得:, 去括号得:, 移项得:, 合并同类项得:, 检验,当时,, ∴是原方程的解. 17. 【分析】本题考查了解分式方程,熟练掌握解分式方程的步骤,准确进行计算是解题的关键,注意要检验. 先将方程的解求出,再将该解代入,得到关于a的方程,最后解方程并在检验后得出结论. 【详解】解:解方程得; 经检验是方程的解; ∵两方程的解相同; ∴将代入方程中得, 解得, 经检验是方程的解 ∴. 18.(1)第⑤个方程为,解为;第⑥个方程为,解为 (2)第n个方程为,. 【分析】本题主要考查解分式方程及应用和数字的变化规律,熟练掌握分式方程的解法及理解题中规律是解题关键. (1)观察或直接求解①②③中的方程的解;根据前三个方程的规律可得第⑤、⑥个方程及其解; (2)根据(1)中各个方程的规律,可写出含正整数n的方程,求解即可. 【详解】(1)解:观察可知: 左边分子是正整数n,右边分子是左边分子的2倍. 右边整体比左边多了. 解x的值与方程左边的分子n存在的关系. 所以,第⑤个方程为,解为; 第⑥个方程为,解为; (2)解:第n个方程为, 去分母,得解为 经检验,是原方程的解 ∴原方程的解为 19.(1)西红柿采摘了,土豆采摘了 (2)土豆的售价是元,西红柿的售价是元 【分析】本题考查了二元一次方程组和分式方程的应用,找准等量关系正确列出相应方程是解题的关键. (1)设西红柿采摘了,土豆采摘了,根据题意列出二元一次方程组,解答即可. (2)根据题意可设土豆的售价是元,西红柿的售价是元,根据题意列出分式方程,解答即可. 【详解】(1)解:设西红柿采摘了,土豆采摘了. 根据题意得, 解得. 答:西红柿采摘了,土豆采摘了. (2)解:根据题意可设土豆的售价是元,西红柿的售价是元. 根据题意得, 解得, 经检验,是原分式方程的解,且符合题意, ∴, 答:土豆的售价是元,西红柿的售价是元. 20.(1)m的值是120 (2)的最小值是70 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用,一元一次不等式的实际应用: (1)品牌足球的进价为元/个,B品牌足球的进价为元/个,再根据每个品牌足球的进价是每个品牌足球进价的列出方程求解即可; (2)先求出A、B两种品牌的足球的进价分别为50元/个,40元/个,再分别求出A、B两种品牌的足球的利润,再根据总利润不低于4800元列出不等式求解即可. 【详解】(1)解:由题意得,, 解得, 经检验,是原方程的解,且符合题意, ∴; (2)解:元/个,元/个, ∴A、B两种品牌的足球的进价分别为50元/个,40元/个, 由题意得,, 解得, ∴的最小值是70. 21.(1)①③ (2) (3)或 【分析】(1)根据定义,计算判断即可. (2)根据定义,分式方程的解为,代入方程求a的值即可. (3)根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”, 得关于的分式方程的解是,回代方程,得,结合关于的方程的解为,且方程有整数解,解答即可. 本题考查了分式的新定义,熟练掌握定义是解题的关键. 【详解】(1)解:当,时,使得关于的分式方程的解是成立,所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故①正确; 当,时,使得关于的分式方程的解是,不是 成立,所以数对不是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故②错误; 当,时,使得关于的分式方程的解是成立,所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故③正确; 故答案为:①③. (2)解:根据定义,分式方程的解为, 故. 解得. (3)解:根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”, 得关于的分式方程的解是,回代方程,得, 整理,得, ∴, ∵且, ∴, ∴, ∵方程的解为, ∴, ∵方程有整数解, ∴ 当时,,(舍去); 当时,,(舍去); 故或. 答案第1页,共2页 答案第1页,共2页 学科网(北京)股份有限公司 $$