5.5用二次函数解决问题 同步训练题 2024-2025学年苏科版九年级数学下册

2024-2025学年苏科版九年级数学下册《5.5用二次函数解决问题》同步训练题（附答案） 一、单选题 1．童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，若要想获得最大利润，则销售单价x为（   ） A．25元 B．20元 C．30元 D．40元 2．某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 3．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度与飞行时间满足的关系为．已知“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（   ） A． B． C． D．或 4．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，那么水面宽度为（  ） A． B． C． D． 5．已知二次函数的图象与x轴的一个交点为，与轴的交点为，将该图象关于原点中心对称后，点的对应点分别为．若四边形为正方形，则的值是（    ） A． B．8 C． D．或8 6．如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（），下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 7．某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“保”（分别记作点，，，）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，，，如图2所示，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在等腰直角中，，，点从点出发沿方向向点匀速运动，同时点从点出发沿方向向点匀速运动，点，的运动速度均为每秒个单位长度，连接，设运动时间为秒，的面积为（当点与点或点重合时，规定），则与之间的函数关系的图象为（　　） A．B．C．D． 二、填空题 9．如图，矩形的四个顶点在等边的边上，已知的边长为4，则矩形的面积的最大值为 ． 10．在正常情况下，10米跳台跳水运动员必须在距水面不小于时完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误．假设运动员距离水面的高度（）和运动员起跳后的运动时间（）之间满足关系：，则当时，即． 根据表格中的对应值，可判断运动员完成动作的时间最多不超过 ．（精确到） 11．如图，在正方形中，点、的坐标分别是、，点在抛物线的图象上，则的值是 ． 12．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D的下方），且，则的最小值是 ． 13．已知二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，则b的取值范围是 ． 14．如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，与经过点的直线交于点，点在抛物线上，是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为 ． 15．如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，； 将绕点旋转得，交x轴于点； 将绕点旋转得，交x轴于点； … 如此进行下去，直至得．若在第13段抛物线上，则 ． 16．如图，已知抛物线，点P是抛物线上一动点．当点P在第二象限，时，点P的坐标是 ． 三、解答题 17．已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧） (1)求A，B两点的坐标； (2)若点P在该抛物线上，且的面积为6，求点P的坐标． 18．某商店销售一种商品，该商品的进价为40元/件，经市场调查发现：该商品的周销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，部分数据如表： 售价（元/件） 55 65 80 85 周销售量（件） 90 70 40 30 (1)求与之间的函数表达式； (2)当售价定为多少元时，每周可获得最大利润？最大利润是多少元？ (3)若要利润不低于1600元，则售价范围应该是多少？ 19．如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，的速度沿运动，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动，设动点运动的时间为 (1)用含t的式子表示和， ； ； (2)当t为何值时，的面积为； (3)当t为何值时，的面积最大，并求出的最大面积． 20．某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线型．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点A和点B是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，A喷头喷出的水流的落地点为C．以O为原点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； (1)求A喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点D处，．当围观游人喊声较大时，B喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点D处？ 21．如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实 验田，墙长为，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为 x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m）， 面积为S（单位：）． 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为 (1)直接写出y 与x，S 与 x 之间的函数解析式（不要求写x 的取值范围）； (2)矩形实验田的面积S 能达到吗？如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由； (3)矩形实验田的面积S 能达到吗？如果不能，请说明理由；你能求出矩形实验田的面 积S 的最大值吗？若能，求出S的最大值并求出此时的x 的值． 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．将沿所在的直线折叠，得到，点A的对应点为D． (1)求点A，B，C的坐标． (2)求直线的函数表达式． (3)在抛物线上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C C B D B B D 1．解：∵这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系， ∴开口向下，在时，有最大值，且为元， 即销售单价x为25元， 故选：A． 2．解：∵每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x， ∴该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为：， 故选：C． 