24.2.2直线和圆的位置关系知识梳理及培优训练 2024—2025学年人教版数学九年级上册

24.2.2直线和圆的位置关系知识梳理及培优训练人教版2024—2025学年九年级上册 【知识梳理】 一、设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下： 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 _ l _ O _ d _ r 直线与圆没有公共点． 直线与相离 相切 _ l _ O _ d _ r 直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点． 直线与相切 相交 _ l _ O _ d _ r 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线． 直线与相交 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示： 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 圆心到直线的距离与半径的关系 公共点名称 交点 切点 无 直线名称 割线 切线 无 二、切线的性质及判定 1． 切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2． 切线的判定： 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【例题讲解】 例1. 已知：如图所示，∠AOB=30°，P为OB上一点，且OP=5 cm，以P为圆心，以R为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系？为什么？ ①R=2 cm； ②R=2.5 cm； ③R=4 cm 例2.如图，是的直径，点在的延长线上，过点作的切线，切点为，若，则______． 例3.如图，直线与相切于点，的半径为，若，则的长为( ) A． B． C． D． 练习：如图，与相切于点，线段与弦垂直于点，，，则切线 ． 例4.如图，若的直径与弦的夹角为，切线与的延长线交于点，且的半径为2，则的长为（ ） A． B． C．2 D．4 三、切线的证明 例1.如图，以等腰中的腰为直径作⊙，交底边于点．过点作，垂足为． 求证：为⊙的切线； 课堂练习 1.如图，是⊙O的直径，⊙O交的中点于，，E是垂足. 求证：是⊙O的切线； 2.四边形ABCD内接于，BD是的直径，于E，DA平分. （1）求证：AE是的切线； （2）若 巩固提高 1.如图，⊙O的直径AB＝4，∠ABC＝30°，BC＝，D是线段BC的中点。 （1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证直线DE是⊙O的切线。 2.如图△ABC中，AB=AE，以AB为直径作⊙O交BE于C，过C作CD⊥AE于D， DC的延长线与AB的延长线交于点P . （1）求证：PD是⊙O的切线； （2）若AE=5，BE=6，求DC的长. 3.如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BC于点E，EF⊥AC于F交AB的延长线于G. （1）求证：FG是⊙O的切线； （2）求AD的长. 4.如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD． (1)求证：BD平分∠ABH； (2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离． 5.如图，AB是⊙O的直径，动弦CD垂直AB于点E，过点B作直线BF∥CD交AD的延长线于点F，若AB=10cm． （1）求证：BF是⊙O的切线． （2）若AD=8cm，求BE的长． （3）若四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD为何种四边形？并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$