精品解析：安徽省江淮名校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

江淮名校2024-2025年度高一期中考试 数学 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题：若，则.则命题的否定为（ ） A. ，则 B. ，则 C. ，则 D. ，则 4. 已知函数的图象如图所示，，则（ ） A. -1或3 B. 4 C. -1 D. 不存在 5. 已知，则（ ） A. 2 B. -2 C. 4 D. 2或-2 6. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值 8. 已知奇函数的定义域为，，且对，，满足，则满足不等式的整数解个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知命题，使得.则命题为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 、、、表示四个不同的函数 B. 当时，函数的图象始终在函数的图象下方 C. D. 若，，那么 11. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足下列条件： ①对任意的，都有； ②对任意的实数，都有； ③. 则下列说法正确的有（ ） A. B. ，使得 C. 在上单调递减 D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 13. 已知，，则______. 14. 函数为定义在上的奇函数且在区间上单调递减，，则不等式的解集为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 合肥四中东南角有一块劳动园地，“夏收油菜，秋收红薯”等活动已成为合肥四中劳动教育的特色项目.已知该劳动园地为如图矩形AMPN，C点在对角线MN上，，.经测量米，米. （1）设DN的长为米，试用表示劳动园地的面积； （2）某劳动小组计划明年在该劳动园地种植面积至少为300平方米的油菜，请问计划能否实现，并说明理由. 17. 已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）.假设全部溶解，糖水变甜了. （1）请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； （2）已知，，且，求证：. 18. 已知函数，其中，为常数且满足，. （1）求，的值； （2）证明函数在区间上是减函数，并判断在上的单调性（不要证明）； （3）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 19. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，给定函数. （1）求的对称中心； （2）已知函数同时满足：①是奇函数；②当时，.若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江淮名校2024-2025年度高一期中考试 数学 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列出不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，解得. 故选：. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解集合中的分式不等式，再求集合的补集，最后求交集即可. 【详解】对于集合，由，得，解得，则； 所以，则， 故选：. 3. 已知命题：若，则.则命题的否定为（ ） A. ，则 B. ，则 C. ，则 D. ，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定的定义判断即可. 【详解】由题意知，命题：，则，则命题的否定是，则， 故选：B. 4. 已知函数的图象如图所示，，则（ ） A. -1或3 B. 4 C. -1 D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象，依次求解即可. 【详解】根据函数图象，由知，，或， 当，；当，不存在， 故选：. 5. 已知，则（ ） A. 2 B. -2 C. 4 D. 2或-2 【答案】A 【解析】 【分析】将根式化为分数指数幂，根据指数运算的运算法则即可求得结果. 【详解】因为，所以，解得； 要使得等式有意义，则，所以； 故选：. 6. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件利用作差法判断出的符号，即可得出结论. 【详解】显然异号，又，则. 所以，选项C错误，选项D正确. 当时，；当时，. 所以选项A，B错误. 故选：D 7. 已知，，，则（ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式可求最值，也可构造函数，根据函数单调性可求最值. 【详解】方法一：因为，，则由基本不等式可得 ， 解得，当且仅当，时，等号成立； 方法二：由原式变形得，，则， 所以，令，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，无最大值； 故选：. 8. 已知奇函数的定义域为，，且对，，满足，则满足不等式的整数解个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，令，即可得到函数的单调性以及奇偶性，即可求解不等式. 【详解】令，所以， 则函数在上单调递减. ，所以为上的偶函数. ，. 等价于，所以， 解得且，所以满足不等式的整数解是0，仅有一解. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知命题，使得.则命题为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对进行讨论，求解为真命题的充要条件是，即可根据充分不必要条件的定义求解. 【详解】当时，显然，使得； 当时，，. 综上，命题为真命题的充要条件是， 故选：. 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 、、、表示四个不同的函数 B. 当时，函数的图象始终在函数的图象下方 C. D. 若，，那么 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，定义域和对应法则均一致，两函数为同一函数，依次判断即可；对于B，利用作商法比较大小，再根据幂函数的图象与性质可判断，对于C，根据幂函数的单调性可判断，对于D，根据分数指数幂的运算法则计算即可. 