3．解：∵， 当时， ， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴“水火箭”升空的时间为， 故选：C． 4．解：如图，以中点O为原点建立平面直角坐标系， 根据题意可得：， ∴， ∴， ∵， ∴C坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为， 当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当时，对应的抛物线上两点之间的距离， 把代入抛物线解析式得出：， 解得：， ∴水面宽度为． 故选：B． 5．解：①当时， 由题意得为正方形的中心， ， 对于，令，得， ， 由的对称轴为，知二次函数图象的对称轴在轴右侧， 点在轴正半轴上， ， 把点代入，得，解得或（舍去）； ②当时， 由①知， 把点代入，得，解得或（舍去）； 综上所述，的值是或8， 故选：D． 6．解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点， 四边形是正方形， 、互相平分，，， ，， ． ，， ． ，． 点、的横坐标分别为、， ，． ，，， 设，则，， ，，，． 又，， ，． ． ． ． 点、在轴的同侧，且点在点的右侧， ． ． 故选：B． 7．解：建立如图所示的平面直角坐标系． 由题意可得点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为， 故设抛物线的解析式为， 将点的坐标代入上式，得， 解得：， 抛物线的解析式为． 点的横坐标为2， 点的纵坐标为， 点到的距离为． 故选：B． 8．解：∵在等腰直角中，，，点从点出发沿方向向点匀速运动，同时点从点出发沿方向向点匀速运动，点，的运动速度均为每秒个单位长度，运动时间为秒（当点与点或点重合时，规定）， ∴，，， ∴， ∴， ∴与之间的函数关系的图像为抛物线， ∵， ∴当时，． 故选：D． 9．解：在等边中，，， 在矩形中，，，， ∴，， ∴是等边三角形，则， 设， 在，，则， ∵， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ， ∵， ∴当时，S最大，最大值为, 故答案为：． 10．解：依题意，当时，即． 根据表格可得的解在和之间， ∴可判断运动员完成动作的时间最多不超过， 故答案为：． 11．解：作轴于，于， 四边形是正方形， ，， ， ， 又， ， ，， 设， 点、的坐标分别是、， ，解得， ， 在抛物线的图像上， ， ， 故答案为：． 12．解：作点关于对称轴的对称点，向下平移3个单位，得到，连接，交对称轴于点，此时的值最小， 可得 四边形是平行四边形， ， ， 在中，令，则， 点， 令，则， 解得或， 点， 抛物线的对称轴为直线， ， ， ， 的最小值是． 故答案为：． 13．解：当时，， 解得，则， 将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为， 即， 当直线经过点时，， 解得； 当直线与抛物线有唯一公共点时， 方程有相等的实数解， 则方程整理为：， 则 解得， ∴当直线与新图象有4个交点时，则b的取值范围为． 故答案为： 14．解：由得抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线的对称轴与经过点的直线交于点， ∴当时，， ∴点的坐标为，则， ∴； 当时，则，过点作于点，如图． 则是等腰直角三角形， ∴， 设点的坐标为， ∴， 解得：，（舍）， 当时，， 点的坐标为； 设直线的函数表达式为， 将点，代入，得， 解得， ∴直线的函数表达式为． 将直线平移至经过点，此时直线与抛物线的交点分别为，， 则，可设直线的函数表达式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为． ∴，解得：或． ∴点的坐标为或． 综上可得，在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或． 15．解：∵一段抛物线：， ∴令，即，解得：， ∴图象与x轴交点坐标为：， ∴， ∵将绕点旋转得，交x轴于点，将绕点旋转得，交x轴于点，如此进行下去，直至得， ∴， ∴的与x轴交点坐标为，且图象在轴上方， ∴的解析式为：， 当时，， 故答案为：． 16．解：如图，连接，作轴于， 在中，令，则， 解得：，， ∴， ∵点P是抛物线上一动点， ∴设，则，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， 解得：或， ∵点P在第二象限， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（1）解：令，则， 解得，， ∵点A在点B的左侧， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∵的面积为6， ∴， ∴， 当时，， 解得，， ∴点P的坐标为，； 当时，，即， ∴， ∴方程无解， ∴不存在， 综上，点P的坐标为，． 18．（1）解：设与之间的函数表达式为， 根据题意，得，解得：， ∴与的函数表达式为； （2）设每周可获得利润为元， 由题意得：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为1800， ∴当每件售价为70元时，周销售利润最大，最大利润为1800元． （3）由（2）可知， 当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， 当时，即：， 解得：，， 则要使得利润不低于1600元，售价范围应该是． 19．（1）解：由题意得：，； （2）解：，， ， ， 解得或， 当或时，的面积为； （3）解：， 故时，． 20．（1）解：根据题意，令，易得， 令，，可求得， 因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； 函数的对称轴为，此时， 因此A喷头喷出的水流的最大高度是； （2）解：函数，令， ， 因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处． 21．（1）解： ， ， ， ； （2）解：矩形实验田的面积能达到；理由如下： ， ， ， ， 当时，， ， ， ， 当时，矩形实验田的面积能达到． （3）解：当时，则， 即， ∵， ∴方程无解， ∴矩形实验田的面积S 不能达到． ， 又∵， ∴当时，S有最大值，最大值为800， ∴S的最大值为，此时的x 的值为． 22．（1）解：当时，，解得，． ∵点B在点A的右侧， ∴点A，B的坐标分别为， 当时，， ∴点C的坐标为． （2）解：如图，过点D作轴于点E． ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 又∵将沿BC所在的直线折叠，得到，点A的对应点为D， ∴A，C，D三点在一条直线上． 由轴对称的性质，得，． ∵，， ∴， ∴，OC为的中位线， ∴， ∴． 设直线的函数表达式为， 则解得， ∴直线的函数表达式为． （3）解：在抛物线上存在点P，使． ①如图：当点P在下方时， ∵， ∴， ∴点C，P的纵坐标相等， ∴点P的纵坐标为． 令，则，解得，（舍去）， ∴． ②如图：当点P在上方时， 由（2）可知，A，C，D三点在一条直线上，，， ∴， ∴， ∴． 设直线PC的函数表达式为． ∵点C的坐标为， ∴， ∴直线PC的函数表达式为． 当时，解得，（舍去）， ∴点P的横坐标为， ∴． 综上所述，在抛物线上存在点P，使，点P的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$