概率与统计的综合问题 专项训练-2025届高三数学一轮复习

第10章　 计数原理、概率、随机变量及其分布 第八节　概率与统计的综合问题 1．为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校团委组织团员参加知识竞赛．根据成绩(单位：分)制成如图所示的频率分布直方图． (1)计算x的值； (2)采用按比例分层随机抽样的方法从成绩在[80，90)，[90，100]的两组中共抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记X为这3人中成绩落在[80，90)的人数，求X的分布列和期望． 2．(2024·深圳模拟)某县城为活跃经济，特举办传统文化民俗节，小张弄了一个套小白兔的摊位，设xi表示第i天的平均气温，yi表示第i天参与活动的人数，i＝1，2，…，20，根据统计，计算得到如下一些统计量的值： )2＝80，)2＝9 000，))＝800. (1)根据所给数据，用相关系数r判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系；(精确到0.01) (2)现有两个家庭参与套圈，A家庭3位成员每轮每人套住小白兔的概率都为，B家庭3位成员每轮每人套住小白兔的概率分别为，每个家庭的3位成员均玩一次套圈为一轮，每轮每人收费20元，每个小白兔价值40元，且每人是否套住相互独立，以每个家庭的盈利的期望为决策依据，问：一轮结束后，哪个家庭损失较大？ 附：相关系数r＝. 3．(2024·广东一模)某单位进行招聘面试，已知参加面试的N名学生全都来自A，B，C三所学校，其中来自A校的学生人数为n(n>1)．该单位要求所有面试人员面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码k(k＝1，2，3，…，N)，按面试号码k由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟，面试完成后自行离场． (1)求面试号码为2的学生来自A校的概率． (2)若N＝40，n＝10，且B，C两所学校参加面试的学生人数比为1∶2，求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试(A校所有参加面试的学生完成面试后，B，C两校都还有学生未完成面试)的概率． (3)记随机变量X 表示最后一名A校学生完成面试所用的时长(从第1名学生开始面试到最后一名A校学生完成面试所用的时间)，E(X)是X的数学期望，证明：E(X)＝. 4．(2024·福州模拟)某网红店推出A，B两种不同风味的饮品．为了研究消费者性别和饮品偏好的关联性，店主调查了首次到店的消费者，整理得到如下列联表： 单位：人 性别 种类 合计 A饮品 B饮品 女 60 40 100 男 40 60 100 合计 100 100 200 (1)请画出等高堆积条形图，并依据小概率值α＝0.01的独立性检验，判断首次到店消费者的性别与饮品风味偏好是否有关联．如果结论是性别与饮品风味偏好有关联，请解释它们之间如何相互影响． (2)店主进一步调查发现：女性消费者若前一次选择A饮品，则下一次选择A，B两种饮品的概率分别为；若前一次选择B饮品，则下一次选择A，B两种饮品的概率分别为；如此循环下去，求女性消费者前三次选择A，B两种饮品的数学期望，并解释其实际含义． 答案解析 1、解：(1)由题图可知0.005×10＋0.010×10＋0.015×10＋10x＋0.040×10＝1，所以x＝0.030. (2)由题可知，7人中成绩在[80，90)，[90，100]的人数分别为3，4，所以X的所有可能取值为0，1，2，3，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 解：(1)由题意可知，r＝＝＝≈0.94， 故可用线性回归模型拟合y与x的关系． (2)设A家庭中套中小白兔的人数为X1，则X1～B，所以E(X1)＝3×＝. 设A家庭的盈利为X2元，则X2＝40X1－60，所以E(X2)＝40E(X1)－60＝－24. 设B家庭中套中小白兔的人数为Y1，则Y1的所有可能取值为0，1，2，3， P(Y1＝0)＝＝， P(Y1＝1)＝＝， P(Y1＝2)＝＝， P(Y1＝3)＝＝， 所以E(Y1)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 设B家庭的盈利为Y2元，则Y2＝40Y1－60， 所以E(Y2)＝40E(Y1)－60＝40×－60＝－30. 因为－24>－30，所以B家庭的损失较大． 3、解：(1)记“面试号码为2的学生来自A校”为事件A， 将A校n名学生面试号码的安排情况作为样本空间，则样本点总数为， 事件A表示A校有1名学生的面试号码为2，其他n－1名学生的面试号码在剩余N－1个面试号码中随机安排，则事件A包含的样本点数为. 故P(A)＝＝＝. (2)设B校参加面试的学生有x名，由题意得＝，解得x＝10. 所以B校参加面试的学生有10名，C校参加面试的学生有20名． 记“最后面试的学生来自B校”为事件B，“最后面试的学生来自C校”为事件C，显然事件B，C互斥．记“A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试”为事件D，则D＝BD＋CD． 当事件B发生时，只需考虑A，C两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那位来自C校， 则P(BD)＝P(B)P(D|B)＝＝. 当事件C发生时，只需考虑A，B两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那位来自B校， 则P(CD)＝P(C)P(D|C)＝＝. 所以P(D)＝P(BD)＋P(CD)＝＝. (3)由题知随机变量X的取值为5n，5(n＋1)，…，5N, 则随机变量X的分布列为P(X＝5k)＝k＝n，n＋1，…，N. 所以随机变量X的期望E(X)＝ ＝＝＝＝ ＝(＋＋＋…＋) ＝(＋＋＋…＋)＝( ＝·＝. 所以E(X)＝. 4、解：(1)对于A饮品：女性消费者的频率为＝0.6，男性消费者的频率为＝0.4， 对于B饮品：女性消费者的频率为＝0.4，男性消费者的频率为＝0.6， 可得等高堆积条形图，如下图所示． 零假设为H0：首次到店消费者的性别与饮品风味偏好无关． 由列联表中数据得χ2＝＝8>6.635＝x0.01， 所以根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为首次到店消费者的性别与饮品风味偏好有关，此推断犯错误的概率不大于0.01. 可知首次到店消费者中女性消费者更青睐于A饮品，男性消费者更青睐于B饮品． (2)由题意可知，女性消费者第一次选择A，B两种饮品的概率分别为＝＝. 设前三次选择A饮品的次数为X，则X的可能取值为0，1，2，3， 因为P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以X的期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 设前三次选择B饮品的次数为Y，则Y＝3－X，所以Y的期望E(Y)＝3－E(X)＝3－＝， 即女性消费者前三次中，平均有次选择A饮品，有次选择B饮品． 学科网（北京）股份有限公司 $$