4.3.1 等比数列的概念课件(1)-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.1 等比数列的概念(1) 复习引入 1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥板上记录了下面 的数列：       情境引入 第2项起，每一项分别是前一项的9，100，5倍. 2.《庄子·天下》中提到：“一尺之棰， 日取其半，万世不竭.”如果把“一尺 之棰”的长度看成单位“1”，那么从 第1天开始，各天得到的“棰”的长度 依次是：   木棰长度 第一天取半 第二天取半 第三天取半 第四天取半 ... ... ... 第 天取半 n 设木棰长度为 1 3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20分钟就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是？ 第2项起,每一项是前一项的2倍 2,4,8,16,32,64,… 5 4.某人存入银行 元，存期为5年，年利率为 ，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是： 6 思考1：请同学们仔细观察以下六个数列, 类比等差数列的研究, 你认为可以通过怎样的运算发现以下数列的取值规律?你发现了什么规律? 共同特点: 从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数. 如果用{an}表示数列①，那么有           取值规律: 从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比都等于 9． 探究一:等比数列的概念 6 7 如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的____都等于___一个常数，那么这个数列就叫做__________. 常数叫做等____数列的_____. 等比数列 2 比 同 等比数列 公比 等差数列 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列. 常数叫做等差数列的公差. 公差通常用字母d表示 公比通常用字母q表示(q≠0) 比 思考2：类比等差数列的概念，你能抽象出等比数列的概念吗？ 定义 符号 思考3：等差数列的项、公差均可以是0吗？等比数 列呢？ 思考4：常数列是等差数列吗？是等比数列吗？ 思考5：是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？ 常数列一定是等差数列，公差为0； 非零常数列是等比数列，公比为1. 非零常数列既是等差数列又是等比数列, 公差为0, 公比为1. 等差数列的项、公差均可以是0, 但等比数列的项和公比均不可以是0. 等比数列的概念　 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列. 这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (q≠0)表示. 例如数列①~⑥的公比依次为 9, 100, 5, 0.5, 2, 1+r. 等比数列的符号语言： 归纳总结 （2）因为等比数列的每一项都可能作分母，所以等比数列的每一项均不为0，即 注：（1）等比数列的公比可正，可负，但不可为0； 判断下列数列是否是等比数列. 如果是，写出它的公比. 练习 课本P31 等差中项 等比中项 如果三个数a, A, b组成等差数列，那么A叫做a和b的等差中项. 如果三个数a, G, b组成等比数列，那么G叫做a和b的等比中项. 定义 a, A, b成等差数列 a, G, b成等比数列 关系 思考6：类比等差中项的概念，你能抽象出等比中项的概念吗？ 探究二:等比中项 等比中项　 如果在a与b中间插入一个数G，使a, G, b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 此时，G2=ab . 归纳总结 注意：若a, b同号,则有两个等比中项;若a, b异号,则无等比中项. 下列两个数是否有等比中项？ （1）1， 9 （2）-1，-4 （3）-1，1 练习 思考7：类比等差数列的通项公式，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 等差数列 等比数列 不完全归纳法 探究三:等比数列的通项公式 累乘法 累加法 等差数列 等比数列 归纳总结 等比数列通项公式的推广: 对任意的 、 ，在等比数列中，有 两式相除，得 ∴ a1,an,n,q 知三求一 等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示. a1 a3 a5 a7 q 2 8 2 0.2 已知{an}是一个公比为q等比数列，请在下表中的空格处填入适当的数. 4 16 50 0.08 0.0032 练习 课本P31 指数型 函数 思考9：类比指数函数的性质，判断公比q>0的等比数列的单调性？ 思考8：类比等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪类函数建立关系？ q q>1 0<q<1 a1>0 a1<0 q=1 a1 从图象上看，表示等比数列{an} 中的各项的点是指数型函数 图象上一群孤立的点. 思考10：公比q＞0且q≠1的等比数列的图象有什么特点？ 对于数列{an}, 若点(n, an) (n∈N*)都在函数y=cqx的图象上，其中c, q为常数，且c≠0, q≠0, q≠1，试判断数列{an}是否是等比数列，并证明你的结论. 练习 课本P31   例题 解法1: 课本P29   解法2: 等比中项 课本P29 在等比数列{an}中， (1) a1＝1，a4＝8，求an； (2) an＝625，n＝4，q＝5，求a1； (3) a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 练习 例2：数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80, 第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132. 求这个数列. 例题 课本P30 (1)如果是三个数成等比数列，可设为 ，a，aq 对称设元法 (2)如果是四个数成等比数列，可设为 ， ，aq，aq3 1.与等差数列有关的数的设元技巧： 2.与等比数列有关的数的设元技巧： (1)如果是三个数成等差数列，可设为 a - d，a， a+d (2)如果是四个数成等差数列，可设为 a+3d ， a - d ， a+d ， a+3d 反思归纳 有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8；后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数． 练习 随堂检测 1.等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第4项等于（ ） A.－24 B.0 C.12 D.24 解析：由x,3x＋3,6x＋6成等比数列得， (3x＋3)2＝x(6x＋6)， 解得x1＝－3或x2＝－1(不合题意，舍去). 第2项为－6， 故数列的第4项为－24. 2.已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么（ ） A.b＝3，ac＝9 B.b＝－3，ac＝9 C.b＝3，ac＝－9 D.b＝－3，ac＝－9 解析：∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号， ∴b＝－3，且a，c必同号，∴ac＝b2＝9. 4.在等比数列{an}中. (1)已知a3＝2，a5＝8，求a7； 所以q2＝4， 所以a7＝a5q2＝8×4＝32. (2)已知a3＋a1＝5，a5－a1＝15，求通项公式an. 解：a3＋a1＝a1(q2＋1)＝5，a5－a1＝a1(q4－1)＝15， 所以q2－1＝3，所以q2＝4，所以a1＝1，q＝±2， 所以an＝a1qn－1＝(±2)n－1. 5.已知四个数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,中间两个之积为16，前后两个数之积为-128.求这四个数. 解：设所求四个数为 由题意知 解得 因此所求的四个数为-4,2,8,32或4,-2,-8,-32. 形 等差数列 等比数列 类比 抽象概念 代数运算 归纳法 累乘法 累加法 通项公式 函数角度 数 一次函数 指数函数 数 形 课堂小结 课外作业 3.在等比数列{an}中，a1a3＝36，a2+a4＝ 60. 求a1和公比q. 课本P31 1.等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的 一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 ， 常用字母 表示. 注：等差数列的定义式是： ， 2.（1）等差数列的通项公式： ， 推广： . （2）当 时，等差数列的通项公式是关于 的 函数，当 0时，它是递增数列，当 0时，它是递减数列. 等比数列的通项公式： ，其中 是首项， 是公比. 3.在数列{an}中，a1＝2，且对任意正整数n, 3an＋1－an＝0，则an＝________. 解析：∵3an＋1－an＝0， ∴eq \f(an＋1,an)＝eq \f(1,3)， 因此{an}是以eq \f(1,3)为公比的等比数列， 又a1＝2，所以an＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1. 答案：2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1 《选择性必修第二册》 “复习巩固”1（2）； “练习”3； “练习”3. $$