列联表与独立性检验 专项训练-2025届高三数学一轮复习

第9章　 统计与统计案例 第四节　列联表与独立性检验 1．某机构为调查网游爱好者是否有性别差异，通过调研数据统计得知在500名男生中有200名网游爱好者，在400名女生中有50名网游爱好者．若要确定爱好网游是否与性别有关时，用下列最适合的统计方法是(　　) A．均值 B．方差 C．独立性检验 D．回归分析 2．为了解某大学的学生喜欢体育锻炼是否与性别有关，某机构用简单随机抽样方法在校园内调查了120名学生，得到如下2×2列联表： 单位：名 体育锻炼 性别 合计 男 女 喜欢 a b 73 不喜欢 c 25 合计 74 则a－b－c等于(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 3．根据分类变量X与Y的抽样数据，计算得到χ2＝7.505，依据α＝0.01的独立性检验(x0.01＝6.635)，结论为(　　) A．变量X与Y不独立 B．变量X与Y不独立，这个结论犯错误的概率超过0.01 C．变量X与Y独立 D．变量X与Y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01 4．观察下列各图，其中两个分类变量X，Y之间关系最强的是(　　) 5．已知两个分类变量X，Y的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，通过随机调查得到样本数据，再整理成如下的2×2列联表： X Y y1 y2 x1 10 m x2 n 30 若样本容量为75，且m＜n，则当判断X与Y有关系的把握最小时，a的值为(　　) A．5 B．10 C．15 D．17 6．(多选题)(数学与文化)千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了某地区100天的日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表，并计算得到χ2≈19.05，则下列小波对该地区天气的判断正确的是(　　) 日落云里走 夜晚天气 下雨 未下雨 出现 25 5 未出现 25 45 A．夜晚下雨的概率约为 B．未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为 C．依据α＝0.005的独立性检验，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关 D．依据α＝0.005的独立性检验，若出现“日落云里走”，则认为夜晚一定会下雨 高考训练 7．(多选题)有甲、乙两个班级共计105人进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表． 分类 优秀 非优秀 合计 甲班 10 b 乙班 c 30 已知从105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法中正确的是(　　) A．列联表中c的值为30，b的值为35 B．列联表中c的值为20，b的值为45 C．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系” D．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” 8．有两个分类变量X和Y，根据其中一组观测数据得到如下的2×2列联表： X Y 合计 y1 y2 x1 a 15－a 15 x2 20－a 30＋a 50 合计 20 45 65 其中a，15－a均为大于5的整数，则a＝________时，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“X和Y之间有关系”． 9．(能力创新)为了解不同年龄段居民的主要阅读方式，某校兴趣小组在全市随机调查了200名居民，经统计这200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3∶1，将这200人按年龄分组，其中统计通过电子阅读的居民得到的频率分布直方图如图所示． (1)求a的值及通过电子阅读的居民的平均年龄；(同一组中数据用该组区间的中点值作代表) (2)把年龄在[15，45)的居民称为青年组，年龄在[45，65]的居民称为中老年组，若选出的200人中通过纸质阅读的中老年有30人，请完成下面2×2列联表，依据α＝0.025的独立性检验，能否认为阅读方式与年龄有关联？ 单位：人 年龄分组 阅读方式 合计 电子阅读 纸质阅读 青年 中老年 合计 α 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 答案解析 1、C　解析：由题意可知，“爱好网游”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断． 2、C　解析：根据题意，可得c＝120－73－25＝22，a＝74－22＝52，b＝73－52＝21， 补充完整2×2列联表为： 单位：名 体育锻炼 性别 合计 男 女 喜欢 52 21 73 不喜欢 22 25 47 合计 74 46 120 所以a－b－c＝52－21－22＝9. 3、A　解析：依据α＝0.01的独立性检验(x0.01＝6.635)，χ2＝7.505＞6.635＝x0.01， 所以变量X与Y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01，故A正确． 4、D　解析：观察等高堆积条形图易知D选项的两个分类变量之间关系最强． 5、C　解析：在两个分类变量的列联表中，当|ad－bc|的值越小时，认为两个分类变量有关的可能性越小． 令|10×30－mn|＝0，得mn＝10×30＝300. 又因为样本容量为75，所以m＋n＋40＝75，则n＝35－m， 所以mn＝m(35－m)＝300，化简得m2－35m＋300＝0，解得m1＝15，m2＝20. 又因为m＜n，所以m＝15. 6、ABC　解析：对于A，根据列联表可知，100天中有50天夜晚下雨，50天夜晚未下雨， 因此夜晚下雨的概率约为，A正确； 对于B，未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为，B正确； 对于C，χ2≈19.05＞7.879＝x0.005， 因此依据α＝0.005的独立性检验，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关，C正确； 对于D，依据α＝0.005的独立性检验，可判断“日落云里走，雨在半夜后”的说法犯错误的概率不超过0.005，但不代表出现“日落云里走”就一定会下雨，D错误． 7、BC　解析：由题意，从105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为， 所以成绩优秀的人数为105×＝30，非优秀的人数为105－30＝75， 所以c＝30－10＝20，b＝75－30＝45， 则χ2＝≈6.109＞3.841. 若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”． 8、9　解析：由题意可知χ2≥6.635，则≥6.635. 又由a＞5且15－a＞5，a∈N，得5＜a＜10. 综上得a＝9. 9、解：(1)由题图可得，(0.01＋0.015＋a＋0.03＋0.01)×10＝1，解得a＝0.035. 各组的频率依次为0.1，0.15，0.35，0.3，0.1， 所以通过电子阅读的居民的平均年龄为20×0.1＋30×0.15＋40×0.35＋50×0.3＋60×0.1＝41.5(岁)． 所以a的值为0.035，通过电子阅读的居民的平均年龄为41.5岁． (2)因为200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3∶1， 所以通过电子阅读的有150人，通过纸质阅读的有50人． 因为年龄在[15，45)的居民称为青年组，年龄在[45，65]的居民称为中老年组， 所以电子阅读的青年有150×(0.1＋0.15＋0.35)＝90(人)，中老年有150×(0.3＋0.1)＝60(人)． 补全列联表如下： 单位：人 年龄分组 阅读方式 合计 电子阅读 纸质阅读 青年 90 20 110 中老年 60 30 90 合计 150 50 200 零假设为H0：阅读方式与年龄无关． 根据表中数据，计算得χ2＝≈6.061＞5.024. 所以依据α＝0.025的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为阅读方式与年龄有关联．此推断犯错误的概率不大于0.025. 学科网（北京）股份有限公司 $$