精品解析：湖南省2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题

高一数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定方法即可得解. 【详解】因为全称量词命题的否定方法为：改量词，否结论， 所以“，”的否定是，. 故选：B. 2. 已知全集，集合满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据补集的定义得到集合，然后判断即可. 【详解】由题意得或，所以ABC错，D正确. 故选：D. 3. 已知函数，则（ ） A. 6 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用的解析式，得到，进而得解. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数幂的运算法则即可得解. 【详解】因为， ， 所以. 故选：C. 5. 若为奇函数，则实数（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先由奇函数的性质得到，从而求得的值，再进行检验即可得解. 【详解】因为为奇函数， 所以，即， 解得，此时，其定义域为， 且， 即为奇函数，所以满足题意. 故选：B. 6. 已知函数，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的定义域，然后由抽象函数的定义域的求法求解即可. 【详解】因为， 由得：， 所以的定义域为：， 由得，所以， 故的定义域为：. 故选：A 7. 若，且，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用换元法，结合基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 令，，则，， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 8. 已知是定义在上的奇函数，当，且时，都有，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造，利用函数单调性与奇偶性的定义与判断得的性质，再分类讨论，与三种情况，利用的单调性即可得解. 【详解】因为当，且时，都有， 所以，令，则在上单调递增， 又是定义在上的奇函数，的定义域为， 且，所以是偶函数，， 所以在上单调递减， 对于，显然不满足不等式， 因为，所以，则， 当时，得，即，所以，则； 当时，，即，所以，则； 综上，或，即. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则函数的大致图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用幂函数的单调性，奇偶性逐项判断即可. 【详解】当时，，在上单调递增， 且，所以图象关于原点对称，故B正确； 当时，，在上单调递增， 且，所以图象关于轴对称，故A正确； 当时，，在上单调递增，故D错误； 当时，，在上单调递增，， 且，所以图象关于原点对称，与C不符合， 当时，，在上单调递增，， 且，所以图象关于轴对称，故C正确. 故选：ABC 10. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】对于AB，利用作差法，结合条件判断得的正负情况即可判断；对于CD，举反例即可得解. 【详解】对于A，因为，， 所以，，所以， 而，所以，故A正确； 对于B，因为，， 所以，，所以， 由选项A知，所以，故B正确； 对于C，取，满足，且， 但，故C错误； 对于D，取，满足，且， 但，故D错误. 故选：AB. 11. 对任意实数，定义为不大于的最大整数，如，，.设函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. ， C. 在上单调递增 D. 在上单调递减 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例排除AC，分类讨论与或两种情况，利用新函数的定义与二次函数的性质判断B，利用函数单调性的定义分析的单调性即可判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为， 所以，， 即，而， 所以的图象不可能关于直线对称，故A错误； 对于B，因为为不大于的最大整数，所以， 当时，，则； 当或时，， 因为的图象开口向上，对称轴为， 所以当或时，，故； 综上，，，故B正确； 对于C，因为， 所以，， 即，所以在上不可能单调递增，故C错误； 对于D，取，且， 当时，； 当时，； 综上，， 又由二次函数的性质可知在上单调递减，则， 所以，即， 所以在上单调递减，故D正确. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图象过点，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的形式得到，再代入即可求出，则可得到答案. 【详解】由题意得，则，则，代入点得 ，解得，则. 故答案为：. 13. 若存在，使得成立，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用幂函数与指数函数的单调性判断得的单调性，从而利用不等式能成立问题的解法即可得解. 【详解】因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 则， 因为存在，使得成立， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知函数，且，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用函数单调性与奇偶性的定义与分析得的性质，从而将题干不等式转化为，解之即可得解. 【详解】令，则的定义域为， 又，所以是奇函数， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 因为，则， 所以可化为， 则，故， 所以，解得，即的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，. （1）若，求； （2）若，且“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意化简集合，再利用集合的交集运算即可得解； （2）根据题意，得到是的子集，再利用与集合的补集运算，结合集合间的包含关系得到关于不等式，解之即可得解. 【小问1详解】 当时，集合， 解，得，所以， 所以. 【小问2详解】 因为“”是“”的充分条件，所以是的子集， 又，， 所以，解得， 由（1）知，所以或， 所以或，解得或， 综上或，即实数的取值范围. 16. 已知函数. （1）在如图所示的平面直角坐标系中画出的大致图象，并写出的单调区间及值域； （2）若函数的图象与轴有两个不同的交点，求实数的取值范围. 【答案】（1） 的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为. （2） 【解析】 【分析】（1）利用指数函数的图象与函数图象的变换即可作出的图象，再数形结合即可得到的单调区间及值域； （2）将问题转化为与的图象有两个交点，从而数形结合即可得解. 【小问1详解】 因为的图象是由的图象向下平移两个单位而得， 而的图象是由的图象保留轴上方的图象， 再将轴下方的图象沿着轴向上翻折而得， 所以的大致图象如图， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为. 【小问2详解】 因为函数的图象与轴有两个不同的交点， 所以有两个零点，即与的图象有两个交点， 结合图象可知，，解得， 即实数的取值范围为. 17. 某公司研发了一款洗地机，该洗地机集扫地、吸地、洗地三种功能于一体，投入市场后深受广大消费者的喜爱.