5.3.1函数的单调性课件（2）-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.1 函数的单调性（2） 复习引入 1.一般地，函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系: 在某个区间(a, b)上, 如果 , 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递增; 在某个区间(a, b)上, 如果 , 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递减. 如果在某个区间上恒有 ，那么函数y=f(x)在这个区间上是常数函数. ① 求出函数的定义域； ② 求出函数的导数f (x)； ③ 判定导数f (x)的符号； ④ 确定函数f(x)的单调性. 2.判定函数单调性的步骤： 思考1：如何利用导数来研究形如 的函数的单调性？ 原函数 定义域 导函数 求导运算 导函数的正负 原函数的单调性 解不等式 函数单调性与导数的关系 解： 令 ，解得 ，或 . 对 求导数，得 函数 的定义域为 . 单调递增 单调递减 单调递增 和 把函数定义域划分成三个区间， 在各个区间的正负，以及 的单调性如表所示： 所以， 在 和 上单调递增，在 上单调递减，如 图所示. 例3： 例题 课本P87 判断函数y=f(x)的单调性的步骤： 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性. 利用导数研究函数y=f (x)的单调性的优势： 不熟悉的、复杂的函数 熟悉的、简单的函数 转化 归纳总结 单调递减 单调递增 单调递减 所以， 在 和 上单调递减，在 上单调递增， 如图所示. 1. 判断下列函数的单调性，并求出单调区间： （1） （2） 解：（1）函数 的定义域为 . 对 求导数，得 令 ，解得 ，或 练习 x y O -1 • 1 • 课本P89 判断下列函数的单调性，并求出单调区间： （2） 解：函数 的定义域为 . 单调递增 单调递减 单调递增 所以， 在 和 上单调递增，在 上单调递减， 如图所示. 令 ，解得 ，或 . x y O • 1 • 对 求导数，得 课本P89 思考2： 研究对数函数y=lnx与幂函数y=x3在区间(0,＋∞)上增长快慢的情况. x y O (2) x y O 1 • (1) 探究：函数增减的快慢与导数的关系 函数增减的快慢与导数的关系 归纳总结 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 由图象可知若f′(x)>0，则f(x)单调递增，f′(x)越大，函数f(x)增长得就越快；同样，若f′(x)<0，则f(x)单调递减，|f′(x)|越大，函数f(x)递减得就越快. 例2： x y O 1 • 解： 例题 课本P89 1. 函数y=f′(x)的图象如图所示，试画出函数y=f(x)图象 的大致形状. x y O a b e d c 解： x y O a b e d c 练习 课本P89 2.已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是(　　) ∵函数在(0,1]上单调递增， 例题 函数的单调性与其导函数的正负的关系： 注意：此关系常常用于已知函数的单调性，求函数中 参数的取值范围. 在某个区间(a, b)内 反之 归纳总结 1.设函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1, ＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是____________． 解：f′(x)＝3x2＋a. ∵ f(x)在(1, ＋∞)内是增函数， ∴ 3x2＋a ≥ 0对x∈(1, ＋∞)恒成立， 即a ≥ －3x2对x∈(1, ＋∞)恒成立 . 又当x∈(1, ＋∞)时，－3x2 <－3， ∴ a ≥ －3. [－3, ＋∞) 练习 随堂检测 3.如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( ) 解析：由导函数的图象，可知两个 函数在x0处切线斜率相同，可以排 除A，B，C答案. 证明： 课本P89 5.求下列函数的单调区间. (1)f(x)＝x2·e－x； 解：易知函数的定义域为(－∞，＋∞). f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x·(2x－x2)， 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2， 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 单调递减 f(0) 单调递增 f(2) 单调递减 ∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)， 单调递增区间为(0,2). 5.求下列函数的单调区间. 解：易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). ∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,0)和(0,1)， 单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞). 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1，0) (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － － 0 ＋ f(x) 单调 递增 f(－1) 单调 递减 单调  递减 f(1) 单调 递增 1.函数单调性与导数符号的关系是： 课堂小结 2.判断函数y=f(x)的单调性的步骤： 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性. 一般地，设函数y=f(x)，在区间(a, b)上： 如果导数的绝对值越小，函数在区间(a, b)上变化得 较慢，函数的图象就比较“平缓”； 反之，如果导数的绝对值越大，函数在区间(a, b)上 变化得较快，函数的图象就比较“陡峭”. 3.函数增减的快慢与导数的关系 课外作业 解析：由f′(x)的图象可以看出，在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a＋b,2)))内， f′(x)单调递增；在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，b))内， f′(x)单调递减，即函数f(x)的图象在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a＋b,2)))内越来越陡，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，b))内越来越平缓，由此可知，只有选项D符合． 1.（2013全国高考）若函数 在 上是增函数,则 的取值范围是（　 ） A． B． C． D． 解析： 在上恒成立， ∴ 在 上恒成立， 令 ，则 ，∴ ． 答案：D 《选择性必修第二册》 “复习巩固”2. $$