精品解析：湖南省郴州市永兴县2024-2025学年上学期学业水平考试第一次质量检测九年级数学试卷

本永兴县2024年下学期初中学业水平考试第一次质量监测试卷 九年级数学 时量：120分钟 满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程进行判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、方程中未知数的最高次数是，不是一元二次方程，不合题意； 、方程是一元二次方程，符合题意； 、方程含有个未知数，不是一元二次方程，不合题意； 、方程不是整式方程，不是一元二次方程，不合题意； 故选：． 2. 已知反比例函数的图象经过点，那么的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，把代入解析式，就可以得到k的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得，． 故选：D． 3. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据题意设，则，代入代数式计算即可解题． 【详解】解：设，则， ∴， 故选：A． 4. 用配方法解一元二次方程的过程中，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：移项得，， 配方得，， 即， ∴变形正确的是， 故选：． 5. 对于函数，下列说法错误的是（ ） A. 它的图象分布在一、三象限 B. 它的图象与坐标轴没有交点 C. 它的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形 D. 当时，的值随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；根据的图象与性质判断即可． 【详解】解：函数的图象分布在一、三象限，图象与坐标轴无交点，它的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，在每个象限内，的值随的增大而减小； 故选项A、B、C正确，选项D错误； 故选：D． 6. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可． 【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件， ∴可列方程为：， 故选：A． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般． 7. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，根据一次函数与反比例函数的图象与性质逐一排除即可，掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、由图象可知，，即，由图象可知，不符合题意； 、由图象可知，，即，由图象可知，不符合题意； 、由图象可知，，即，由图象可知，不符合题意； 、由图象可知，，即，由图象可知，符合题意； 故选：． 8. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴，即， 解得：， 故选：D． 9. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A的坐标为，点B的坐标为，位似比为，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键． 利用位似是特殊的相似，若两个图形和以原点为位似中心，相似比是k，上一点的坐标是则在中，它的对应点的坐标是或，进而求出即可． 【详解】解: 和是以点0为位似中心的位似图形，点A的坐标为，点A与点C是对应点， 点C的坐标为，即， 故选:B. 10. 如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于，两点若是轴上一点，则的面积为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是反比例函数系数k的几何意义与反比例函数图象上点的坐标特征．由直线与y轴平行，可得的面积等于的面积，设点P的坐标为，由此可得出点A、B的横坐标都为a，再将分别代入反比例函数解析式，得出A、B的纵坐标，继而得出的值，从而得出三角形的面积． 【详解】解：如下图，连接， 由题意可知直线与y轴平行， ∴ 设，则点A、B的横坐标都为a， 将代入得出，得， 故； 将代入得出，得， 故； ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 【答案】x1＝0，x2＝2 【解析】 【分析】利用因式分解法求解即可． 【详解】移项得x2－2x=0，即x（x－2）=0， 解得x=0或x=2． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 12. 若点，都在反比例函数的图象上，且，则____________．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据函数解析式可得反比例函数图象经过第一、三象限，再由可得． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数图象经过第一、三象限， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 设方程的两个根为，，那么的值等于____________ 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意，代入计算即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 故答案为：1 ． 14. 如图，身高的小超站在某路灯下，发现自己的影长恰好是，经测量，此时小超离路灯底部的距离是，则路灯离地面的高度是______． 【答案】4.8 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． 由得，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，，，， 由题意得，， ， ，即， ． 故答案为：． 15. 如图，直线与双曲线交于点，，当时，则的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，“数形结合”是解题的关键． 当时，x的取值范围就是一次函数的图象落在反比例函数图象的上方时对应的x的取值范围． 【详解】解：根据图象可得：当时，则的取值范围是：或， 故答案为：或． 16. 如图，在中，，，垂足为，若，，那么线段的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，首先证，然后根据相似三角形的对应边成比例求出的长即可，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决此题的关键． 【详解】解：在中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为：． 17. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，根据自变量求函数值的方法是解题的关键． 根据题意，设反比例函数解析式为，再根据图示，把代入解析式，求出的值，最后把和代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，设反比例函数解析式为，由图示可知点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∴当时，；当时，； ∴镜片焦距由米调整到米，近视眼镜的度数减少了度， 故答案为：． 18. 如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成一个正方形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上．则该正方形的边长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 设与的交点为，设，由题意可得，，则，则，求解即可． 【详解】解：设与的交点为，如下图： 设，则， 由题意可得，， ∴， ∴，即 解得，即 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，首先根据负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，算术平方根计算，然后合并即可得出答案，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 20. 如图所示，在锐角△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高， 求证： ． 【答案】 证明：AD，BE分别是边BC，AC上的高 ∴∠ADC=∠BEC =900 ， 又∠C=∠C， ∴△ADC∽△BEC ， ． 【解析】 【分析】根据两角相等的两个三角形相似证明△ADC∽△BEC即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握形似三角形的判定方法是解答本题的关键．①有两个对应角相等的三角形相；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 21. 已知关于的方程，问： （1）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根为，且满足，求的值． 【答案】（1） 证明：， 由于， 所以，即， 所以不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）0或2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握这两个知识点是关键； （1）计算出一元二次方程根的判别式，根据判别式的符号即可判断； （2）由根与系数的关系得：，把变形为，然后整体代入得到关于a的方程，即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系得：， ∵， ∴， 即， 整理得：， 解得：或． 22. 如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，，与轴相交于点． （1）求反比例函数和一次函数的函数表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）反比例函数表达式为，一次函数表达式为 （2）4 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，一次函数与几何的综合．利用数形结合的思想是解题关键． （1）将代入，即可求出m的值，即得出反比例函数表达式，进而可求出A点坐标，再利用待定系数法即可求出一次函数表达式； （2）由一次函数表达式可求出C点坐标，再根据计算即可． 【小问1详解】 解：将代入，得：， 解得：， ∴反比例函数表达式为． 将代入，得：， ∴． 将，代入，得：， 解得：， ∴一次函数表达式为； 【小问2详解】 解：对于，令，则， ∴． ∴． 23. 某商店对最新款台灯的销量进行统计，经统计7月份台灯的销售量为个，9月份台灯的销售量为个． （1）求该款台灯7月份到9月份销售量的月平均增长率； （2）若该台灯的进价为元/个，当售价为元/个时，月销售量为个，在此基础上售价每上涨1元，月销售量就会减少个，为了实现每月元的销售利润，而且尽可能让顾客得到实惠，则每个台灯的售价应定多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． （1）设月平均增长率为，依题意得，，计算求出满足要求的解即可； （2）设每个台灯的售价应定价为元，依题意得，，整理得，，计算求出满足要求的解即可． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每个台灯的售价应定价为元， 依题意得，，整理得，， 解得，，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， ∴每个台灯的售价应定元． 24. 水兴县某中学的同学们在学习了《图形的相似》之后，数学柳老师给出了下面的问题：如图，与中，斜边与相交于点，过点作于点．探究、、之间的数量关系，并证明． 下面是小许同学的探究过程，请根据题意补充完整探究过程． （1）请在答题卡上完成尺规作图：过点作垂足为点．（保留作图痕迹，不用写作法） （2）请将①②③④⑤补充完整并填写在答题卡上． 解：， ， （注意：这里要求填写化简之后的数字结果） 小许进一步探究，如果把题设中的三个垂直关系改为：，请你帮她写出、、这三条线段之间的数量关系 ⑤ ． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2），，，， 【解析】 【分析】本题考查了作垂线，相似三角形的性质与判定； （1）根据题意，过点作垂足为点； （2）根据相似三角形的性质与判定，完成填空，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 如图，在中，，，，点从点开始沿边运动，速度为，与此同时，点从点开始沿边运动，速度为，当点到达点时，点，同时停止运动，连接，，设运动时间为，的面积为． （1）当时，求线段的长； （2）当为何值时？ （3）在点运动过程中，的值可能为5吗？通过计算说明． 【答案】（1） （2） （3） 在点运动过程中，的值不可能为5．理由： 由得， ∵， ∴方程无实数根， 故在点运动过程中，的值不可能为5． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用、列代数式，理解题意，正确列方程是解答的关键． （1）根据题意以及路程、速度和时间的关系求解，，，再利用勾股定理求解即可； （2）利用三角形的面积公式列方程求解即可； （3）利用三角形的面积公式列方程，根据一元二次方程根的判别式与根的关系求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意，，， ∴，， ， ， ∵ ∴， 整理，得， 解得，， ∵当点到达点时，点，同时停止运动， ∴， ∴， 答：当时，； 【小问3详解】 略 26. 在矩形中，点是对角线、的交点，直角的顶点与重合，、分别与、边相交于、，连接，（为常数）． （1）发现问题：如图1，若，猜想：________； （2）类比探究：如图2，，探究线段，之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长． 【答案】（1）1； （2）． 理由：过作于，作于， ∵， ∴四边形是矩形． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在矩形中，， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，此时四边形ABCD为正方形，然后证明△OEB≌△OFC即可得到OE=OF，从而得出结论即可； （2）过作于，作于，利用相似三角形的判定与性质证明即可； （3）根据题意判定，从而得到，令，则，可在Rt△ABC中求出未知数，从而得到BC的长度，最终求得OF和OE的长度，再在Rt△OEF中利用勾股定理求解EF即可． 【详解】解：（1）若，则，即四边形ABCD为正方形， ∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°， ∵∠EOF=90°， ∴∠EOB=∠FOC， ∴△OEB≌△OFC， ∴OE=OF， ∴ 故答案为：1； （2）略 （3）∵， ∴， 由（2），， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 令，则， 由题意，， 由勾股定理得，， 解得：， ∴， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质等，灵活根据题意构造相似三角形，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 本永兴县2024年下学期初中学业水平考试第一次质量监测试卷 九年级数学 时量：120分钟 满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知反比例函数的图象经过点，那么的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程的过程中，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 对于函数，下列说法错误的是（ ） A. 它的图象分布在一、三象限 B. 它的图象与坐标轴没有交点 C. 它的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形 D. 当时，的值随的增大而增大 6. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 9. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A的坐标为，点B的坐标为，位似比为，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于，两点若是轴上一点，则的面积为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 12. 若点，都在反比例函数的图象上，且，则____________．（填“”“”或“”） 13. 设方程的两个根为，，那么的值等于____________ 14. 如图，身高的小超站在某路灯下，发现自己的影长恰好是，经测量，此时小超离路灯底部的距离是，则路灯离地面的高度是______． 15. 如图，直线与双曲线交于点，，当时，则的取值范围是__________． 16. 如图，在中，，，垂足为，若，，那么线段的长为__________． 17. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 18. 如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成一个正方形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上．则该正方形的边长是___________． 三、解答题（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 如图所示，在锐角△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高， 求证： ． 21. 已知关于的方程，问： （1）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根为，且满足，求的值． 22. 如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，，与轴相交于点． （1）求反比例函数和一次函数的函数表达式； （2）求的面积． 23. 某商店对最新款台灯的销量进行统计，经统计7月份台灯的销售量为个，9月份台灯的销售量为个． （1）求该款台灯7月份到9月份销售量的月平均增长率； （2）若该台灯的进价为元/个，当售价为元/个时，月销售量为个，在此基础上售价每上涨1元，月销售量就会减少个，为了实现每月元的销售利润，而且尽可能让顾客得到实惠，则每个台灯的售价应定多少元？ 24. 水兴县某中学的同学们在学习了《图形的相似》之后，数学柳老师给出了下面的问题：如图，与中，斜边与相交于点，过点作于点．探究、、之间的数量关系，并证明． 下面是小许同学的探究过程，请根据题意补充完整探究过程． （1）请在答题卡上完成尺规作图：过点作垂足为点．（保留作图痕迹，不用写作法） （2）请将①②③④⑤补充完整并填写在答题卡上． 解：， ， （注意：这里要求填写化简之后的数字结果） 小许进一步探究，如果把题设中的三个垂直关系改为：，请你帮她写出、、这三条线段之间的数量关系 ⑤ ． 25. 如图，在中，，，，点从点开始沿边运动，速度为，与此同时，点从点开始沿边运动，速度为，当点到达点时，点，同时停止运动，连接，，设运动时间为，的面积为． （1）当时，求线段的长； （2）当为何值时？ （3）在点运动过程中，的值可能为5吗？通过计算说明． 26. 在矩形中，点是对角线、的交点，直角的顶点与重合，、分别与、边相交于、，连接，（为常数）． （1）发现问题：如图1，若，猜想：________； （2）类比探究：如图2，，探究线段，之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $