圆锥曲线中的范围、最值问题 专项训练-2025届高三数学一轮复习

第8章　 平面解析几何 第8节　 圆锥曲线中的范围、最值问题 1．已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，右顶点为A(1，0)，离心率为2. (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知B，直线l：y＝kx＋m(km≠0)与双曲线C相交于不同的两点M，N，若|BM|＝|BN|，求实数m的取值范围． 2．(2024·济宁模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(4，m)在抛物线E上，且△OMF的面积为p2(O为坐标原点)． (1)求抛物线E的方程； (2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A，B两点，过A，B分别作垂直于l的直线AC，BD，分别交抛物线于C，D两点，求|AC|＋|BD|的最小值． 3．(2024·淄博模拟)已知F是椭圆C：＝1(a>b>0)的一个焦点，在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且kOA＋kOB＝－(O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围． 4．如图所示，已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，过点M(1，0)的直线交抛物线C于A，B两点，且3＝. (1)求抛物线C的方程； (2)若点B在准线l上的投影为E，D是C上一点，且·＝0，求△ABD面积的最小值及此时直线AD的方程． 答案解析 1、解：(1)因为a＝1，＝2，所以c＝2，b2＝3， 所以双曲线C的标准方程为x2－＝1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 线段MN的中点Q(x0，y0)， 联立 得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0， 依题意 即① 由根与系数的关系可得x1＋x2＝， 则x0＝. 因为|BM|＝|BN|，所以BQ⊥MN， 所以kBQ＝， 所以3－k2＝m②， k2＝3－m>0③. 由①②③得m<－或0<m<. 2、解：(1)由题意可得解得p＝2. 故抛物线E的方程为y2＝4x. (2)由题意知直线l的斜率一定存在且不为0，F(1，0)，设直线l的方程为x＝ty＋1，t≠0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， 易知x1＝ty1＋1>0，x2＝ty2＋1>0， 联立 消去x，得y2－4ty－4＝0， 则Δ＝16t2＋16＞0， 所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4. 由AC垂直于l，得直线AC的方程为y－y1＝－t(x－x1)， 联立 消去x，得ty2＋4y－4tx1－4y1＝0， 则Δ＝16＋4t(4tx1＋4y1)＞0， 所以y1＋y3＝－. 所以|AC|＝＝＝ ＝＝＝·(ty1＋2)． 同理可得|BD|＝·(ty2＋2)， 所以|AC|＋|BD|＝·[t(y1＋y2)＋4]＝(t2＋1)＝8. 令f (x)＝，x>0，则f ′(x)＝，x>0， 所以当x∈(0，2)时，f ′(x)<0，f (x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f ′(x)>0，f (x)单调递增． 所以当x＝2时，f (x)取得最小值，即当t＝±时，. 3、解：(1)由题意知，椭圆＝1(a>b>0)的左焦点为，右焦点为， 根据椭圆的定义，可得点M到两焦点的距离之和为＝4， 即2a＝4，所以a＝2. 又因为c＝，可得b2＝a2－c2＝1， 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)当直线l的斜率不存在或斜率为0时，结合椭圆的对称性可知，kOA＋kOB＝0，不符合题意． 故设直线l的方程为y＝kx+m(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0， 则x1＋x2＝， 所以kOA＋kOB＝. 由kOA＋kOB＝－，可得m2＝4k＋1≥0，所以k≥－. 又由Δ>0，可得16(4k2－m2＋1)>0， 所以4k2－4k>0，解得k<0或k>1. 综上所述，直线l的斜率的取值范围是(1，＋∞) 4、解：(1)依题意F，3＝， 可得3|OF|＝|FM|，即3×＝1－，可得p＝， 所以抛物线C的方程为y2＝x. (2)抛物线y2＝x的焦点F，准线方程为x＝－， 设D(x0，y0)，B(t2，t)，则E， 若直线AB的斜率存在，设直线AB：y＝k(x－1)， 联立可得k2x2－(2k2＋1)x＋k2＝0，Δ＝(2k2＋1)2－4k4＞0， 则xAxB＝1，可得A. 若直线AB的斜率不存在，即直线AB：x＝1，也符合上述坐标． 因为kEF＝－2t，AD⊥EF， 所以kAD＝，故直线AD：y＋＝，即x－2ty－2－＝0. 由得y2－2ty－2－＝0， Δ＝4t2＋4＞0， 所以yA＋y0＝2t，yAy0＝－2－. 所以|AD|＝|yA－y0|＝·＝2. 点B到直线AD的距离为d＝＝. 所以S△ABD＝|AD|·d＝≥＝8， 当且仅当t2＝，即t＝±1时，等号成立， 当t＝1时，直线AD的方程为x－2y－3＝0； 当t＝－1时，直线AD的方程为x＋2y－3＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$