二项式定理 专项训练-2025届高三数学一轮复习

第10章　 计数原理、概率、随机变量及其分布 第二节　二项式定理 1．(2024·开封模拟)展开式中的常数项是(　　) A．－160 B．－20 C．20 D．160 2．(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是(　　) A．45 B．84 C．120 D．210 3．0.996的计算结果精确到0.001的近似值是(　　) A．0.940 B．0.941 C．0.942 D．0.943 4．(多选题)已知展开式中的第三项的系数为45，则(　　) A．n＝9 B．展开式中所有系数的和为1 024 C．二项式系数最大的项为中间项 D．含x3的项是第7项 5．在的展开式中，x2的系数是________. 6．(2022·浙江卷)已知多项式(x＋2)·(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝______，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________. 7．已知①展开式中的所有项的系数之和与二项式系数之和的比为243∶32；②展开式中的前三项的二项式系数之和为16，在这两个条件中任选一个条件，补充在下面问题中的横线上，并完成解答． 问题：已知二项式，________. (1)求展开式中的二项式系数最大的项； (2)求展开式中的系数最大的项． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 8．已知(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024. (1)求展开式中所有奇次项系数的和； (2)求展开式中所有偶次项系数的和； (3)求的值． 高考训练 9．设复数x＝(i是虚数单位)，则x＋x2＋x3＋…＋x2 024＝(　　) A．0 B．－2 C．－1＋i D．－1－i 10．(数学与文化)在中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m(m>0)为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(mod m)．若a＝＋×3＋×32＋…＋×320，a≡b(mod 5)，则b的值可以是(　　) A．2 004 B．2 005 C．2 025 D．2 026 11．(多选题)关于多项式的展开式，下列结论中正确的有(　　) A．各项系数之和为0 B．各项系数的绝对值之和为256 C．存在常数项 D．含x的项的系数为－40 12．若(x2－a)的展开式中x6的系数为30，则a＝________ ，展开式中的常数项为________. 13．(2024·泰安模拟)若(3x－4)5＝a0＋a1(x－1)＋…＋a5(x－1)5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝________. 14．已知(1＋2x)n展开式的二项式系数和为128，且(1＋2x)n＝.(1)求a2的值； (2)求a1＋a2＋a3＋…＋an的值． 15．已知. (1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数； (2)若展开式中前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 答案解析 1、A　解析：展开式的通项公式为Tk＋1＝x－(6-k)·(－2x)k＝x2k-6， 令2k－6＝0，解得k＝3， 故展开式中的常数项为－8＝－160.故选A． 2、C　解析：(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中，含x2项的系数为＋＋＋…＋＝＝120.故选C． 3、B　解析：0.996＝(1－0.01)6＝×1－×0.01＋×0.012－×0.013＋…＋×0.016＝1－0.06＋0.001 5－0.000 02＋…＋0.016≈0.941. 4、BCD　解析：展开式的第三项为T3＝2＝，所以第三项的系数为＝45，所以n＝10，故A错误； 在中，令x＝1，得展开式中所有系数的和为210＝1 024，故B正确； 展开式总共有11项，则二项式系数最大的项为中间项，故C正确； 的通项公式为Tk＋1＝k＝， 令＝3，解得k＝6，所以含x3的项是第7项，故D正确．故选BCD． 5、60　解析：二项式展开式的通项公式为Tk＋1＝(2x3)6-k＝(－1)k26-kx18-4k，令18－4k＝2，解得k＝4，所以x2的系数为(－1)4×22×＝60. 6、8　－2　解析：含x2的项为·x·(－1)3＋2·x2·(－1)2＝－4x2＋12x2＝8x2，故a2＝8；令x＝0，得2＝a0，令x＝1，得0＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2. 7、解：(1)选①：令x＝1，得所有项的系数和为3n，又二项式系数和为2n，所以3n∶2n＝243∶32，解得n＝5. 选②：由题意得＋＋＝16，化简得n2＋n－30＝0，解得n＝5(n＝－6舍)． 由上述可知展开式中的二项式系数最大的项为第三、四项． 因为Tk＋1＝(2x2)5-k＝25-kx10-3k， 所以T3＝25-2x10-6＝80x4, T4＝25-3x10-9＝40x. (2)(方法一)由(1)知，展开式中的系数依次为20，其中系数最大的项为T2和T3，T2＝25-1x10-3＝80x7，T3＝25-2·x10-6＝80x4. (方法二)设展开式中的系数最大的项为Tk＋1，则 所以 解得1≤k≤2. 因为k∈N*，所以k＝1或k＝2， 所以系数最大的项为T2和T3，T2＝25-1x10-3＝80x7，T3＝25-2x10-6＝80x4. 8、解：(1)当x＝1时，有a0＋a1＋a2＋…＋a2 024＝1①， 当x＝－1时，有a0－a1＋a2－a3＋…－a2 023＋a2 024＝32 024②， 令(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝. (2)由(1)知， 令(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋…＋a2 024＝. (3)令x＝，得a0＋＝0， 令x＝0，得a0＝1，所以＝－1. 9、A　解析：x＝＝－1＋i， 由于x＋x2＋x3＋…＋x2 024＝(1＋x)2 024－1＝i2 024－1＝1－1＝0. 10、D　解析：若a＝＋×3＋×32＋…＋×320 ，由二项式定理，得a＝(1＋3)20＝420＝(5－1)20 ，则a＝×520－×519＋…－×5＋.因为×520－×519＋…－×5能被5整除，所以a除以5余＝1.又因为a≡b(mod 5)，选项中只有2 026除以5余1.故选D． 11、ABC　解析：对于A，将x＝1代入多项式，可得各项系数和为(1＋1－2)4＝0，故A正确．对于B，取多项式，将x＝1代入多项式可得(1＋1＋2)4＝256，所以原多项式各项系数的绝对值之和为256，故B正确．对于C，多项式可化为，则展开式的通项公式为Tk＋1＝(－2)k.当4－k＝0，2，4，即k＝4，2，0时，有常数项，即有常数项，且当k＝0时，常数项为＝6；当k＝2时，常数项为×2×(－2)2＝48；当k＝4时，常数项为(－2)4＝16，故原多项式的展开式的常数项为6＋48＋16＝70，故C正确．对于D，当k＝1时，展开式中含x的项为x×(－2)1＝－24x；当k＝3时，含x的项为x×(－2)3＝－32x，故原多项式的展开式中含x的项的系数为－56，故D错误．故选ABC． 12、2　－294　解析：的展开式的通项公式为Tk＋1＝＝x10-2k， 令10－2k＝4，解得k＝3，所以x4的系数为；令10－2k＝6，解得k＝2， 所以x6的系数为，所以(x2－a)·的展开式中x6的系数为＝30，解得a＝2. 展开式中的常数项为x0＝－294. 13、240　解析：已知(3x－4)5＝a0＋a1(x－1)＋…＋a5(x－1)5，对式子两边同时求导， 得15(3x－4)4＝a1＋2a2(x－1)＋3a3(x－1)2＋…＋5a5(x－1)4， 令x＝2，得15×(3×2－4)4＝a1＋2a2＋…＋5a5＝240. 14、解：(1)由(1＋2x)n展开式的二项式系数和为128， 可得2n＝128＝27，即n＝7. 由(1＋2x)7＝[2(x＋1)－1]7＝[2(x＋1)]7＋6(－1)1＋…＋[2(x＋1)](－1)6＋(－1)7， 得a2＝(－1)522＝－84. (2)令x＋1＝0，即x＝－1，得a0＝－1， 令x＋1＝1，即x＝0，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝1，所以a1＋a2＋…＋a7＝2. 15、解：(1)由＋，整理得n2－21n＋98＝0，所以n＝7或n＝14. 当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5， 所以T4的系数为，T5的系数为·24＝70. 当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8，所以T8的系数为·27＝3 432. (2)由＋＋＝79，整理得n2＋n－156＝0，解得n＝12或n＝－13(舍去)． 设第k＋1项的系数最大， 因为(1＋4x)12， 所以解得9.4≤k≤10.4. 又k∈N*，所以k＝10. 所以展开式中系数最大的项为第11项，T11＝·210·x10＝16 896x10. 学科网（北京）股份有限公司 $$