4.1数列通项公式的求法课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

数列通项公式的求法 复习引入 例题 类比相减法 反思归纳 练习 例题 累加法 反思归纳 练习 例题 累乘法 反思归纳 练习 例题 待定系数法 反思归纳 练习 例题 取倒数法 反思归纳 练习 例题 例6：已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n(n≥2)，且a1＝1，求数列{an}的通项公式. 解：因为an＝2an－1＋2n，等式两边同时除以2n， 同除幂法 已知an＝pan－1＋pn(p≠1)，求an. 用同除幂法： 第一步：等式两边同除以pn，使两边项的下标和p的 指数对应起来. 第二步：求出数列 的通项公式； 第三步：求出数列{an}的通项公式. 反思归纳 1.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋3n，则a5＝_____. 练习 2.已知正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，则数列{an}的通项公式为（ ） A.an＝－3×2n－1 B.an＝3×2n－1 C.an＝5n＋3×2n－1 D.an＝5n－3×2n－1 解：将递推公式an＋1＝2an＋3×5n的两边同时除以5n＋1， 又a1>0，∴a1＝1. ∴(an＋an－1)(an－an－1)－(an＋an－1)＝0， ∴(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，∵an＋an－1>0， ∴an－an－1＝1，∴{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴an＝n(n∈N*). 随堂检测 课外作业 1.等差数列的通项公式： ， 推广： . 2.等比数列的通项公式： ， 推广： . 3.数列 的第 项 与前 项和 的关系： . ,整理得 (注意 ), 例1：已知数列 的前n项和为 ,且 求数列 的通项公式. 解：当 时, 即 ,解得 当 时,由 可得 两式相减得 (注意 ), . 所以, 数列 是首项为 ,公比为 的等比数列, ,整理得 (注意 ), 所以 . 检验： 说明 也满足上式. 已知数列 的前n项 与 的关系式,求 . 说明：Sn与an关系问题的求解思路 方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式， 再求解. 方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式， 再求解. 用类比相减法：由已知 与 的关系式，类比得出 与 （或 与 ）的关系式,再将这两个式子相减. 1.（2013全国高考）若数列 的前 项和为 ,求数列 的通项公式． 解：当 时， ， ∴ ，解得 ， ∴ 检验： 说明 也满足上式. ∴ 当 时， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴{an}是首项 ，公比为 等比数列， 2.数列 满足 则 . 解析： 当 时， 当 时，由 得 两式相减得 . 检验： 说明 也满足上式. 例2: 已知数列 满足 ， ，求 ． 分析：由条件知： . 类比等差数列的定义，你可以用推导等差数列通项公式的方法——累加法来求这个数列的通项公式吗？ 解：由条件知： . 分别令 ，代入上式得 个等式： ， ， ，…， . 相加得 EMBED Equation.3 . ， . . 相加得 用累加法：先把 转化为 ，再写出 已知 ，求 . 分别令 ，代入上式得 个： 相加得 1.已知数列 满足 ， ，求 ． 解：∵当 时， ， ∴ ， ， ∵ ∴ ． ， ． 2. 已知数列 满足 ,求数列 的通项公式． 解析：由条件知： ， 分别令 ，代入上式得 个： ， 相加得 例3: 已知数列 满足 ， ，求 ． 分析：由条件知： . 类比等比数列的定义，你可以用推导等比数列通项公式的方法——累乘法来求这个数列的通项公式吗？ 解：由条件知： . 分别令 ，代入上式得 个等式： ， ， ，…， . 相乘得 EMBED Equation.DSMT4 . ， 分别令 ，代入上式得 个等式： ， ， ，…， . 相乘得 用累乘法：先把 转化为 ，再写出 已知 ，求 . 又 ，∴ ． 1.已知数列 满足 ， ，求 ． 解：∵ ，∴ ， ∴ ， ∴ ， 2.已知数列 满足 ， ，求 . 解：由条件知 ， 分别令 ，代入上式得 个等式累乘之，即 EMBED Equation.3 . 又 ， . 例4：已知数列 满足 ， ，求 . 分析：由 你能构造出一个特殊数列，进而求出 吗？ 我们试以2为公比构造一个等比数列 满足： 再与 相比较，你能求出 吗？这样，由等比数列 就可先求出 ，进而可求出 . ∴ 是以 为首项， 为公比的等比数列， ∴ . 又 ，∴ ． 解：设 ，则 . 与 比较，得 ， ∴ ， 令 ，则 ，即 . 已知 ，求 用待定系数法：设 （其中 为待定系数），则可构造出以 为首项， 为公比的等比数列 .然后令 ，则 ，所以数列 是公比 的等比数列.由此可求出 ，进而可求出 .这里，求变量k是关键. ∴ 是以 为首项， 为公比的等比数列， ∴ ，∴ ． 1.已知数列 满足 ，求 ． 解：设 ，则 ， ∴ ，∴ . 令 ，则 ，且 ． 令 ，则 ，且 ． ∴ 是以 为首项， 为公比的等比数列， ∴ ，∴ ． 2.已知数列 中， 求数列 的通项公式. 解：由 得 ， 设 ，则 ， ∴ ，∴ ， 例5：已知数列 中， 求数列 的通项公式. 分析：由 你能构造出一个特殊数列，进而求出 吗？ 我们试把两边取倒数后会得到一个什么数列？你能先把这个数列的通项公式求出来吗？进而可求出 吗？ 是首项为 ，公差为 的等差数列， EMBED Equation.3 . 又 ， . 解：由 两边取倒数得 ， . 令 ，则 ， 例5：已知数列 中， 求数列 的通项公式. 已知 ，求 若 ，则数列 是以 为公差的等差数列； 用取倒数法：两边同时取倒数得 ，变形得 . 若 ，则用待定系数法转化为以 为公比的等比数列来处理. ∴ ， ∴ ， ． 1.已知数列 满足 ， ，求 . 解：∵ ，∴ . 令 ，则 ，即 ， 又 ， 是首项为 ，公差为 的等差数列， 令 ，则 ，即 ， 又 ， 2.已知数列 满足 ， ，求 . 解：∵ ，∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， . 是首项为 ，公比为 的等比数列， ∴ ， ∴ ，∴ ． 又 ， 令 ，则 ， 是首项为 ，公差为 的等差数列， 又 ， 令 ，则 ， 是首项为 ，公差为 的等差数列， 当n＝1时，2S1＝2a1＝ a1＋aeq \o\al(2,1). 1.已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，且对任意n∈N*，均有an，Sn，aeq \o\al(2,n)成等差数列，则an＝________. 解析：∵an，Sn，aeq \o\al(2,n)成等差数列，∴2Sn＝an＋aeq \o\al(2,n). 当n≥2时，2an＝2(Sn－Sn－1)＝an＋aeq \o\al(2,n)－an－1－aeq \o\al(2,n－1)， 2.设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝1，an＝－SnSn－1(n≥2)，则Sn＝________. 解析：由an＝Sn－Sn－1(n≥2)，得Sn－Sn－1＝－SnSn－1，即eq \f(1,Sn)－eq \f(1,Sn－1)＝1.又∵eq \f(1,S1)＝eq \f(1,a1)＝1，∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是以eq \f(1,S1)＝1为首项，公差d＝1的等差数列．∴eq \f(1,Sn)＝eq \f(1,S1)＋(n－1)×1＝n. ∴Sn＝eq \f(1,n). 3.已知函数f(x)＝eq \f(x,3x＋1)，数列{an}满足a1＝1， an＋1＝f(an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为 ________________. 4.在数列{an}中，a1＝eq \f(1,3)，6anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*). (1)证明：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式. 解：(1)证明：由6anan－1＋an－an－1＝0，整理得eq \f(1,an)－eq \f(1,an－1)＝6(n≥2)， 故数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以3为首项，6为公差的等差数列. (2)由(1)可得eq \f(1,an)＝3＋(n－1)×6＝6n－3， 5.已知数列{an}的前n项和为Sn，且 Sn＝2an－1；数列{bn}满足bn－1－bn＝bnbn－1(n≥2，n∈N*)，b1＝1. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))的前n项和Tn. 解：(1)由Sn＝2an－1，得S1＝2a1－1， ∴a1＝1. 又Sn＝2an－1，Sn－1＝2an－1－1(n≥2)， 两式相减，得Sn－Sn－1＝2an－2an－1， an＝2an－2an－1. ∴an＝2an－1，n≥2. ∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列． ∴an＝1·2n－1＝2n－1. 由bn－1－bn＝bnbn－1(n≥2，n∈N*)， 得eq \f(1,bn)－eq \f(1,bn－1)＝1. 又b1＝1， ∴数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)))是首项为1，公差为1的等差数列． ∴eq \f(1,bn)＝1＋(n－1)·1＝n. ∴bn＝eq \f(1,n). (2)∵Tn＝1·20＋2·21＋…＋n·2n－1， ∴2Tn＝1·21＋2·22＋…＋n·2n. 两式相减，得－Tn＝1＋21＋…＋2n－1－n·2n＝eq \f(1－2n,1－2)－n·2n＝－1＋2n－n·2n. ∴Tn＝(n－1)·2n＋1. 《选择性必修第二册》 “练习”3； “综合运用”7，8；“拓广探索”11. $$