【详解】由题意得，，，，，故选项正确； 当时，，，因为，所以，则函数的图象始终在函数的图象上方，故B不正确； 由幂函数的单调性可知，故选项正确； ，故选项正确； 故选：ACD. 11. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足下列条件： ①对任意的，都有； ②对任意的实数，都有； ③. 则下列说法正确的有（ ） A. B. ，使得 C. 在上单调递减 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，令，代入求值即可；对于B，设，则总存在正整数，使得，此时，与②矛盾；对于C，根据单调性的定义证明函数在上单调递减，再结合奇函数的性质可得函数在上的单调性；对于D，根据函数的单调性和奇函数的性质，以及，可解不等式. 【详解】对于A，令，则，故正确； 对于B，假设，，， 则一定存在正整数，使得，此时与条件②矛盾，故错误； 对于C，假设，使得， 由，得，， 则一定存在正整数，使得，此时，与条件②矛盾， 故，有； 设，且， 由，得， 由任意的实数，都有，得，， 故，即，有； 综上，，有； 又， 所以在上单调递减，由于函数是定义在上的奇函数， 所以函数在上单调递减，故正确； 对于D，，则. 又，. ，， 所以，， 因为函数在上单调递减，又，所以由，得； 因为函数在上单调递减，又，所以由，得； 又函数是定义在上的奇函数，所以； 故解集为，故正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法，令，代入运算整理即可. 【详解】令，则， 可得，所以. 故答案为：. 13. 已知，，则______. 【答案】7 【解析】 【分析】由已知条件列方程，得，再整体代入，即可求解. 【详解】由题意，，则， 所以， 故答案为：. 14. 函数为定义在上的奇函数且在区间上单调递减，，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的单调性和奇偶性可得函数的单调性，根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】由题意，，， 则不等式等价于； 由于为定义在上的奇函数且在区间上单调递减，所以在上单调递减， 又函数在上单调递减，所以在上单调递减， 所以原不等式等价于，解得，则解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解分式不等式，将代入集合，再根据交集的定义计算即可； （2）根据题意得集合和的包含关系，列不等式，求解即可. 【小问1详解】 由，得，解得，则， 当时，， 所以． 【小问2详解】 由，得， 若，则，解得，此时符合题意； 若，则，解得； 综上所述，，故的取值范围为. 16. 合肥四中东南角有一块劳动园地，“夏收油菜，秋收红薯”等活动已成为合肥四中劳动教育的特色项目.已知该劳动园地为如图矩形AMPN，C点在对角线MN上，，.经测量米，米. （1）设DN的长为米，试用表示劳动园地的面积； （2）某劳动小组计划明年在该劳动园地种植面积至少为300平方米的油菜，请问计划能否实现，并说明理由. 【答案】（1） （2）能，理由：易知， 当且仅当，即时取等号， 故的长为8米时，劳动园地面积最小值为平方米． 显然，所以计划能够实现． 【解析】 【分析】（1）根据相似比得出边长，即可求得面积； （2）利用基本不等式计算可得时劳动园地面积最小值为平方米，可知计划能够实现． 【小问1详解】 设的长为米，则米， 由三角形相似可得，即 ， 所以； 【小问2详解】 略 17. 已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）.假设全部溶解，糖水变甜了. （1）请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； （2）已知，，且，求证：. 【答案】（1），证明：不等式为  ，其中 ， ． 因为 ， ，， 所以，，从而 ，即 ． （2）证明：法一：，，且，所以 ，则有， ， 当且仅当时，取等号． 由（1）不等式知 ， 所以 ． 法二：因为，所以，因为，， 所以，即，所以有： ， 因为，，所以. 【解析】 【分析】（1）根据添加后的浓度大于之前的浓度，得出，利用作差法证明不等式成立即可. （2）方法一，利用基本不等式乘“”法求出，再利用（1）中结论证明即可；方法二，利用条件，得，并确定，代入原式化简，根据二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知函数，其中，为常数且满足，. （1）求，的值； （2）证明函数在区间上是减函数，并判断在上的单调性（不要证明）； （3）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 由（1）得：， 设， 则， 又由，则，，， 必有，即， 即函数在上为减函数； 在上是增函数． （3） 【解析】 【分析】（1）根据，列方程，求解即可； （2）根据函数单调性的定义证明即可； （3）判断函数的奇偶性，化简得不等式，将存在性问题转化为最值问题，求解即可. 【小问1详解】 根据题意，函数中， 有，，解得，， 则； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据题意，若， 则有， 又由，则， ， 即， 又由（2）可得，在区间上是减函数，上是增函数， 则有最小值， 若存在，使得， 即成立， 则有， 解得， 故的取值范围为． 19. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，给定函数. （1）求的对称中心； （2）已知函数同时满足：①是奇函数；②当时，.若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设函数的对称中心为，根据对称性得到关于，的方程，求解即可； （2）易求得的值域为，设函数的值域为集合，则问题可转化为，分，和三种情况讨论，从而得出答案. 【小问1详解】 ， 设的对称中心为， 由题意，得函数为奇函数， 则， 即， 即， 整理得， 所以，解得，， 所以函数的对称中心为. 【小问2详解】 因为对任意的，总存在，使得， 因为函数，在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 所以的值域为， 设函数的值域为集合， 则原问题转化为， 因为函数是奇函数，所以函数关于对称， 又因为，所以函数恒过点， 当即时， 在上递减，在上递增， 又因函数过对称中心， 所以函数在上递增，在上递减， 故此时，， 要使， 只需要，解得， 当即时，在上递减，则函数在上也是减函数， 所以函数在上递减， 则， 又， 所以，解得； 综上所述实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $