精品解析：浙江省初中名校发展共同体期中联考2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

绝密★考试结束前 2024学年第一学期浙江省初中名校发展共同体八年级期中考试 数学 考生须知： 1．本卷满分120分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 由下列长度的三条线段，能组成一个三角形的是（　　　） A. B. C. D. 3. 若等腰三角形的顶角为，则底角的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题是假命题的是（ ） A. 三角形任意两边之和大于第三边 B. 等边三角形各个内角都等于 C. 等腰三角形一边上的高线，中线互相重合 D. 直角三角形两锐角互余 5. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ） A. B. C. D. 6. 通过如下尺规作图，能说明的面积和的面积相等的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点在边上，E，F分别是线段，的中点．若，，则（ ） A. 5 B. 6 C. D. 4 8. 若关于的不等式组有解，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于，两点，是上一点，且，连接，．则下列说法正确的是；；．（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，分别以、、为边在的同侧作正方形、正方形、正方形，点在边上．若，则阴影部分的面积和为（ ） A. 12 B. 9 C. 18 D. 15 二、填空题（本大题共6题，每小题3分，共18分） 11. 用不等式表示“的3倍与1的和是正数”_____． 12. 命题“两个全等三角形的周长相等”的逆命题是______． 13. 一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，，，若这两个三角形全等，则的值是_____． 14. 在数学上用表示不大于的最大整数，例如：，，．若，则的取值范围为_____． 15. 如图，已知和，，点是的中点，连接，，，设．则当______时，为等边三角形．（用含的代数式表示） 16. 如图，已知，点是上一点，． （1）在射线上找一点，如果，那么这样的点有_____个； （2）当的取值范围是______时，在射线上找的点是唯一的． 三、解答题（本大题共8题，17－21每题8分，22－23每题10分，24题12分，共72分） 17. 学习了“解一元一次不等式”后，杭杭同学解不等式的过程如下： 解：去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 两边都除以得： 杭杭的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程，并把解表示在数轴上． 18. 如图，点B，F，E，C在一条直线上，，，．求证：． 19. 解决下面问题： （1）已知，比较与的大小．（选择适当的不等号填空） 解：，且（已知） _______（不等式的基本性质2） _______（不等式的基本性质1） （2）若，比较与的大小，并说明理由． 20. 如果我们称正方形网格中的交点为格点．如图，已知，两个格点． （1）在图1中找出两个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，并画出点； （2）在图2中找到一个格点，并画出，使得是等腰直角三角形，若每个小正方形的边长为1，求的面积． 21. 勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成． 如图1为赵爽弦图，其中，连接交于点，连接，得到图2，若． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 某体育专卖店销售进价分别为100元，80元的，两种型号的乒乓球拍，下表是近两周的销售情况．（进价、售价均保持不变，利润=销售收入－进货成本） 销售时段 销售数量（块） 销售收入（元） A型号 B型号 第一周 3 5 890 第二周 4 8 1320 （1）求A，B两种型号乒乓球拍的销售单价； （2）若超市准备用不多于1850元的金额再采购这两种型号的乒乓球拍共20块，求型号乒乓球拍最多能采购多少块？ （3）在（2）的条件下（即超市用不多于1850元的金额采购这两种型号的乒乓球拍共20块），超市销售完这20块乒乓球拍能否实现利润超过500元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 23. 学习了三角形全等的判定与性质后，我们得到角平分线的性质定理及其逆定理． 【理解定理】 （1）如图1，已知平分，于，于，若，则_____； 【问题解决】 （2）如图2，点B，D，C分别是，和上的一点，且满足，．求证：平分； 【变式应用】 （3）如图3，在中，，，为的中点，E，F分别为，上一点，且．求和的面积和． 24. 如图，在中，，为上任意一点（不与点，点重合），连接．将绕点逆时针旋转至，且，连接，，与相交于点． （1）求证； （2）若，，求四边形的周长的最小值； （3）若，且，当为等腰三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★考试结束前 2024学年第一学期浙江省初中名校发展共同体八年级期中考试 数学 考生须知： 1．