4.2.2等差数列的前n项和公式课件(1)-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.2等差数列的前n项和公式(1) 复习引入 1 + 2 + 3 +…+50+51+…+98+99+100 1+100=101 2+ 99=101 3+ 98=101 …… 50+ 51=101 高斯算法的高明之处在于他发现这100个 数可以分为50组，每组数的和均相等， 都等于101，50个101就等于5050了，即 高斯的算法实际上解决了求等差数列 1，2，3，‧‧‧，n，‧‧‧ ① 前100项的和的问题. 思考1:高斯在求和过程中利用了数列的什么性质？你能 从中得出求数列的前n项和的方法吗？ 探究：等差数列的前n项和的公式 据说，200多年前，高斯的算术老师提出了 下面的问题： 1＋2＋3＋‧‧‧＋100=？ 高斯 (1777—1855） 德国著名数学家 高斯的算法: (1+ 100)+(2+99)+‧‧‧+ (50+51)=101×50= 5050. 对于数列1，2，3，‧‧‧，n，‧‧‧ ，若设an=n，那么高斯的计算方法可以表示为 可以发现，高斯在计算中利用了 这一特殊关系. 这里用到了数列的性质：若p+q=s+t，则ap+ aq=as+ at，它使不同数的求和问题转化成了相同数(即101)的求和，从而简化了运算. 思考2：你能用高斯的方法求1+2+ ‧‧‧ +100+101吗? (1+ 101)+(1+100)+‧‧‧+ (50+52)+51=102×50+51= 5151. 或(0+ 101)+(1+100)+‧‧‧+ (50+51)=101×51= 5151. 将上述方法推广到一般:求1+2+ ‧‧‧ +n. 于是有 当n是偶数时，有 当n是奇数时，有 ∴对任意正整数n，都有 思考3:我们发现，在求前n个正整数的和时，要对n分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦. 能否设法避免分类讨论? 这种求和方法叫倒序相加法 把这种倒序相加的方法推广到求等差数列{an}的前n项和, 可得 (1) (2) 思考4:不从公式(1)出发，你能用其他方法得到公式(2) 吗？ 等差数列的前n项和的公式： 含a1 和d 含a1 和an 归纳总结 说明：当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为 简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好． 用文字语言表述公式一。引出另一个公式，另一种证明方法？可知sn是n的二次函数（放在教例3及探究讲）。知三求一，解释知三求二，让学生推导。 公式的记忆 我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式. a1 (n-1)d n a1 an n a1 an 例题 例1： 已知数列{an}是等差数列. 课本P21 例题 例1： 已知数列{an}是等差数列. 练习 根据下列各题中的条件，求相应等差数列{an }的前n 项和Sn . (1) a1＝5, an＝95, n＝10; (2) a1＝100, d＝－2, n＝50; (3) a1＝－4, a8＝－18, n＝10; (4) a1＝14.5, d＝0.7, an＝32. 课本P22 根据下列各题中的条件，求相应等差数列{an }的前n 项和Sn . (4) a1＝14.5, d＝0.7, an＝32. 课本P22 2. 等差数列－1, －3, －5, ‧‧‧的前多少项的 和是－100 ? 课本P22 例2：已知一个等 差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗? 例题 分析：把已知条件代入等差数列前n项和的公式 后，可得到两个关于 与d的二元一次 方程，解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以 求得 与d. 课本P21 归纳反思 练习 1. 在等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，若S4＝6，S8＝20， 求S16 . 课本P23 2. 在等差数列{an}中，若S15＝5(a2+a6+ak)，求k. 课本P23 1.（2013·安徽高考）设Sn为等差数列｛an｝的前n项和， ，则a9=（ ） A.-6 B.-4 C.-2 D.2 解析：选A.由 联立解得 ，所以 随堂检测 3．设{an}为等差数列，Sn 为{an}的前 n 项和，S7＝7， S15＝75，求 Sn. 4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝a5＋a6＝25. (1)求{an}的通项公式； 解：设公差为d，由S5＝a5＋a6＝25， ∴a1＝－1，d＝3. ∴{an}的通项公式为an＝3n－4. (2)求等差数列{an}的前n项和Sn. 解：由(1)知an＝3n－4， 得{an}的前n项和为 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1.等差数列前n项和的公式； 3.在两个求和公式中, 各有五个元素, 只要知道其中三个元素, 结合通项公式就可求出另两个元素——知三求二. 2.等差数列前n项和公式的推导方法——倒序相加法； 课堂小结 课外作业 3.等差数列的性质： （1） ；变式 = . （2）若 ,且 ，则 . （3）若 ,且 ,则 . 1.等差数列的定义： . 2.等差数列的通项公式： ，其中 为首项， 为公差. 在等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn中，已知任意三个，可以通过通项公式和前n项和公式联立方程组求出其余的两个，即：“知三求二”.这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用． 2.已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*， 若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________． 解析：设等差数列{an}的公差为d，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝16，,20a1＋\f(2020－1,2)d＝20，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝20，,d＝－2，)) 所以S10＝10×20＋eq \f(10×9×－2,2)＝200－90＝110. 解：∵ 解得 ∴Sn＝－2n＋n. n2－＝ 5.已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{an}的前n项和Sn；(2)求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的前n项和Tn. 解：(1)设{an}的公差为d，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3a1＋\f(3×2,2)d＝6，,8a1＋\f(8×7,2)d＝－4，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3a1＋3d＝6，,8a1＋28d＝－4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝－1.)) ∴Sn＝3n＋eq \f(nn－1,2)×(－1)＝－eq \f(1,2)n2＋eq \f(7,2)n. (2)由(1)，得eq \f(Sn,n)＝－eq \f(1,2)n＋eq \f(7,2)， ∴eq \f(Sn＋1,n＋1)－eq \f(Sn,n)＝－eq \f(1,2)(n＋1)＋eq \f(7,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)n＋\f(7,2)))＝－eq \f(1,2)， ∴数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是首项为eq \f(S1,1)＝3，公差为－eq \f(1,2)的等差数列， 故Tn＝3n＋eq \f(nn－1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq \f(1,4)n2＋eq \f(13,4)n. 《选择性必修第二册》 “复习巩固”1，3； “综合运用”6. $$