概率、统计与其他知识的交汇问题 专项训练-2025届高三数学一轮复习

第10章　 计数原理、概率、随机变量及其分布 第9节　 概率、统计与其他知识的交汇问题 1．(2024·烟台模拟)某篮球队为提高队员训练的积极性，进行小组投篮游戏．游戏规则如下：每个小组由两名队员组成，每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”．已知队员甲与队员乙组成一个小组，甲、乙两名队员投进篮球的概率分别为p1，p2. (1)若p1＝，求他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率． (2)已知p1＋p2＝，则： ①p1，p2取何值时能使得甲、乙两名队员在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率最大？并求出此时的最大概率； ②在第①问的前提下，若甲、乙两名队员想要获得297次“神投小组”的称号，则他们平均要进行多少轮游戏？ 2．某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入，其研发的检验试剂品α分为两类不同剂型α1和α2.现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂α1和α2合格的概率分别为和，第二次检测时两类试剂α1和α2合格的概率分别为和.已知两次检测过程相互独立，两次检测均合格，试剂品α才算合格． (1)设经过两次检测后两类试剂α1和α2合格的种类数为X，求X的分布列和数学期望； (2)若地区排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品α进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p(0＜p＜1)且相互独立，该家庭至少检测了3个人才确定为“感染高危户”的概率为f (p)，若当p＝p0时，f (p)最大，求p0的值． 3．(2024·济南模拟)某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛．已知共有12 000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如图所示的频率分布直方图． (1)规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数的数学期望． (2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值(同一组数据用该组区间的中点值代替)，且σ2＝362，已知小明的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？ (3)复赛规则如下：①每人的复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量n，每一题都需要“花”掉(即减去)一定分数来获取答题资格，规定答第k题时“花”掉的分数为0.2k(k＝1，2，…，n)；③每答对一题加2分，答错既不加分也不减分；④答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩．已知参加复赛的学生甲答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立．若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量n应为多少？ 附：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.997 3；≈19. 4．现如今国家大力提倡养老社会化、市场化，老年公寓是其养老措施中的一种，能够满足老年人的高质量、多样化、专业化生活及疗养需求．某老年公寓负责人为了能给老年人提供更加良好的服务，现对所入住的120名老年人征集意见，该公寓老年人的入住房间类型情况如下表所示． 入住房间的类型 单人间 双人间 三人间 人数 36 60 24 (1)若按入住房间的类型采用分层随机抽样的方法从这120名老年人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人进行询问，记随机抽取的4人中入住单人间的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． (2)记双人间与三人间为多人间，若在征集意见时要求把入住单人间的2人和入住多人间的m(m＞2且m∈N*)人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人入住房间类型相同，则该组标为Ⅰ，否则该组标为Ⅱ.记询问的某组被标为Ⅱ的概率为p. ①试用含m的代数式表示p； ②若一共询问了5组，用g(p)表示恰有3组被标为Ⅱ的概率，试求g(p)的最大值及此时m的值． 答案解析 1、解：(1)每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”， 则可能的情况有：①甲投中一次，乙投中两次；②甲投中两次，乙投中一次；③甲投中两次，乙投中两次． 因为p1＝， 所以他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率为 . (2)①由题意得他们在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率 P＝×p1××p2×(1－p2)＋ ＝2p1p2(p1＋p2)－2p1p2(p1＋p2)－3， 因为p1＋p2＝，所以P＝， 又0≤p1≤1，0≤p2≤1，则≤p1≤1， 令m＝p1p2＝－，则m∈ 上单调递增，则Pmax＝f ， 此时p1＝p2＝. ②他们小组在n轮游戏中获得“神投小组”称号的次数ξ满足ξ～B， 所以np＝297，则n＝＝625， 所以平均要进行625轮游戏． 2、解：(1)试剂α1合格的概率为， 试剂α2合格的概率为. 由题意知X的所有可能取值为0，1，2. 则P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，则X的分布列为 X 0 1 2 P 数学期望E(X)＝0×＝1. (2)检测3人确定“感染高危户”的概率为(1－p)2p， 检测4人确定“感染高危户”的概率为(1－p)3p， 则f (p)＝(1－p)2p＋(1－p)3p＝(1－p)2p(2－p)． 令x＝1－p，因为0＜p＜1，所以0＜x＜1， 原函数可化为g(x)＝x2(1－x2)(0＜x＜1)． 因为x2(1－x2)≤， 当且仅当x2＝1－x2，即x＝时，等号成立． 此时p＝1－，所以p0＝1－. 3、解：(1)预赛成绩在[60，80)范围内的样本量为0.012 5×20×100＝25， 预赛成绩在[80，100)范围内的样本量为0.007 5×20×100＝15， 设抽取的2人中预赛成绩优良的人数为X，则X的可能取值为0，1，2， 则P(X≥1)＝， 又P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝， 则X的分布列为 X 0 1 2 P 故E(X)＝0×. (2)μ＝＝(10×0.005＋30×0.01＋50×0.015＋70×0.012 5＋90×0.007 5)×20＝53， σ2＝362，则σ≈19，所以Z～N(53，362)， 故P(Z≥91)＝P(Z≥μ＋2σ)＝[1－P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)]≈0.022 75， 故全市参加预赛的学生中，成绩不低于91分的有120 000×0.022 75＝273(人)， 因为273＜300，故小明有资格参加复赛． (3)设学生甲答对的题目数为ξ，复赛成绩为Y，则ξ～B(n，0.8)，故E(ξ)＝0.8n， Y＝100－0.2(1＋2＋3＋…＋n)＋2ξ， 故E(Y)＝100－0.2(1＋2＋3＋…＋n)＋2E(ξ)＝－n2＋＋100＝－＋. 因为n∈N*，所以答题数量为7或8时，学生甲可获得最佳的复赛成绩． 4、解：(1)因为单人间、双人间、三人间入住人数比为36∶60∶24，即3∶5∶2， 所以这10人中，入住单人间、双人间、三人间的人数分别为10×＝2， 所以ξ的所有可能取值为0，1，2，3， P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝， 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P E(ξ)＝0×. (2)①从m＋2人中任选2人，有种选法，其中入住房间类型相同的有＋种选法， 所以询问的某组被标为Ⅱ的概率为p＝1－. ②由题意，5组中恰有3组被标为Ⅱ的概率 g(p)＝p3(1－p)2＝10p3(1－2p＋p2)＝10(p3－2p4＋p5)， 所以g′(p)＝10(3p2－8p3＋5p4)＝10p2(p－1)·(5p－3)， 所以当p∈时，g′(p)＞0，g(p)单调递增， 当p∈时，g′(p)＜0，g(p)单调递减， 所以当p＝时，g(p)取得最大值，最大值为"＝. 由p＝，且m∈N*，得m＝3. 所以当m＝3时，5组中恰有3组被标为Ⅱ的概率最大，且g(p)的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$