本卷满分120分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 由下列长度的三条线段，能组成一个三角形的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】三角形的任何一边大于其他两边之差，任意两边之和大于第三边，满足此关系的可组成三角形，由此判断选项． 【详解】A、1+2=3，不能组成三角形，故此选项不合题意； B、3+3=6，不能组成三角形，故此选项不合题意； C、1+5>5，能组成三角形，故此选项符合题意； D、4+5<10，不能组成三角形，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 3. 若等腰三角形的顶角为，则底角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“等边对等角”的性质是解题关键． 根据等腰三角形“等边对等角”的性质求解即可． 【详解】解：等腰三角形的顶角是， 则底角是． 故选A． 4. 下列命题是假命题的是（ ） A. 三角形任意两边之和大于第三边 B. 等边三角形各个内角都等于 C. 等腰三角形一边上的高线，中线互相重合 D. 直角三角形两锐角互余 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边的关系，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．三角形任意两边之和大于第三边，正确，是真命题； B．等边三角形各个内角都等于，正确，是真命题； C．等腰三角形底边上的高线，中线互相重合，故原命题错误，是假命题； D．直角三角形两锐角互余，正确，是真命题； 故选C． 【点睛】本题考查了命题的真假，熟练掌握三角形三边的关系，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质是解答本题的关键． 5. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据直角求出，然后根据三角形内角和求解即可，掌握三角形的内角和为是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意知：， ∴， 故选：B． 6. 通过如下尺规作图，能说明的面积和的面积相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，三角形的中线的性质，掌握三角形中线平分面积的性质即可求解． 根据尺规作图确定中线即可求解． 【详解】解：A、是中的角平分线，不能平分三角形面积，不符合题意； B、，不能平分三角形面积，不符合题意； C、是的中线，能平分三角形面积，符合题意； D、是的垂线，不能平分三角形面积，不符合题意； 故选：C ． 7. 如图，在中，点在边上，E，F分别是线段，的中点．若，，则（ ） A. 5 B. 6 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质，根据等腰三角形的性质求出，根据直角三角形斜边上的中线得出，代入求出答案即可，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键． 【详解】解：连接， ∵，为的中点， ∴， 即， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， 故选B． 8. 若关于的不等式组有解，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求不等式组的解集，掌握不等式的性质，取值方法是解题的关键． 根据不等式的性质，及取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”的方法即可求解． 【详解】解：关于的不等式组有解， ∴， 故选：D ． 9. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于，两点，是上一点，且，连接，．则下列说法正确的是；；．（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，根据垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； 综上可知：正确， 故选：． 10. 如图，在中，，分别以、、为边在的同侧作正方形、正方形、正方形，点在边上．若，则阴影部分的面积和为（ ） A. 12 B. 9 C. 18 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形，理解勾股定理与几何图形面积，掌握勾股定理的计算，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意，如图所示，连接，过点作于点，设交于点，交于点，可证，，，，阴影部分的面积为，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，设交于点，交于点， ∵，以、、为边在的同侧作正方形、正方形、正方形， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵， ∵，， ∴，即， ∵，，，， ∴， ∴，， ∵， 又，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故选：A ． 二、填空题（本大题共6题，每小题3分，共18分） 11. 用不等式表示“的3倍与1的和是正数”_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列不等式．根据题目所给的数量关系列出不等式即可． 【详解】解：根据题意可列出不等式：， 故答案为：． 12. 命题“两个全等三角形的周长相等”的逆命题是______． 