2.3 奇偶性、对称性与周期性 专项训练-2025届高三数学一轮复习

2025高考数学一轮复习-2.3-奇偶性、对称性与周期性-专项训练 【A级　基础巩固】 1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是(　　) A．y＝x－1　　　　　　　 B．y＝ln x2 C．y＝ D．y＝－x2 2．已知函数f(x)＝为奇函数，则a等于(　　) A．－1 B．1 C．0 D．±1 3．函数f(x)＝的图象(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝x对称 4．已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数．当0<x<1时，f(x)＝4x，则f＋f(1)等于(　　) A．－2 B．0 C．2 D．1 5．(多选)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x) C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x 6．(多选)若定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上单调递减，且函数y＝f(x＋4)为偶函数，则下列结论正确的是(　　) A．f(2)>f(3) B．f(2)＝f(6) C．f(3)＝f(5) D．f(3)>f(6) 7．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________． 8．已知函数f(x)，对∀x∈R满足f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，且f(0)＝0，则f(26)＝________． 9．已知函数f(x)＝a sin x＋b tan x＋1.若f(a)＝－2，则f(－a)＝________． 10．已知函数f(x)＝是奇函数． (1)求实数m的值； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围． 【B级　能力提升】 1．已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，且满足f(－1)＝0，则关于x的不等式f(x)＜sin πx的解集为(　　) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－1，0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(0，1) D．(－1，0)∪(0，1) 2．(多选)已知定义在R上的奇函数f(x)对∀x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，则下列判断正确的是(　　) A．f(x)是周期函数且周期为4 B．f(x)的图象关于点(1，0)对称 C．f(x)的图象关于直线x＝－1对称 D．f(x)在[－4，4]上至少有5个零点 3．(多选)已知函数f(x)对∀x∈R，都有f(－2－x)＝f(x)，且任取x1，x2∈[－1，＋∞)，<0(x1≠x2)，以下结论中正确的是(　　) A．f(0)>f(－3) B．∀x∈R，f(x)≤f(－1) C．f(a2－a＋1)≥f D．若f(m)<f(2)，则－4<m<2 4．已知函数f(x)对任意实数x满足f(－x)＋f(x)＝2.若函数y＝f(x)的图象与y＝x＋1有三个交点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，则y1＋y2＋y3＝________． 5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式． 参考答案 【A级　基础巩固】 1．答案：D 2．解析：由题意，得f(－x)＝－f(x)， 则f(－1)＝－f(1)，即1＋a＝－a－1，得a＝－1(经检验符合题意). 答案：A 3．解析：f(x)＝＝3x＋3－x，f(－x)＝3－x＋3x，∴f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称． 答案：B 4．解析：∵函数f(x)为定义在R上的奇函数，且周期为2，∴f(1)＝－f(－1)＝－f(－1＋2)＝－f(1)，∴f(1)＝0，f＝f＝－f＝－4＝－2，∴f＋f(1)＝－2. 答案：A 5．解析：由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证． A项，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数； B项，f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数； C项，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数； D项，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数． 可知B，D正确． 答案：BD 6．解析：∵y＝f(x＋4)为偶函数， ∴f(－x＋4)＝f(x＋4)， ∴y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称， ∴f(2)＝f(6)，f(3)＝f(5). 又y＝f(x)在(4，＋∞)上单调递减， ∴f(5)>f(6)，∴f(3)>f(6). 答案：BCD 7．解析：f(x)＝ax2＋bx为偶函数，则b＝0. 又定义域[a－1，2a]关于原点对称，则a－1＋2a＝0， ∴a＝，∴a＋b＝. 答案： 8．解析：∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x)的周期为4， ∴f(26)＝f(2). ∵对∀x∈R有f(1－x)＝f(1＋x)， ∴f(x)的图象关于x＝1对称， ∴f(2)＝f(0)＝0，即f(26)＝0. 答案：0 9．解析：令g(x)＝a sin x＋btan x， 则g(x)为奇函数，且f(x)＝g(x)＋1. ∵f(a)＝g(a)＋1＝－2，∴g(a)＝－3， ∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝4. 答案：4 10．解：(1)设x<0，则－x>0， 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 于是当x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以1<a≤3， 故实数a的取值范围是(1，3]. 【B级　能力提升】 1．解析：∵f(x)为(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数， 由此可在平面直角坐标系中画出y＝f(x)与y＝sin πx的大致图象，如图所示， 由图象可知，当x∈(－∞，－1)∪(0，1)时，f(x)＜sin πx. 答案：C 2．解析：对于A，因为f(x＋2)＝－f(x)， 所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)， 所以函数f(x)的周期为4，故A正确； 对于B，因为f(x＋2)＝－f(x)，且f(－x)＝－f(x)， 所以f(x＋2)＝f(－x)， 所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，故B错误； 对于C，因为f(x＋2)＝－f(x)， 所以f(x)＝－f(x－2). 又因为f(－x)＝－f(x)， 所以f(x－2)＝f(－x)， 所以f(x)的图象关于直线x＝－1对称，故C正确； 对于D，因为f(x)为R上的奇函数且周期为4， 必有f(0)＝0，在[－4，4]上，f(4)＝f(0)＝0，f(－4)＝f(0)＝0. 又由f(x＋2)＝－f(x)， 则f(2)＝－f(0)＝0，f(－2)＝f(2)＝0， 则f(x)在[－4，4]上至少有5个零点，故D正确． 答案：ACD 3．解析：根据题意，函数f(x)对∀x∈R，都有f(－2－x)＝f(x)， 则函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称． 又由任取x1，x2∈[－1，＋∞)，<0(x1≠x2)， 则f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递减， 则f(x)在(－∞，－1]上单调递增． 据此分析选项： 对于A，f(－3)＝f(1)，则有f(0)>f(1)＝f(－3)，A正确； 对于B，f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递减，在(－∞，－1]上单调递增，故f(x)在x＝－1时，取得最大值，即有∀x∈R，f(x)≤f(－1)，B正确； 对于C，f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递减，又由a2－a＋1＝＋≥，则f(a2－a＋1)≤f，C错误； 对于D，若f(m)<f(2)，则由函数图象知，m<－4或m>2，D错误． 答案：AB 4．解析：∵f(－x)＋f(x)＝2，则f(x)的图象关于点(0，1)对称． 又直线y＝x＋1也关于点(0，1)对称， 因为y＝f(x)与y＝x＋1有三个交点， 则(0，1)是一个交点，另两个交点关于(0，1)对称， 则y1＋y2＋y3＝2＋1＝3. 答案：3 5．解析：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， ∴f(x)是周期为4的周期函数． (2)解：∵x∈[2，4]，∴－x∈[－4，－2]， ∴4－x∈[0，2]， ∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8. ∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝－x2＋6x－8， 即当x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8. 学科网（北京）股份有限公司 $$