精品解析：福建省厦门第一中学2024-2025学年上学期九年级数学期中质量检测卷

福建省厦门第一中学2024-2025学年度 第一学期期中考试 初三年数学试卷 满分为150分，考试时间120分钟 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 2025年10月31日23时44分，搭载神舟“十一号载人飞船的长征二号遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，下列航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，旋转前后图形上能够重合的点叫做对称点． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项A能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形． 故选A． 2. 一元二次方程的两根分别为（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程判断即可； 【详解】解：x2=2x，x2-2x=0，x（x-2）=0，解得：x=0或x=2， 故选： D． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程：将方程的右边化为零，把方程的左边分解为两个一次因式的积，令每个因式分别为零，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 3. 一元二次方程，用配方法变形可得（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤，一除，二移，三配方进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选B． 4. 已知点P在半径为r的内，且，则r的值可能为（　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系定理是解决问题的关键．根据点与圆的位置关系求解即可． 【详解】解：∵点P在半径为r的内，且， ∴． 故选D． 5. 如图，点，，，在上，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是直径对的圆周角是直角，同弧对的圆周角相等；熟练掌握这两个知识点是解题的关键．根据圆周角定理得到，从而可求得，再根据即可求解． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ∴； 故选：B． 6. 如图，把四边形绕点O顺时针旋转得到四边形，则下列角中不等于旋转角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握对应边与旋转中心之间的夹角就是旋转角． 两对应边所组成的角都可以作为旋转角，结合图形即可得出答案． 【详解】解：A．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故A不符合题意； B．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故B不符合题意； C．旋转后的对应边为，故不可以作为旋转角，故C符合题意； D．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故D不符合题意； 故选C． 7. 关于的图象，下列叙述正确的是（　　） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为直线 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 开口向下 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．利用抛物线的顶点式，根据二次函数的性质直接判断每个选项即可． 【详解】解： 抛物线的顶点坐标为，对称轴直线为直线，故选项A、B错误，不符合题意； ， 抛物线的开口向上，有最小值为3，且当时，随增大而增大，故选项C正确，符合题意，选项D错误，不符合题意， 故选：C． 8. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——平均增长（降低）率问题，解题的关键是熟练掌握现价和原价与增长（降低）率的关系．根据原价是元，平均每次降价的百分率是，得到经过两次降价为元，列出一元二次方程即可． 【详解】解：平均每次降价的百分率是，原价是元， 经过一次降价的价格为，经过两次降价的价格为， 经过两次降价为， ， 故选：A． 9. 在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了找旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题关键．确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，其交点为点，则旋转中心是点． 故选：A． 10. 二次函数的图象经过点，向左平移个单位长度后得到新抛物线，直线与新抛物线有两个交点，，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，先根据对称性得到抛物线对称轴为直线，则平移后的抛物线对称轴为直线；再证明，则点Q离平移后抛物线的对称轴的距离小于点P离平移后抛物线的对称轴的距离，则有，解之即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，且与y轴交于， ∴抛物线对称轴为直线， ∴平移后的抛物线对称轴为直线， ∵直线与新抛物线有两个交点，， ∴， ∵， ∴原抛物线开口向下， ∴平移后的抛物线开口向下， ∴点Q离平移后抛物线的对称轴的距离小于点P离平移后抛物线的对称轴的距离， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分） 11. 一元二次方程中，一次项系数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程中，为一次项系数，即可得出结果． 【详解】解：中，一次项系数为； 故答案为：． 12. 二次函数的对称轴是直线______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴为直线计算即可． 【详解】解：已知二次函数，， 所以对称轴为直线． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，掌握二次函数的对称轴为直线是解题的关键． 13. 已知，是一元二次方程的两根，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程的两个实数根为，，则，，熟练掌握相关知识是解题关键．根据一元二次方程根与系数的关系即可得答案． 【详解】解：，是一元二次方程的两根， ， 故答案为：． 14. 如图，为的直径，弦，垂足为点E，连接，若，则等于___． 【答案】8 【解析】 【分析】根据圆的性质可得，再根据进而可求； 【详解】解：∵为的直径，弦， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． 15. 如图，将绕着直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则__________度． 【答案】70 【解析】 【分析】首先由旋转的性质，得△ABC≌△A′B′C，然后利用等腰直角三角形的性质等角转换，即可得解. 【详解】解：由旋转的性质，得△ABC≌△A′B′C， ∴AC=A′C，∠BAC=∠B′A′C，∠ACA′=90°， ∴∠CAA′=∠CA′A=45° ∵ ∴∠BAC=25° ∴∠BAA′=∠BAC+∠CAA′=25°+45°=70° 故答案为：70. 【点睛】此题主要考查利用全等三角形，旋转求解角度，熟练掌握，即可解题. 16. 如图，在矩形中，，，点是边的中点，点是边上任意一点，将线段绕点顺时针旋转90°，点旋转到点，则周长的最小值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质以及勾股定理，确定点的轨迹是解题的关键．由旋转的性质结合证明，推出，得到点在平行于且与的距离为4的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，由勾股定理可求解． 【详解】 解：过点作，交、于、，过点作垂足为， 四边形是矩形， ， ， 四边形和是矩形， ， 由旋转的性质得，， ， ， ， 点在平行于，且与的距离为的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点， 此时周长取得最小值，最小值为， ，， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题9小题，共86分） 17. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【小问1详解】 解： ， 【小问2详解】 解： ， 18. 正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是，小正方形的顶点叫做格点），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： （1）画出绕点逆时针旋转的，并写出点的对应点的坐标为____________； （2）画出关于点成中心对称的，并写出点的对应点的坐标为____________． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） 如图，即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出点、、绕点逆时针旋转后的点、、的位置，然后顺次连接即可得到，再根据图形得到点的坐标； （2）根据网格结构找出点、、关于原点成中心对称的点、、的位置，然后顺次连接即可得到，再根据图形得到点的坐标． 【小问1详解】 解：， 【小问2详解】 故答案为：； ， 故答案为：． 19. 如图，四边形的四个顶点都在上，且，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质．根据题意可知四边形是的内接四边形，推出，结合，可求出，最后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：四边形的四个顶点都在上， ， ， ， ， ． 20. 如图，在中，将绕点A逆时针旋转，得到（点与点对应，点与点对应），点D恰好落在上． （1）用尺规作出（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，交于点，求的度数． 【答案】（1）如图：即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）先以为圆心，长为半径作弧交于，再作，再截取，连接； （2）根据旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ∴由旋转的性质可得：，，， ， ∴， ． ， ． 21. 农经公司以元千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量（千克）与销售价格（元千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表： 销售价格（元千克） 日销售量（千克） （1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定与之间的函数表达式； （2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？ 【答案】（1） （2）销售价格定为40元，日销售利润最大 【解析】 【分析】（1）根据表中销售价格每增加元千克，日销售量就减少千克，由此即可求出答案； （2）因为每增加5元千克，日销售量就减少，利用函数解析式，即可求出最大值． 【小问1详解】 解：假设与成一次函数关系，设函数关系式为 ， ∴ ，解得：， ， ∴， 检验：当，；当，；当，，符合一次函数解析式， 故函数关系为 ； 【小问2详解】 解：设日销售利润， 即 ， ∴当时， 有最大值，最大值为， 故这批农产品的销售价格定为元，才能使日销售利润最大． 【点睛】本题主要考查一次函数的实际运用，理解题目表格中的数据之间的关系并找出数据之间的规律是解题的关键． 22. 在平面直角坐标系中，设二次函数（为常数，且） （1）若时，求该二次函数图像与轴的交点坐标； （2）若二次函数的图像与直线有且仅有一个交点，求代数式的值． 【答案】（1）该二次函数图像与轴的交点坐标为或 （2） 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，一次函数与二次函数的交点问题，代数式求值，解答本题的关键是掌握相关知识． （1）将的值代入题目中的函数解析式即可得到该函数的解析式为，然后令求得的值，从而可以得到二次函数图像与轴的交点； （2）根据二次函数图像抛物线与直线有且仅有一个交点列出等式，得到一元二次方程有且只有两个相等实根，由得到，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，二次函数为， 令，则， 解得：，， 该二次函数图像与轴的交点坐标为或； 【小问2详解】 二次函数的图像与直线有且仅有一个交点， 有两个相等的实数根， ， ，即， 为常数，且， 等号两边同时除以得：，即， ， ， ， ． 23. 为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛.如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分，第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与出水点到高楼的水平距离之间满足二次函数关系． （1）直接写出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式：______； （2）待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流是否到达点处，并说明理由； （3）若消防员从点前进到点（水流从点射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点处，求请直接写出的值．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同） 【答案】（1） （2） 不能，理由如下， 依题意，消防员第二次灭火时水流所在抛物线是第一次抛物线向左平移2个单位得到 ∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式， 令，解得：， 即消防员第二次灭火时水流所在抛物线不过 ∴水流不能到达点处， （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数顶点坐标且过，可设抛物线解析式为，再待定系数法求解析式即可求解； （2）利用平移求出消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式，再令，即可求解； （3）利用平移求出消防员到点处时水流所在抛物线的解析式，再结合水流未达到最高点且恰好到达点，即可求解． 【小问1详解】 依题意顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 将点代入得，， 解得：， ∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意，消防员从点前进到点（水流从点射出）处，可以看成把第一次抛物线向左平移个单位得到 ∴消防员到点处时水流所在抛物线的解析式 ， ∵水流未达到最高点且恰好到达点处， ∴过点，且对称轴 ∴ 将点代入得， 解得或， ∴ 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的平移，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 24. 如图，在正方形中，对角线、相交于点，在线段上任取一点（端点除外），连接、．将线段绕点逆时针旋转，使点落在的延长线上的点处． （1）请补全图形，并证明：； （2）当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由； （3）探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：补全图形如下： 在正方形中，对角线、相交于点， 、互相垂直平分， ； （2） 的大小不发生变化，， 理由：如图，作，垂足分别为点、， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是矩形，， ， ，， ， ， ， ，即， 的大小不发生变化，； （3） ， 证明：如图，作交于点，作于点， 四边形是正方形， ，， ，四边形是矩形， ，， ， ，， ， 作于点，则，， ， ，， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到、互相垂直平分，即可得到结论； （2）作，垂足分别为点、，可得，证明四边形是矩形，推出，再证明， 得出，进而求出可得结论； （3）作交于点，作于点， 证明，，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了旋转的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关知识、正确添加辅助线是解题的关键． 25. 已知抛物线，为常数，的顶点为，与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为． （1）若． ①求点和点的坐标； ②当时，求点的坐标； （2）若点的坐标为，且，当时，求点的坐标． 【答案】（1）①点的坐标为；点的坐标为；②点的坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）①待定系数法求解析式，然后化为顶点式，即可求得的坐标，令，解方程，即可求得的坐标； ②过点作轴于点，与直线相交于点．得出．可得中，．中，．设点，点．根据，解方程即可求解； （2）根据题意得出抛物线的解析式为．得点，其中．则顶点的坐标为，对称轴为直线．过点作于点，则，点．由，得．于是．得出(舍)．，同(Ⅰ)，过点作轴于点，与直线相交于点，则点，点，点．根据已知条件式，建立方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：①由，得抛物线的解析式为． ∵， ∴点的坐标为． 当时，．解得．又点在点的左侧， ∴点的坐标为． ②过点作轴于点，与直线相交于点． ∵点，点， ∴．可得中，． ∴中，． ∵抛物线上的点的横坐标为，其中， ∴设点，点． 得．即点． ∴． 中，可得． ∴．又， 得．即．解得(舍)． ∴点的坐标为． 【小问2详解】 ∵点在抛物线上，其中， ∴．得． ∴抛物线的解析式为． 得点，其中． ∵， ∴顶点的坐标为，对称轴为直线． 过点作于点，则，点． 由，得．于是． ∴． 即．解得(舍)． 同(Ⅰ)，过点作轴于点，与直线相交于点， 则点，点，点． ∵， ∴． 即．解得(舍)． ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，角度问题，线段问题，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省厦门第一中学2024-2025学年度 第一学期期中考试 初三年数学试卷 满分为150分，考试时间120分钟 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 2025年10月31日23时44分，搭载神舟“十一号载人飞船的长征二号遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，下列航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的两根分别为（ ） A. B. C. ， D. ， 3. 一元二次方程，用配方法变形可得（ ） A. B. C. D. 4. 已知点P在半径为r的内，且，则r的值可能为（　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，点，，，在上，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，把四边形绕点O顺时针旋转得到四边形，则下列角中不等于旋转角的是（ ） A. B. C. D. 7. 关于的图象，下列叙述正确的是（　　） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为直线 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 开口向下 8. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 10. 二次函数的图象经过点，向左平移个单位长度后得到新抛物线，直线与新抛物线有两个交点，，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分） 11. 一元二次方程中，一次项系数为_______． 12. 二次函数的对称轴是直线______． 13. 已知，是一元二次方程的两根，则______________． 14. 如图，为的直径，弦，垂足为点E，连接，若，则等于___． 15. 如图，将绕着直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则__________度． 16. 如图，在矩形中，，，点是边的中点，点是边上任意一点，将线段绕点顺时针旋转90°，点旋转到点，则周长的最小值为______________． 三、解答题（本大题9小题，共86分） 17. 解方程： （1） （2）． 18. 正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是，小正方形的顶点叫做格点），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： （1）画出绕点逆时针旋转的，并写出点的对应点的坐标为____________； （2）画出关于点成中心对称的，并写出点的对应点的坐标为____________． 19. 如图，四边形的四个顶点都在上，且，求的度数． 20. 如图，在中，将绕点A逆时针旋转，得到（点与点对应，点与点对应），点D恰好落在上． （1）用尺规作出（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，交于点，求的度数． 21. 农经公司以元千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量（千克）与销售价格（元千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表： 销售价格（元千克） 日销售量（千克） （1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定与之间的函数表达式； （2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？ 22. 在平面直角坐标系中，设二次函数（为常数，且） （1）若时，求该二次函数图像与轴的交点坐标； （2）若二次函数的图像与直线有且仅有一个交点，求代数式的值． 23. 为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛.如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分，第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与出水点到高楼的水平距离之间满足二次函数关系． （1）直接写出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式：______； （2）待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流是否到达点处，并说明理由； （3）若消防员从点前进到点（水流从点射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点处，求请直接写出的值．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同） 24. 如图，在正方形中，对角线、相交于点，在线段上任取一点（端点除外），连接、．将线段绕点逆时针旋转，使点落在的延长线上的点处． （1）请补全图形，并证明：； （2）当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由； （3）探究与的数量关系，并说明理由． 25. 已知抛物线，为常数，的顶点为，与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为． （1）若． ①求点和点的坐标； ②当时，求点的坐标； （2）若点的坐标为，且，当时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $