4.3.2等比数列的前n项和公式课件(2)-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.2 等比数列的前n项和公式(2) 复习引入 探究1：等比数列前n项和公式的函数特征 ➱ ➱ 当q≠1时， 即Sn是n的指数型函数. 当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数. 结构特点：qn的系数与常数项互为相反数. 练习 (1)若等比数列{an}的项数有2n项，则 (2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则 S奇＝a1＋a3＋a5＋… ＋ a2n-1 ＋a2n+1 ＝a1＋(a3＋a5＋… a2n-1 ＋a2n+1) ＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n) ＝a1＋qS偶 S奇＝a1＋qS偶 S偶＝a2＋a4＋…＋a2n S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1 S偶＝a2＋a4＋…＋a2n ➱ ⇔ S偶＝qS奇 ⇔ ➱ 探究2：等比数列的偶数项和与奇数项和 思考2：若{an}是公比为q的等比数列，S偶, S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则S偶, S奇之间有什么关系？ ＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1 q 已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且 (a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80， 求公比q. 练习 例1： 如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E, F, G, H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I, J, K, L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去. 例题 (1) 求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和; (2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些 正方形的面积之和将趋近于多少? 课本P38 一个乒乓球从1 m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的0.61倍. (1) 当它第6次着地时，经过的总路程是多少(精确到1 cm)? (2) 至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到400 cm? 练习 课本P40 例2：去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨. 为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量 (精确到0.1万吨). 例题 课本P38 练习 例3：某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，‧‧‧ . (1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系; (2) 将(1)中的递推公式表示成cn+1－k = r(cn－k)的形式，其中k，r为常数; (3) 求S10= c1＋c2＋c3＋‧‧‧＋c10的值(精确到1). 例题 课本P39 ① ② 比较①②的系数，可得 某牛奶厂2015 年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%. 每年年底扣除下一年的消费基金后，剩余资金投入再生产.这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金，才能实现经过5年资金达到2000万元的目标(精确到1万元)? 练习 课本P40 随堂检测 3.若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为____，项数为____. 解析：由性质S奇＝a1＋qS偶可知341＝1＋170q，所以q＝2， 即这个等比数列的项数为9. 4.某工厂去年产值为a，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为（ ） A.1.14a B.11×(1.15－1)a C.1.15a D.10×(1.16－1)a 解析：从今年起到第5年，这个厂的总产值为 a×1.1＋a×1.12＋a×1.13＋a×1.14＋a×1.15 (2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ 解：旅游业的总收入超过总投入，即bn－an>0， 故至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入. 1.等比数列前n项和公式Sn的函数特征： 当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数. 当q≠1时， 即Sn是n的指数型函数. (1)若等比数列{an}的项数有2n项，则 (2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则 S奇＝a1＋qS偶 ⇔ S偶＝qS奇 ⇔ 2.等比数列的S奇与S偶之间的关系： 课堂小结 课外作业 4.（2）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____. 解析：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}是公比为2的等比数列， 课本P55 1.等比数列的通项公式: . 推广： . 2.等比数列的性质: 在等比数列 中, (1)若 ,且 ， 则 ; (2) 若 ,且 ,则 . 3.等比数列的前n项和公式: (1) 当 时, ，或 ; (2) 当 时， . 推导等比数列的前n项和公式的方法,叫做 . 5.等比数列的前n项和性质:在等比数列 中, 仍构成 数列，且公比为 . 思考1: 等差数列的前n项和 , 当 时, 是关于 的常数项为0的二次函数. 那么, 等比数列的前 项和 是关于 的什么函数呢? 解1:∵等比数列的前n项和为Sn＝ －A·qn+A的形式，∴1+k=0.解得k＝－1. 等比数列 的前 项和为Sn＝3n＋k，则实数k为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解2：依题意得，数列{an}是等比数列， a1＝3＋k，a2＝S2－S1＝6，a3＝S3－S2＝18，则62＝18(3＋k)，由此解得k＝－1，选A. 某市共有1万辆燃油型公交车．有关部门计划于2016年投入 128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年 增加50%.则： (1)该市在2022年应该投入电力型公交车多少辆？ (2)到哪一年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的eq \f(1,3)？ 解：(1)每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列{an}， 其中a1＝128，q＝eq \f(3,2). ∴2022年应投入的数量为a7＝a1q6＝128×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up12(6)＝1 458(辆)． ∴该市在2022年应该投入1 458辆电力型公交车． (2)设{an}的前n项和为Sn. 则Sn＝eq \f(128·\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(n))),1－\f(3,2))＝256·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(n)－1))， 由Sn＞(10 000＋Sn)×eq \f(1,3)，即Sn＞5 000，n∈N*，解得n＞7. ∴该市在2023年底电力型公交车的数量开始超过该市公交 车总量的eq \f(1,3). 1.已知等比数列 的前 项和 ，则实数 的值为（ ） A． B． 或 C． D． 解析： ， ， ， ∵数列 为等比数列， ∴ ， ∴ ，解得 ，或 （舍去）． 2. (2013·江西高考)某住宅小区计划植树不少于 100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数 是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*) 等于________． 解析：设每天植树的棵数组成的数列为{an}， 由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2， 所以由题意可得eq \f(21－2n,1－2)≥100，即2n≥51， 而25＝32,26＝64，n∈N*，所以n≥6.答案：6. 5.某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业. 根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年 减少eq \f(1,5)，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项 建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会 比上年增加eq \f(1,4). (1)设n年内(本年度为第1年)的总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an与bn的表达式； 解：第1年投入为800万元，第2年投入为800eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))万元，…，第n年投入为800eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5))) eq \s\up12(n－1)万元， ∴n年内的总投入an＝800＋800eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))＋…＋800eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))eq \s\up12(n－1)＝4 000－4 000eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq \s\up12(n). 第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))万元，…，第n年旅游业收入为400eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4))) eq \s\up12(n－1)万元， ∴n年内的旅游业总收入bn＝400＋400eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))＋…＋400eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4))) eq \s\up12(n－1)＝1 600×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4))) eq \s\up12(n)－1 600. ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq \s\up12(n)<eq \f(2,5). 又n∈N*，由此可得n≥5. 即1 600×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))\s\up12(n)－1))－4 000×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))\s\up12(n)))>0，化简得 5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5))) eq \s\up12(n)＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4))) eq \s\up12(n)－7>0. 设x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq \s\up12(n)，代入上式并整理得5x2－7x＋2>0，解此不等式，得x<eq \f(2,5)或x>1(舍去)， 《选择性必修第二册》 “综合运用”9； “复习巩固”4（2），7. “综合运用”12. $$