一元线性回归模型及其应用专项训练-2025届高三数学一轮复习

第九章统计与统计案例 第三节一元线性回归模型及其应用 1.下列有关线性回归的说法，不正确的是() A.具有相关关系的两个变量不是因果关系 B.散点图能直观地反映数据的相关程度 C.经验回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系 D.任何一组数据都有经验回归方程 2.对两个变量x,y进行线性回归分析，计算得到样本相关系数=一0.9962， 则下列说法中正确的是() A,x与y正相关 B,x与y具有较强的线性相关关系 C,x与y几乎不具有线性相关关系 D.x与y的线性相关关系还需进一步确定 3,某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：C的关 系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据x,乃)=1,2，…， 20)得到下面的散点图： 100% 80% 60% 840% 20% 0 0 10 20 3040温度/℃ 由此散点图，在10C至40℃之间，下而四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y和温度x的回归方程类型的是() A,y=a十bx B.y=a+bx2 C.y=a+be* D.y=a+bInx 4.某供电公司为了分析本地某小区的用电量单位：kWh)与气温x(单位：C之 间的关系，随机统计了4天的用电量与当天的气温，这两者之间的对应关系如下 表： 气温x/C 18 13 10 -1 用电量y/Wh) 24 34 38 64 若上表中的数据可用经验回归方程驴=一2x十b6∈R)来预测，则当气温为一4C 时，该小区相应的用电量约为 kW-h. 5.新能源汽车的核心部件是动力电池，电池占了整车成本的很大一部分，而其中 的原材料碳酸锂又是电池的主要成分.从2020年底开始，碳梭锂的价格不断升高 ,下表是2022年某企业的前5个月碳酸锂的价格y(单位：万元/千克)与月份x的 统计数据. 月份x 1 3 4 碳酸锂价格y(万元/千克) 0.5 0.6 1 1.5 根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为护=0.28x十，根据数据计算出在 样本点(5,1.5)处的残差为-0.06，则表中m= 高考训练 6.(多选题)某工厂为了研究某种产品的产量（单位：吨）与所需某种材料的用量y (单位：吨)之间的相关关系，在生产过程中收集了4组数据如表所示.根据表中数 据可得经验回归方程为9=0.78x十a,则下列四个说法中正确的为() x/吨 3 6 7 y吨 2.5 4 5.9 A.变量x与y正相关 B.y与x的样本相关系数0 C.a=-0.05 D.当产量为8吨时，预测所需材料约为6.19吨 7.(能力创新)某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6 个月的广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据如下表： 月份 2 4 6 x万元 2 4 6 8 10 12 y万元 14.21 20.31 31.8 31.18 37.83 44.67 他们用两种模型①y=bx十a,②y=ax分别进行拟合，得到相应的经验回归方程 并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值. 残差 一模型① -模型② 6月份 XV x2 1464.24 364 ()根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由。 (2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除， ①剔除异常数据后，求出(1)中所选模型的经验回归方程： ②当广告投入量x=18时，(1)中所选模型收益的预测值是多少？ 附：对于一组数据：)，2，y2),…,(c,,其经验回归方程驴=6x十含的 %)9列 i=1 立对y 日1 斜率和截距的最小二乘估计分别为b= ，=y- 答案解析 1、D解析：根据两个变量具有相关关系的概念，可知A正确： 散，点图能直观地描述呈相关关系的两个变量的和关程度，且经验回归直线最能代 表它们之间的线性相关关系，所以B,C正确： 具有相关关系的成对样本数据才有经验回归方程，所以D不正确. 2、B解析：因为样本相关系数r=一0.9962，所以x与y负相关.因为H=0.996 2,非常接近1，所以线性相关性很强，故选B 3、D解析：由散点图分布可知，散，点分布在一个对数型函数图象的附近，因此 最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是y=a十bnx 4、68解析：由表中数据可得8=18+1102=10了=24+34牛38+64=40， 则将(10,40)代入经验回归方程可得，40=一20十b,得b=60, 则经脸回归方程为=一2x十60， 当x=一4时，9=一2×(-4)十60=68.故当气温为-4℃时，该小区相应的用电 量约为68kWh. 5、1.4解析：由题可知，当x=5时，有1.5-=1.5-(0.28×5+)=-0.06， 解得a=0.16. 又k=1+24g45=3,y05+06+m5-36g， 5 5 且经脸回归直线过样本点的中心(8)，所以0.28X3十0.16=36，解得m= 5 1.4. 6、ACD解析：因为经验回归方程9=0.78x十a,0.78>0, 所以变量x与y呈正相关，样本相关系数>0，故A正确，B错误： 由表格数据可得8-3+4牛+2=5夕=25+3452=3.85， 4 则0.78×5十a=3.85,解得3=一0.05，故C正确： 经验回归方程为=0.78x-0.05, 当x=8时，=0.78×8-0.05=6.19， 即产量为8吨时，预测所需材料约为6.19吨，故D正确. 7、解：(1)应该选释模型①，因为模型①的残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴 的水平带状区域中，且模型①的带状区城比模型②的带状区域窄，所以模型①的 拟合精度更高，经验回归方程的预测精度高 (②)①剔除异常数据，即3月份的数据后，得 8=专×(7×6-6=7.2， y×(30×6-31.8)=29.64, y,1461.24-6x31.8=1278.44 2-46 w,5成 1 所以6= -5x2= 27696-器=3， 328-5×72 1 a=y-6=29.64-3×7.2=8.04, 所以y关于x的经险回归方程为9=3x十8.04. ②把x=18代入①中所求经脸回归方程得=3×18十8.04=62.04. 故收益的预测值为62.04万元.