已知该公司生产该款洗地机全年所需的固定成本为600万元，每生产万台洗地机，需另投入变动成本万元，且，每台洗地机的批发价为400元，假设该洗地机每年的销量等于当年的产量. （1）写出该洗地机的年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式.（注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本） （2）该洗地机的年产量为多少万台时，年利润最大？最大年利润是多少万元？ 【答案】（1） （2）当年产量为万台时，年利润最大，最大年利润为万元 【解析】 【分析】（1）根据题意，分和两种情况，求出的解析式，从而得解； （2）利用二次函数的性质与基本不等式分别求得两段解析式的最大值，从而比较得解. 【小问1详解】 因为每台洗地机的批发价为400元，所以万台洗地机的销售收入为万元， 依题意得，当时，， 当时，， 所以. 【小问2详解】 当时，， 所以在上单调递增，所以； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立，所以， 因为， 所以当年产量为万台时，年利润最大，最大年利润为万元. 18. 已知函数. （1）若，判断在上的单调性，并用定义证明； （2）若，且，求的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总有，使得，求的取值范围. 【答案】（1）在上单调递增，证明如下： 任取且， 则， 因为，则， 所以，即， 故在上单调递增. （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证； （2）利用（1）中结论，结合指数函数的性质得到关于的不等式，解之即可得解； （3）将问题转化为在上的值域是在上值域的子集，再分别求出与的值域，建立不等式即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，由（1）知在上单调递增， 因为，且，， 所以，由于在上单调递增， 故，即，解得或. 【小问3详解】 对任意，总有，使得， 则在上的值域是在上值域的子集， 因为，所以在上单调递增， 故当时，所以的值域为， 当时，在上单调递增，所以的值域为， 由，可得，解得，故； 当时，，满足题意； 当时，由在时，，由对勾函数性质可知， 只需且，解得，故， 综上，，即的取值范围. 【点睛】关键点点睛：本题第3小问的解决关键是，将问题等价于在上的值域是在上值域的子集，从而得解. 19. 给定区间，若对任意的，恒有函数或恒有函数，则称为上的“函数”． （1）判断是否为区间上的“函数”； （2）若是区间上的“函数”，求的取值范围； （3）若的定义域为，且在上单调递减，且图象是连续不断的曲线，求证：存在区间，使得是区间上的“函数”． 【答案】（1）不是 （2） （3）证明：由在上单调递减， 设任意，，则， 所以，即， 故在上也单调递减. 设任意区间，，由. 则. ①若，则, 故是区间上的“函数”； ②若， 则存在，使，且， 由函数图象连续不断，且单调递减， 则存在，使， 又，则，又， 所以当时，， 则， 故是区间上的“函数”； ③若， 则， 故是区间上的“函数”； ④若， 则存在，使，且， 由函数图象连续不断，且单调递减， 则存在，使， 又，则，又， 所以当时，， 则， 故是区间上的“函数”； ⑤若，则, 故是区间上的“函数”. 综上所述，存在区间，使得是区间上的“函数”． 【解析】 【分析】（1）求函数在区间的值域，根据区间与值域的关系判断可得； （2）利用换元法将复合函数的值域转化为二次函数的值域，再根据定义得到包含关系或交集为空集，由此建立不等式求解的范围； （3）根据与的大小分类讨论，分别找出满足定义条件的区间即可. 【小问1详解】 给定区间， 若对任意的，恒有函数，即； 若对任意的，恒有函数，即. 函数，. 则在上单调递减. 又，， 则在的值域为. 由， 可知对任意的，不恒成立； 又， 可知对任意的，也不恒成立. 所以不是区间上的“函数”. 【小问2详解】 令，由，则， 则， 则函数在上单调递增， 又， 即在上的值域为. 因为是区间上的“函数”， 所以，或， 若，则，解得； 若，则，或，解得或. 综上所述，的取值范围为. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于两点，一是理解定义条件，转化为给定区间与函数值域的关系；二是分类讨论思想的应用，根据值域端点与给定区间端点的大小产生分类讨论，并寻找符合定义的恰当区间. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知全集，集合满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. 6 B. 2 C. D. 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 5. 若为奇函数，则实数（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 6. 已知函数，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 若，且，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知是定义在上的奇函数，当，且时，都有，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则函数的大致图象可能为（ ） A. B. C. D. 10. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 对任意实数，定义为不大于的最大整数，如，，.设函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. ， C. 在上单调递增 D. 在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图象过点，则_________． 13. 若存在，使得成立，则实数的取值范围是_________. 14. 已知函数，且，则实数的取值范围是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，. （1）若，求； （2）若，且“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数. （1）在如图所示的平面直角坐标系中画出的大致图象，并写出的单调区间及值域； （2）若函数的图象与轴有两个不同的交点，求实数的取值范围. 17. 某公司研发了一款洗地机，该洗地机集扫地、吸地、洗地三种功能于一体，投入市场后深受广大消费者的喜爱.已知该公司生产该款洗地机全年所需的固定成本为600万元，每生产万台洗地机，需另投入变动成本万元，且，每台洗地机的批发价为400元，假设该洗地机每年的销量等于当年的产量. （1）写出该洗地机的年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式.（注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本） （2）该洗地机的年产量为多少万台时，年利润最大？最大年利润是多少万元？ 18. 已知函数. （1）若，判断在上的单调性，并用定义证明； （2）若，且，求的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总有，使得，求的取值范围. 19. 给定区间，若对任意的，恒有函数或恒有函数，则称为上的“函数”． （1）判断是否为区间上的“函数”； （2）若是区间上的“函数”，求的取值范围； （3）若的定义域为，且在上单调递减，且图象是连续不断的曲线，求证：存在区间，使得是区间上的“函数”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $