4.2.1等差数列的概念课件(2)-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.1 等差数列的概念 (2) 复习引入 3.由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的　　　　 ，且　　　　 　 . 等差中项 2A＝a＋b或 an＝a1＋(n－1)d=dn＋(a1－d)， 5.等差数列的图象： . 直线上均匀排开的一群孤立的点 例1：某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少. 经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元. 已知这台设备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的 5%，设备将报废. 请确定d的范围. 例题 分析：这台设备使用n年后的价值构成一个数列{an}.由题意可知，10年之内（含10年），这台设备的价值应不小于（220×5%=）11万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元.可以利用{an}的通项公式列不等式求解. 课本P16 解: 设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}. 由已知条件，得an＝an－1－d (n≥2). ∴数列{an}是一个公差为－d的等差数列，且 a1＝220－d . ∴ an＝a1＋(n－1)(－d)＝220－nd. 由题意，得a10 ≥ 220×5％=11，a11 < 220×5％=11， 1. 某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位. 你能用an表示第n排的座位数吗? 第10排有多少个座位? 练习 课本P17 n an O • 1 5 6 9 12 15 18 • 2 • • • • 3 4 6 3 课本P17 例2：已知等差数列{an}的首项a1=2, d = 8, 在{an}中每相邻两项之间都插入3个数, 使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (1)求数列{bn}的通项公式. (2) b29是不是数列{an}的项 ? 若是, 它是{an}的第几项 ? 若不是, 请说明理由. 例题 课本P16 例2：已知等差数列{an}的首项a1=2, d = 8, 在{an}中每相邻两项之间都插入3个数, 使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (2) b29是不是数列{an}的项 ? 若是, 它是{an}的第几项 ? 若不是, 请说明理由. 另解: 课本P16 已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1, 公差为d. (1) 将数列中的前m项去掉, 其余各项组成一个新的数列, 这个新数列是等差数列吗? 如果是, 它的首项和公差分别是多少? 课本P18 练习 (2) 依次取出数列中的所有奇数项, 组成一个新的数列, 这个新数列是等差数列吗? 如果是, 它的首项和公差分别是多少? 已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1, 公差为d. (3) 依次取出数列中所有序号为7的倍数的项, 组成一个新的数列, 它是等差数列吗? 你能根据得到的结论作出一个猜想吗? 课本P17 例3：已知数列{an} 是等差数列，p, q, s, t∈N*, 且p+q=s+t，求证: ap+aq= as +at . 例题 课本P17 思考：例3是等差数列的一条性质，图4.2-2是它的一种情形. 你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗? n an O ‧ ‧ ‧ ‧ s p q t as ap aq at S(s,as) P(p,ap) Q(q,aq) T(t,at) 图4.2-2 归纳反思 1.在等差数列{an}中， an = m，am = n，且n ≠ m，求am+n . 练习 课本P18 （2）(2010 年重庆)在等差数列{an}中，a1＋a9＝10， 则a5 的值为（ ） A．5 C．8 B．6 D．10 解析：∵ ∴ 1.(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝(　　) A．14　　　　　　　　　B．21 C．28 D．35 随堂检测 2. 已知数列{an}，{bn}都是等差数列且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则数列{an＋bn}的第37项为(　　) A．0 B．37 C．100 D．－37 3. 我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度．《周脾算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同．二十四个节气及晷长变化如图所示．相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，若测得冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为25.5尺，则冬至日影的长为(　　) A．11.5 B．12.5 C．13.5 D．14.5 解：设冬至的日影长为a1，公差为d， 则a1＋a4＋a7＝31.5,a3＋a6＋a9＝25.5, 两式相减得－6d＝6,解得d＝－1,∴a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝31.5，解得a1＝13.5，故选C. 4.已知 a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52， 求公差d. 5.某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？ 解：设从第一年起，第n年的利润为an万元， 则a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N*)， ∴每年的利润构成一个等差数列{an}， 从而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n. 若an<0，则该公司经销这一产品将亏损. ∴由an＝220－20n<0，得n>11， 即从第12年起，该公司经销此产品将亏损. 1. 应用等差数列解决生活中实际问题的方法. 2. 等差数列的每相邻两项之间都插入k(k∈N*)个合适的数，仍然可以构成一个新的等差数列. 3. 等差数列{an}，p, q, s, t∈N*，若p+q=s+t，则ap+aq= as+at . 课堂小结 课外作业 4.已知数列{an}, {bn}都是等差数列, 公差分别为d1, d2, 数列{cn}满足cn= an +2bn . (1) 数列{cn}是否是等差数列? 若是, 证明你的结论; 若不是, 请说明理由. (2) 若{an}, {bn}的公差都等于2, a1= b1=1, 求数列{cn}的通项公式. 课本P18 1.等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的 一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 ， 常用字母 表示. 注：等差数列的定义式是： . 2.等差数列的通项公式： ，其中 为首项， 为公差. 注：等差数列通项公式的一般形式是： . 4.当 时，等差数列 的第 项是关于 的 函数，其中一次项系数是 ，而且当 0时，它是递增数列，当 0时，它是递减数列. 2.（1）(2011·重庆理，11)在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________. 解析：a2＋a4＋a6＋a8＝2(a3＋a7) ＝2×37＝74. 解析：(1)∵a3＋a4＋a5＝12，∴3a4＝12，a4＝4. ∴a1＋a2＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋a4＝7a4＝28. 解：由a2＋a3＋a4＋a5＝34， 得2(a2＋a5)＝34，即a2＋a5＝17. 解或得 ∴d＝＝－3.＝＝3或d＝＝ 《选择性必修第二册》 “复习巩固”2（用性质做）； “练习”4； “综合运用”5； “拓广探索”12. $$