5.3.1函数的单调性课件（1）-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.1 函数的单调性（1） 复习引入 曲线y=f(x)在点（x0，f(x0)）处的切线的斜率k0 在必修第一册中， 我们通过图像直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等性质. 学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化. 利用导数研究函数的单调性. t h a O b (1) t h a O b (2) 思考1:图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象，图(2)是跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)=h'(t)= -9.8t+4.8的图象. 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? 如何从数学上刻画这种区别? 探究:函数的单调性与导数的关系 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? 如何从数学上刻画这种区别? 观察图象可以发现: (1) 从起跳到最高点，运动 员的重心处于上升状态， 离水面的高度h随时间t的 增加而增加，即h(t)单调 递增. 相应地，v(t)=h'(t)>0. (2) 从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面 的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递减. 相应地， v(t)=h'(t)<0. t h a O b (1) t h a O b (2) 思考2：我们看到，函数h(t)的单调性与h'(t)的正负有内在联系. 那么，我们能否由h'(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢? 对于高台跳水问题，可以发现: 当t∈(0, a)时，h′(t)>0， 函数h(t)的图象是“上升” 的，函数h(t)在(0, a)内单 调递增； t h a O b (1) t h a O b (2) 当t∈(a, b)时，h'(t)<0， 函数h(t)的图象是“下降”的，函数h(t)在(a, b)内单调递减. 在区间(a,b)上， h′(t)>0 在区间(a,b)上， h′(t)<0 在区间(a,b)上， h(t)单调递增 在区间(a,b)上， h(t)单调递减 这种情况是否具有一般性呢? 思考3：观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系. x y O (1) x y O (2) x y O (3) x y O (4) 思考3：为什么函数的单调性与导数的正负之间有这样的关系？ x y O 导数f ′(x0) 函数y=f (x)的图象在点(x0, f(x0))处切线的斜率 在区间上， f ′(x)>0 在x=x0处f ′(x0)>0 函数y=f (x)的图象上升，函数f (x)在x=x0附近单调递增 切线“左下右上”上升 在区间上，f (x) 单调递增 (x0, f(x0)) x y O (x0, f(x0)) (x1, f(x1)) 导数f ′(x1) 在区间上， f ′(x)<0 函数y=f (x)的图象在点(x1, f(x1))处切线的斜率 在x=x1处f ′(x1)<0 函数y=f (x)的图象下降，函数f (x)在x=x1附近单调递减 切线“左上右下”下降 在区间上，f (x) 单调递减 函数的单调性与导数的关系： 一般地，函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系: 在某个区间(a, b)上, 如果f′(x)>0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递增; 在某个区间(a, b)上, 如果f'(x)<0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递减. 归纳总结 a b y=f(x) x o y f '(x)>0 y=f(x) x o y a b f '(x)<0 思考4： 如果在某个区间上恒有f′(x)=0，那么函数f(x)有什么特性? 函数y=f(x)在这个区间上是常数函数. 例1：利用导数判断下列函数的单调性: 解： x y O (1) x y O (2) π -π 例题 课本P86 解： x y O (3) 1 1 例1：利用导数判断下列函数的单调性: ① 求出函数的定义域； ② 求出函数的导数f (x)； ③ 判定导数f (x)的符号； ④ 确定函数f(x)的单调性. 判定函数单调性的步骤： 反思归纳 1. 判断下列函数的单调性: 解： 练习 课本P87 解： 课本P87 解： 例2： x y O 1 4 例题 课本P86 反思归纳 解： x y O a b x y O a b 练习 课本P87 2.设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示， 则其导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　) 解析：由函数y＝f(x)的图象，知当x<0时，f(x)单调递减；当x>0时，f(x)先递增，再递减，最后再递增，分析知y＝f′(x)的图象可能为D. 思考5：结合函数单调性的定义，思考在某个区间上单调的函数y=f(x)的平均变化率的几何意义与f'(x)的正负的关系. 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，区间D I，在区间D中任取两个值x1, x2. （1）当改变量∆x=x2-x1>0时，有∆y=f(x2)-f(x1)>0，那么就称函数y=f(x)在区间D上是增函数. （2）当改变量∆x=x2-x1>0时，有∆y=f(x2)-f(x1)<0，那么就称函数y=f(x)在区间D上是减函数. 在区间(a, b)上,任取A(x1, f(x1)), B(x2, f(x2))两点,则函数f(x)的平均变化率为 其几何意义为直线AB的斜率. 若f(x)在区间(a, b)上是增函数，则其斜率为正,其导数为正；若f(x)在区间(a, b)上是减函数，则其斜率为负，其导数也为负. 1．函数y＝xlnx在区间(0,1)上是 (　　) A．单调增函数 B．单调减函数 随堂检测 3.函数y=f(x)在定义域 内可导,其图象如图所示, 记y=f(x)的导函数为y=f′(x),则不等式f′(x)≤0的解集为　　 　　 . 解析：由题意不等式f′(x)≤0的解集 即函数y=f(x)的递减区间 为 [2,3). 答案: 4.已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集是__________________. (－∞，－1)∪(0,1) 解析:因为在(0，＋∞)上f′(x)>0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又f(x)为偶函数， 所以f(－1)＝f(1)＝0， 且f(x)在(－∞，0)上单调递减， f(x)的草图如图所示， 所以xf(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1). 5.判断函数f(x)＝2x(ex－1)－x2的单调性. 解：函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝2(ex－1＋xex－x)＝2(ex－1)(x＋1). 当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0； 当x∈(－1,0)时，f′(x)<0； 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0. 故f(x)在(－∞，－1)和(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减. 1. 函数单调性与导数符号的关系是： 2.判定函数单调性的步骤： ① 求出函数的定义域； ② 求出函数的导数f (x)； ③ 判定导数f (x)的符号； ④ 确定函数f(x)的单调性. 在某个区间(a, b)内 课堂小结 课外作业 （2）如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数 在区间D上单调递减. 区间D称为函数 的单调减区间. 特别地，当函数 在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.从左往右看，减函数的图象 . 1.一般地，设函数 的定义域为I，区间 ； （1）如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数 在区间D上是单调递 增. 区间D称为函数 的单调递增区间. 特别地，当函数 在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.从左往右看，增函数的图象 . 2.导数的几何意义：函数 在 处的导数 就是 ，即 . C．在(0，eq \f(1,e))上是减函数，在(eq \f(1,e)，1)上是增函数 D．在(0，eq \f(1,e))上是增函数，在(eq \f(1,e)，1)上是减函数 解析：f′(x)＝lnx＋1，当0<x<eq \f(1,e)时，f′(0)<0， 当eq \f(1,e)<x<1时，f′(x)>0. 答案：C 2.f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(　　) 解析：由导函数的图象可知，当x＜0时，f′(x)＞0，即函数f(x)为增函数；当0＜x＜x1时，f′(x)＜0，即函数f(x)为减函数；当x＞x1时，f′(x)＞0，即函数f(x)为增函数，观察选项易知C正确．答案：C 《选择性必修第二册》 “复习巩固”1. $$