【答案】周长相等的两个三角形全等 【解析】 【分析】根据逆命题定义：将一个命题的题设与结论对调即可得到命题的逆命题，直接求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 命题“两个全等三角形的周长相等”的逆命题是“周长相等的两个三角形全等”， 故答案为：周长相等的两个三角形全等； 【点睛】本题考查逆命题定义：将一个命题的题设与结论对调即可得到命题的逆命题，解题的关键是找到原命题的题设与结论． 13. 一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，，，若这两个三角形全等，则的值是_____． 【答案】14或12.5 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质及解二元一次方程组、求代数式的值，掌握全等三角形对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形的对应边相等，分与7对应和与7对应两种情况计算，得到答案． 【详解】解∶两个三角形全等， ，或，， 解得∶，或，， 或12.5． 故答案为∶14或12.5． 14. 在数学上用表示不大于的最大整数，例如：，，．若，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式的解集，掌握不等式的性质，取值方法是解题的关键． 根据表示不大于的最大整数，结合实例，即可求解． 【详解】解：∵数学上用表示不大于的最大整数，如：，，， ∴，则的取值范围为， 故答案为： ． 15. 如图，已知和，，点是的中点，连接，，，设．则当______时，为等边三角形．（用含的代数式表示） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的内角和性质，等边三角形的性质，先由斜边上的中线等于斜边的一半，得出，再结合等边三角形的性质，则，，运用三角形的内角和性质列式计算化简，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵，点是的中点， ∴分别是的中线， ∴， 即， ∴， ∵为等边三角形， ∴， 即，， ∵，且， ∴， 则， 即， 则， 故答案为：． 16. 如图，已知，点是上一点，． （1）在射线上找一点，如果，那么这样的点有_____个； （2）当的取值范围是______时，在射线上找的点是唯一的． 【答案】 ①. 2 ②. 或 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，尺规作图，掌握相关性质是解题的关键． （1）根据所给的数值与临界值比大小即可判断； （2）过点作交于点，此时点是唯一的，以点为圆心，以大于长为半径画弧交于点，此时此时点是唯一的，据此解答即可． 【详解】解：（1）过点作交于点， 在直角中，，， ， ， 如图所示， 这样的点有2个； （2）以点为圆心，以大于的长为半径画弧交于点，或以点为圆心，以为半径画弧交于点D，此时点是唯一的，如图所示， 要使在射线上找的点是唯一的， 只需或． 故答案为：；或． 三、解答题（本大题共8题，17－21每题8分，22－23每题10分，24题12分，共72分） 17. 学习了“解一元一次不等式”后，杭杭同学解不等式的过程如下： 解：去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 两边都除以得： 杭杭的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程，并把解表示在数轴上． 【答案】杭杭的解答过程错误， ， 去分母：， 去括号：， 移项、合并：， 系数化为1：， 把解集表示在数轴上如下． 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握解一元一次不等式的步骤是解题关键．根据解一元一次不等式的步骤“去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1”求解，再将解集在数轴上表示即可． 【详解】略 18. 如图，点B，F，E，C在一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：， ． ， ，即． 又， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．利用平行线的性质求得，由得，然后利用即可证明． 【详解】略 19. 解决下面问题： （1）已知，比较与的大小．（选择适当的不等号填空） 解：，且（已知） _______（不等式的基本性质2） _______（不等式的基本性质1） （2）若，比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）＜，＜； （2） 解：，且（已知） （不等式的基本性质3） （不等式的基本性质1）． 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质：①不等式的传递性：若，，则，②把不等式的两边都加(或减去)同一个数，不等号仍然成立；③不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号仍然成立；不等式两边都乘(或除以)同一个负数，必须改变不等号方向，所得不等式成立． （1）根据不等式的性质解答即可； （2）根据不等式的性质解答即可． 【小问1详解】 解：，且（已知） （不等式的基本性质2） （不等式的基本性质1） 故答案为：＜，＜； 【小问2详解】 略 20. 如果我们称正方形网格中的交点为格点．如图，已知，两个格点． （1）在图1中找出两个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，并画出点； （2）在图2中找到一个格点，并画出，使得是等腰直角三角形，若每个小正方形的边长为1，求的面积． 【答案】（1） 如图所示，（画出图中六个点中的任意两个）， （2）如图，（答案不唯一）， ， 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的定义和勾股定理解答即可； （2）根据等腰直角三角形的定义，勾股定理解及其逆定理答即可． 【小问1详解】 解：如：， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键． 21. 勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成． 如图1为赵爽弦图，其中，连接交于点，连接，得到图2，若． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明： （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理； （1）根据等角对等边得出，进而可得，根据三线合一，即可得证； （2）由（1）得：，可以求得，进而证明，得出，再根据勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得： ，赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成， ∴， 在中， ∴ ， 在中， 22. 某体育专卖店销售进价分别为100元，80元的，两种型号的乒乓球拍，下表是近两周的销售情况．（进价、售价均保持不变，利润=销售收入－进货成本） 销售时段 销售数量（块） 销售收入（元） A型号 B型号 第一周 3 5 890 第二周 4 8 1320 （1）求A，B两种型号乒乓球拍的销售单价； （2）若超市准备用不多于1850元的金额再采购这两种型号的乒乓球拍共20块，求型号乒乓球拍最多能采购多少块？ （3）在（2）的条件下（即超市用不多于1850元的金额采购这两种型号的乒乓球拍共20块），超市销售完这20块乒乓球拍能否实现利润超过500元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）A，B两种型号乒乓球拍的销售单价分别为130元，100元； （2）12块； （3）符合条件的方案有2种：A型号11块，B型号9块；A型号12块，B型号8块． 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式的运用，理解数量关系，掌握二元一次方程组，一元一次不等式解决实际问题的方法是解题的关键． （1）设A，B乒乓球拍的销售单价分别为元，元，由此列二元一次方程组求解即可； （2）设A号乒乓球拍采购块，根据数量关系列不等式，求解即可； （3）由已知得，由此即可求解． 【小问1详解】 解：设A，B乒乓球拍的销售单价分别为元，元， ， 解得， 答：A，B两种型号乒乓球拍的销售单价分别为130元，100元； 【小问2详解】 解：设A号乒乓球拍采购块，则B号乒乓球拍采购块， ∴， 解得， 答：型号乒乓球拍最多能采购12块； 【小问3详解】 解：A，B两种型号乒乓球拍的进价分别为100元，80元，销售单价分别为130元，100元， ∴， 解得， 所以：， 符合条件的方案有2种：A型号11块，B型号9块；A型号12块，B型号8块． 23. 学习了三角形全等的判定与性质后，我们得到角平分线的性质定理及其逆定理． 【理解定理】 （1）如图1，已知平分，于，于，若，则_____； 【问题解决】 （2）如图2，点B，D，C分别是，和上的一点，且满足，．求证：平分； 【变式应用】 （3）如图3，在中，，，为的中点，E，F分别为，上一点，且．求和的面积和． 【答案】（1）1； （2）证明：过作于，过作于， ，， ， ，， ， ， 平分； （3）． 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质及勾股定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键． （1）利用角平分线的性质定理，即可得证； （2）过作于，过作于，证明，得到即可； （3）连接，过作于，于，进而证明，，可证，得到∶，，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：平分，于，于， ， ， ； 故答案为：1； （2）略 （3）连接，过作于，于， ，为的中点， ，平分，， ，，平分， ， ，，， ， ， 和中， ， ， ， 由，可得：， ，即， ， ， 和的面积和 的面积． 24. 如图，在中，，为上任意一点（不与点，点重合），连接．将绕点逆时针旋转至，且，连接，，与相交于点． （1）求证； （2）若，，求四边形的周长的最小值； （3）若，且，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴； （2）34； （3）或． 【解析】 【分析】（1）利用即可证明； （2）当最小时，周长最小，即当时，周长最小，据此求解即可； （3）分当、和时，三种情况讨论，利用等腰三角形的性质结合全等三角形的判定和性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， 因为四边形的周长 ， 所以当最小时，周长最小，即当时，周长最小， ，， 时， 四边形周长的最小值是； 【小问3详解】 解：∵， ， ，又， ，， 如果为等腰三角形，分三种情况讨论： 当时， ， ，则点不存在； 当时， ，， ∴， 点为的中点， ∴； 当时， ， ， ， ， ， 综上得，当为等腰三角形时，的长为或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $