5.2.3 简单复合函数的导数课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.2.3 简单复合函数的导数 1.基本初等函数的导数公式： 复习引入 2.导数的四则运算法则 探究1：复合函数的概念 思考1：如何求函数y=ln(2x－1)的导数？ 现有方法无法求出它的导数： （1）用定义不能求出极限； （2）不是基本初等函数，没有求导公式； （3）不是基本初等函数的和、差、积、商，不能用导数的四则运算法则解决这个问题. 思考：如何求函数y=ln(2x－1)的导数？ 追问1：函数 y＝ln(2x-1) 可以用基本初等函数表示吗？ 它的结构特点是什么？ 若设 ，则y=lnu，从而函数y=ln(2x－1) 可以看成是由y=lnu和 复合而成的一个 复合函数. 把y与u的关系记作y=f(u)，u与x的关系记作u=g(x)，那 么这个“复合”过程可表示为 y=f(u)=f(g(x))= ln(2x－1). 一般地，对于两个函数y=f(u) 和 u=g(x) ，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x) 的复合函数，记作y=f(g(x)). 复合函数的概念 归纳总结 外层函数 内层函数 说明： 复合函数y=f(g(x)) 以下函数是由哪些函数复合而成的？ 练习 反思归纳：从外向内分解成基本初等函数直到中间变量. 思考2： 如何求复合函数的导数呢? 我们先来研究y=sin2x的导数. 探究2：复合函数的导数 设u=2x，y=sinu. 猜想y=sin2x 的导数与函数y=sinu，u=2x 的导数有关. 以 y′x 表示 y 对 x 的导数, 以 y′u 表示 y 对 u 的导数, 以 u′x 表示 u 对 x 的导数. 我们可以先得到函数y=sinu，u=2x 的导数 y′u=(sinu′)=cosu, u′x =(2x)′=2. 我们可以再换个角度来求 y′x ： y′x =(sin2x)′=(2sinxcosx)′=2[(sinx)'·cosx＋sinx·(cosx)' ] =2[cosx·cosx＋sinx·(-sinx) ]=2[cos2x-sin2x]=2cos2x. 可以发现，y′x =2cos2x=cosu·2= y′u · u′x 归纳总结 复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f (u)和u＝g(x)复合而成的函数 y＝f (g(x))，它的导数与函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. [f (g(x))]′=f ′(g(x)) · g′(x) 结果显示 y′x＝y'u· u′x 结构特点 思考4：现在，你可以用复合函数的求导法则来求函数 y＝ln(2x-1) 的导数了吗？ 解：函数 y＝ln(2x-1)可以看成是由 y＝lnu 和 u＝2x-1 复合而成. 以y′u 表示对 u 求导, 以u′x表示对x求导. 因为y'u＝(lnu)'＝ , u'x＝2, 所以y'x ＝ y'u · u'x ＝ ·2 = 分解 求导 相乘 回代 复合函数y＝f (g(x))求导的基本步骤是： （1）分解：设u=g(x)，则y=f(u). （2）求导： y′u=f′(u)，u′x =g′(x) （3）相乘：y′x＝y'u· u′x （4）回代：用u=g(x)替换上式中的u. 反思归纳 例1：求下列函数的导数: 解： 例题 说明：对复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程及中间变量，直接运用公式，从外层开始由外向内逐层求导.如 解： 求函数 的导数. 课本P79 求下列函数的导数: 解： 练习 课本P81 解： 求下列函数的导数: 课本P81 例题 例2：某个弹簧震子在震动过程中的位移y(单位:mm) ,关于时间t(单位:s)的函数满足关系 .求函数y在t=3s时的导数，并解释它的实际意义. 解: 课本P80 练习 1.某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)＝3sin (0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义. 将t＝18代入s′(t)， 2. 求下列函数在给定点处的导数: 解： 课本P81 例题 解： 练习 课本P81 随堂检测 1.曲线y＝2xex－2在点(2,4)处切线的斜率等于（ ） A.2e B.e C.6 D.2 解析：∵y＝2xex－2， ∴y′＝2ex－2＋2xex－2， ∴k＝y′|x＝2＝2e0＋4e0＝6，故选C. 3.已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________． 解：∵f(x)＝x2＋2xf′(1)，∴f′(x)＝2x＋2f′(1). 令x＝1，得f′(1)＝2×1＋2f′(1)，解得f′(1)＝－2， ∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝2×0－4＝－4. 5.已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为_____. 解析：设直线y＝x＋1切曲线y＝ln(x＋a)于点(x0，y0)， 则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)， 又y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0，∴x0＝－1，∴a＝2. 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数. 记作：y=f(g(x)). 1. 复合函数： 2. 复合函数的导数法则： 一般地，对于由y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数 y=f(g(x))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的 关系为 课堂小结 3.简单复合函数求导的一般步骤为 “分解——求导——相乘——回代”. 课外作业 常用的基本初等函数有 一次函数 ; 二次函数 ; 反比例函数 ; 指数函数 ; 对数函数 ; 幂函数 ; 三角函数 . 因为f(x)＝ax-ln(x+1)在点(0，0)处的切线方程是 y=2x, 所以 ，解得a＝3. 例3：设曲线f(x)＝ax-ln(x+1)在点(0，0)处的切线方程是 y=2x,则实数a＝________. 解析：因为f(x)＝ax-ln(x+1)，所以 . 2.曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　) A．eq \r(5)　　　B．2eq \r(5) C．3eq \r(5) D．0 解析：设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行． ∵y′＝eq \f(2,2x－1)，∴y′|x＝x0＝eq \f(2,2x0－1)＝2，解得x0＝1， ∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)． ∴切点(1,0)到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝eq \f(|2－0＋3|,\r(4＋1))＝eq \r(5)， 即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是eq \r(5).答案：A 答案：f(x)＝ln x－3x　y＝－2x－1 4．已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x， 则x>0时，f(x)的解析式为 ，曲线y＝f(x) 在点(1，－3)处的切线方程是 ． 解析：设x>0，则－x<0，f(－x)＝ln x－3x，又f(x)为偶函数，所以f(x)＝ln x－3x(x>0)．当x>0时，f′(x)＝ eq \f(1,x)－3，f′(1)＝－2，切线方程为y＝－2x－1. 《选择性必修第二册》 “复习巩固”2；“综合运用”6；“拓广探索”11. $$