4.3.2等比数列的前n项和公式课件(1)-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.2 等比数列的前n项和公式(1) 复习引入 国际象棋起源于古代印度. 相传国王 要奖赏国际象棋的发明者，问他想 要什么.发明者说：“请在棋盘的第1 个格子里放上1颗麦粒，第2个格子 里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推， 每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2 倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要 求.” 国王觉得这个要求不高，就欣然同意了. 已知1000 颗麦粒的质量约为40 g，据查，2016—2017年度世界小 麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能 实现他的诺言. 情境引入 你想得到 什么样的 赏赐？ 陛下赏小 人几粒麦子就 搞定. OK 第一格放1粒麦子，以后每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的的2倍，直到第64个格子 西萨 国王 … 思考1：每一格的麦粒数{an}构成什么数列？ 思考2：国王答应奖赏给发明者西萨的总麦粒数用式子怎么表示？ {an}为以1为首项，2为公比的等比数列. 思考3：总麦粒数S64怎么求？ … 探究：等比数列的前n项和 可将两式相减，消去这些相同项，得 思考4：S64进行怎样的变形能出现264？ 思考5：根据两式我们如何求出S64的值呢？ 等式两边乘上的2是此数列的什么？ 7300多亿吨 ➱ 国王根本不可能 实现他的诺言！ ➱ 按一千颗麦粒的质量约为40g，那么象棋发明者想要的麦粒总质量超过7000亿吨，约是2016-2017年度世界小麦产量的981倍. 这种求和的方法,就是错位相减法! (1) (2) 错位相减法 1-q是否为零？ 讨论公比q是否为1 思考6：类比上面求和的方法能否得到等比数列前n项和公式呢？ 步骤: 乘公比，错位写，对位减. 等比数列前n项和公式： 归纳总结 注意 (1)等比数列求和时，应考虑q=1与q≠1两种情况. (2)推导等比数列前n项和公式的方法：错位相减法. 例题 例1：已知数列{an}是等比数列. 课本P35 例1：已知数列{an}是等比数列. 课本P35 例1：已知数列{an}是等比数列. 课本P35 1．在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比 q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要 分类讨论． 2．在等比数列 {an}前n项和公式中共有五个量a1，q， an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组， 就能求出另外两个量（“知三求二”），这是方程思 想与整体思想在数列中的具体应用． 利用等比数列前n项和公式解决问题时要注意： 反思归纳 练习 已知数列{an}是等比数列. 课本P37 已知数列{an}是等比数列. 课本P37 已知数列{an}是等比数列. 课本P37 例2： 已知等比数列{an}的首项为－1，前n项和为Sn， 若 求公比q. 例题 不要忘记考虑q=1与q≠1两种情况. 课本P36 练习 课本P37 例3：已知等比数列{an}的公比q ≠ －1，前n项和为Sn， 证明 Sn , S2n－Sn , S3n－S2n 成等比数列，并这个数列的公比. 例题 课本P37 反思归纳 练习 已知在等比数列{an}中，若前10项的和是10，若前20项 的和是30，则前30项和是 . 反思归纳 随堂检测 1.掌握等比数列前n项和公式推导方法（错位相减法）. 2.掌握等比数列前n项和公式（注意分类讨论）. 课堂小结 课外作业 1.等比数列的通项公式: . 2.等比数列的性质: 在等比数列 中, (1)若 ,且 ， 则 ; (2) 若 ,且 ,则 . 3.等差数列的前n项和公式: (1) ; (2) . 4.推导等差数列的前n项和公式的方法是 . 5.等差数列的前n项和性质:在等差数列 中, 仍构成 数列，且公差为 . 1．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝__________. 解析：设等比数列的公比为q.若q＝1，则由S6＝4S3，得6a1＝4×3a1,∴a1＝0.这与a1≠0矛盾.∴q≠1. 当q≠1时，由S6＝4S3，得∴eq \f(1－q6,1－q)＝eq \f(41－q3,1－q). ∴q3＝3.∴a1q3＝3. 答案：3 如果数列{an}为公比不为－1的等比数列,则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍构成等比数列，且公比为 . 在处理等比数列 前n项和的问题时，有时要注意整体思想的运用： 把 和 看成整体. 1.(2013·课标全国Ⅱ)等比数列{an}的前n项和为Sn已知 S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1等于 (　　) A.eq \f(1,3) B.－eq \f(1,3) C.eq \f(1,9) D.－eq \f(1,9) 解析：设等比数列{an}的公比为q， 由S3＝a2＋10a1得a1＋a2＋a3＝a2＋10a1， 即a3＝9a1，q2＝9， 又a5＝a1q4＝9，所以a1＝eq \f(1,9). 2.已知数列 是等比数列,且 ， ,则 （　） A． B． C． D． 解析：∵ ，∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ． 3．在等比数列{an}中，S4＝1，S8＝3，则a17＋a18＋a19＋a20的值是(　　) A．14 B．16 C．18 D．20 解析：∵S4＝1，S8＝3.∴S8－S4＝2， ∵S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，S20－S16，…，成等比数列，且首项为S4＝1，公比为2， ∴a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝ ＝16. 选B. 4.设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q的值为________． 解析：由已知条件，得2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2. 当 时， ，与题设矛盾. 当 时，由2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2得 ， 整理得 解得 （舍去）或 . 答案：－2． 5.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列． (1)求{an}的公比q； (2)若a1－a3＝3，求Sn. 解：(1)∵S1，S3，S2成等差数列， ∴2S3＝S1＋S2，显然{an}的公比q≠1， 于是eq \f(2a11－q3,1－q)＝a1＋eq \f(a11－q2,1－q)， 即2(1＋q＋q2)＝2＋q，整理得2q2＋q＝0， ∴q＝－eq \f(1,2)(q＝0舍去)． (2)∵q＝－eq \f(1,2)， 又a1－a3＝3， ∴a1－a1·(－eq \f(1,2))2＝3，解得a1＝4. 于是Sn＝eq \f(4\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n)),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq \f(8,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n)). 3.如果数列{an}为公比不为－1的等比数列,则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍构成等比数列，公比为 . 《选择性必修第二册》 “复习巩固”1（1）； “练习”2，4. $$