4.2.2等差数列的前n项和公式课件(2)-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.2 等差数列的前n项和公式(2) 复习引入 例1：某校新建一个报告厅,要求容纳800个座位,报告厅共有20排座位,从第2排起后一排都比前一排多2个座位.问第1排应安排多少个座位. 解:设报告厅的座位从第1排到第20排,各排的座位数依次排成一列,构成数列{an},其前n项和为Sn . 因此,第1排应安排21个座位. 根据题意,数列{an}是一个公差为2的等差数列,且 S20 =800. 由 ,可得a1 =21. 例题 课本P23 练习 某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择2000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10元. 你认为哪种领奖方式获奖者受益更多? 课本P24 思考1：我们发现，等差数列{an}的前n项和公式 可化简为 ， 这个函数式与函数 有什么关系？ 当d=0 时，Sn的图象是一条直线上的均匀分布的点. 当d≠0 时， 是二次函数 当x = n时的函数值. 则 探究：等差数列前n项和公式的函数特征 归纳总结 几何意义：前n项和公式Sn的图象是一条过坐标原点的抛物线上孤立的点. 1.已知等差数列{an}的n项和为Sn,且S10＝310,S20＝1220,求S30. 练习 2.已知数列{an}的n项和为 ,求数列{an}的通项公式. 课本P24 1.当a1<0，d>0 时，Sn的图象是一条开口向上的过坐标 原点的抛物线上孤立的点. Sn n O 1 方法2: 当a1<0，d>0时，数列前面有若干项为负, 此时所有负项的和为Sn的最小值. 方法1: 由 利用二次函数的对称轴，求得最值及取得最值时的n的值. 此时由an≤0 且an+1 ≥ 0求n的值 2.当a1>0，d<0 时，Sn的图象是一条开口向下的过坐标原点的抛物线上孤立的点. Sn n O 1 方法2: 当a1>0，d<0时，数列前面有若干项为正, 此时所有正项的和为Sn的最大值. 此时由an≥0且an+1≤0求n的值 方法1: 由 利用二次函数的对称轴，求得最值及取得最值时的n的值. (1)当a1>0，d<0时，数列前面有若干项为正, 此时所有正项的和为Sn的最大值. 此时由an≥0且an+1≤0求n的值； (2)当a1<0，d>0时，数列前面有若干项为负, 此时所有负项的和为Sn的最小值. 此时由an≤0 且an+1 ≥ 0求n的值. 注意：当数列的项中有数值为0时，n应有两解. 求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法 1.前n项和公式法： 2.通项公式法： 利用等差数列的增减性及an的符号变化 归纳总结 例3 ：已 知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，则Sn是否存在最大值? 若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由. 例题 通项公式法求最值 课本P23 例3 ：已 知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，则Sn是否存在最大值? 若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由. 前n项和公式法求最值 课本P23 1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：解法一：设该数列的公差为d， 则a4＋a6＝2a1＋8d＝2×(－11)＋8d＝－6，解得d＝2， 所以Sn＝－11n＋ =n2－12n＝(n－6)2－36， 所以当n＝6时，Sn取最小值． 练习 解法二：由an＝2n－13知，n≤6时，an<0；n≥7时，an>0，故S6最小． 2.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值. 解法1： 由S3=S11得 ∴ d=－2 ∴当n=7时,Sn取最大值49. 2.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值. 解法2： 由S3=S11得 d=－2 ∴当n=7时,Sn取最大值49. ∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15 由 得 2.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值. 解法3： 由S3=S11得 d=－2<0 ∴当n=7时,Sn取最大值49. 则Sn的图象如图所示 又S3=S11 所以图象的对称轴为 7 n 11 3 Sn 随堂检测 3. 求集合M＝{m| m＝2n－1, n∈N*, 且m<60}中元素的个数， 并求这些元素的和. 4. 某单位用分期付款的方式为职工购买40套公寓，共需1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，则全部按期付清后，买这40套公寓实际花了多少钱？ 解：(1)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n， 又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1满足an＝34－2n. 故{an}的通项为an＝34－2n. 所以an＋1－an＝34－2(n＋1)－(34－2n)＝－2. 故数列{an}是以32为首项，－2为公差的等差数列． (2)令an≥0且an+1≤0，得34－2n≥0且34－2(n+1)≤0，解得16≤n≤17. 故数列{an}的前16项或前17项的和最大． 课堂小结 2．求等差数列前n项和的最值 (1)二次函数配方法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观． 课外作业 3. 已知等差数列－4.2，－3.7，－3.2，‧‧‧的前n项和为Sn， Sn是否存在最大(小)值? 如果存在，求出取得最值时n的值. 课本P24 课本P24 1.等差数列的通项公式： ，其中 为首项， 为公差. 当 时，等差数列的通项公式是关于 的 函数，其中一次项系数是 ，而且当 0时，它是递增数列，当 0时，它是递减数列. 2.等差数列 的前 项和公式： （1） ； （2） . 4.数列 的第 项 与前 项和 的关系： . 3.等差数列的性质： （1） ；变式 = . （2）若 ,且 ，则 . （3）若 ,且 ,则 . 解：设Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(310＝100A＋10B，,1 220＝400A＋20B，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A＝3，,B＝1.)) ∴Sn＝3n2＋n. ∴S30＝3×900＋30＝2 730. 思考2：怎样求等差数列的前 项和 的最值呢？ 1.等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为(　　) A．S7 B．S6 C．S5 D．S4 解析：∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a4＋a7＝a5＋a6<0，,a5>0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a5>0，,a6<0，)) ∴Sn的最大值为S5. 选C.　 2．数列{an}中，an＝2n－49，当数列{an}的前n项和Sn取得最小值时，n＝________. 解析：由an＝2n－49知{an}是等差数列. 由 ，解得 ∴n＝24. 答案：24 5.数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2. (1)求证：{an}是等差数列； (2)问{an}的前多少项和最大． (2)通项公式法：当a1>0，d<0时，Sn有最大值，可由 ，求得n的值；当a1<0，d>0时，Sn有最小值，可由 ，求得n的值． 《选择性必修第二册》 “综合运用”9； “练习”3. $$