精品解析：浙江省宁波市镇海区蛟川书院2024-2025学年上学期期中八年级数学试题

蛟川书院2024学年第一学期期中测试 初二数学试卷 （满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 点到原点的距离为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 3. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 对于命题“如果，那么．”能说明它是假命题的反例是（　　） A. B. ， C. ， D. ， 5. 如图，与关于直线l对称，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，直角顶点落在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图放置的五块拼图中，①②③为正方形，④⑤为等腰直角三角形，若正方形③的面积为2，则正方形②的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 8. 若关于轴的对称点在第一象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，长方形地砖中有两个全等的正方形①和②，点E，F分别在上，且三点共线．点分别在上，，将两块完全相同的地砖如图2的方式拼接在一起，则阴影部分的面积为（ ） A. 62 B. 52 C. 97 D. 87 10. 如图，在中，于点，平分交于点，点在边上运动，作，交于点，交于点，连接，，若此时满足，．有以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题4分，共24分） 11. “减去大于”用不等式可表示为_____． 12. 写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题______． 13. 若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是_____． 14. 若点到轴和轴的距离相等，则_____． 15. 如图1，正方形被分割成五部分，其中①②③④为四个全等的四边形，⑤为正方形，且①②③④恰好可以拼成图2的正方形．若在正方形中，恰有，则_____． 16. 如图，在等腰中，于点，点和分别在线段和线段上，连结，则平分，且满足，若，则的面积为_____． 三、解答题（共66分） 17. 解下列不等式． （1）； （2）． 18. 解下列不等式组． （1）； （2）． 19. 如图，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形成为格点图形，图中为格点三角形，请按要求在给定网格中完成以下作图： （1）在图1中，画出的中线； （2）在图2中，找到格点，使得与全等（标出一个即可）； （3）在图3中，仅用无刻度的直尺作出的高（保留作图痕迹）． 20. 已知关于的方程组． （1）若方程组的解满足，求的取值范围． （2）若x，y是等腰三角形的两条边长，且等腰三角形的周长为9，求的值． 21. 如图，在中，于点的中线的延长线交于点，． （1）求证：是直角三角形． （2）若，求的值和的长度． 22. “蛟蛟”、“川川”作为我校的吉祥物，深受广大同学们的喜爱．校运会筹备过程中，体育组老师计划以“蛟蛟”、“川川”的形象定制徽章作为纪念品．已知定制1件“蛟蛟”徽章与2件“川川”徽章共需要70元，定制2件“蛟蛟”徽章与3件“川川”徽章共需要120元． （1）“蛟蛟”徽章和“川川”徽章的单价分别为多少元？ （2）体育组老师计划购买“蛟蛟”徽章和“川川”徽章共200件，总费用不超过5000元，那么最多能购买“蛟蛟”徽章多少件？ 23. 若点、点满足，则称点与点互为“系矩点”，如点与互为“系矩点”．如图，已知． （1）下列选项中，是的“系矩点”的有_____． ①；②；③；④． （2）若点为的“系矩点”，则_____，_____． （3）若点的纵坐标为，且在线段上存在点的“系矩点”；求的取值范围． 24. 等边中，点分别在边上，连结，以点为中心将逆时针旋转得到，连结，设． （1）当时，如图1，点在上．求证：； （2）当时，如图2，连接，请求出的度数； （3）当时，如图3，连接，当取得最小值时，_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蛟川书院2024学年第一学期期中测试 初二数学试卷 （满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称定义．根据题意利用轴对称的定义“根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”对答案逐一分析即可得到答案． 【详解】解：A，B，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 2. 点到原点的距离为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标两点的距离公式，根据勾股定理即可求得． 【详解】解：∵， ∴由勾股定理可知，， 即点到原点的距离为5． 故选：A． 3. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由得， 在数轴上表示如下： 4. 对于命题“如果，那么．”能说明它是假命题的反例是（　　） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反证法；根据反例满足条件，不满足结论可对各选项进行判断． 【详解】解：A. ，满足条件，满足条件和结论，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意； B.，，满足条件，不满足结论，可作为说明原命题是假命题的反例，符合题意； C.，，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意； D.，，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，与关于直线l对称，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称性质可得，从而，再利用三角形内角和，即可求出 ． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴． 6. 将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，直角顶点落在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质．先利用三角形的外角性质求得，再利用角的和差求得的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 7. 如图放置的五块拼图中，①②③为正方形，④⑤为等腰直角三角形，若正方形③的面积为2，则正方形②的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 【详解】解：⑤为等腰直角三角形，正方形③的面积为2 腰直角三角形⑤的直角边长为 腰直角三角形⑤的斜边长为 ①为正方形， ④为等腰直角三角形， 等腰直角三角形④的直角边长为2 等腰直角三角形④的斜边长为 正方形②的面积为 故选：C． 8. 若关于轴的对称点在第一象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了关于y轴对称点的性质以及一元一次不等式组的解法，得出关于a的不等式组是解题关键． 根据关于y轴对称点的性质横坐标互为相反数，纵坐标相等，进而求出点关于y轴的对称点，再利用第一象限点的性质，即可得出答案． 【详解】解：∵点关于y轴的对称点为，且此点在第一象限， ∴ 解得：． 故选：D． 9. 如图1，长方形地砖中有两个全等的正方形①和②，点E，F分别在上，且三点共线．点分别在上，，将两块完全相同的地砖如图2的方式拼接在一起，则阴影部分的面积为（ ） A. 62 B. 52 C. 97 D. 87 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过点M作，证明四边形是矩形，再证明，算出，勾股定理求出，得出，根据阴影部分的面积，求解即可． 【详解】解：如图，过点M作， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∴， 根据题意可得：， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 则阴影部分的面积， 故选：A． 【点睛】该题主要考查了矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，平行线的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 10. 如图，在中，于点，平分交于点，点在边上运动，作，交于点，交于点，连接，，若此时满足，．有以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据三角形内角和定理和三角形外角的性质得到，进而判断①；先假设，进而根据等腰三角形的性质与判定得出，即可判断②，根据等角的余角相等，以及三角形的外角的性质，即可判断③，延长交于点，连接，证明得出，进而证明，根据平行线间的距离相等得出，进而判断④，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴, 又∵， ∴，故①正确； 若， ∵ ∴， ∴ ∵， ∴，即， ∴， ∴ ∴，则， ∴仅当时，有，故②不正确； 设， ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ 又∵， ∴，故③正确 如图所示，延长交于点，连接， ∵平分，， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴ 即，故④正确 故正确的有①③④ 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中线的性质，平行线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. “减去大于”用不等式可表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 首先表示减去为，再表示“大于”，即为． 【详解】解：由题意可得：． 故答案为：． 12. 写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题______． 【答案】两个三角形面积相等，则这两个三角形全等 【解析】 【详解】本题考查命题的逆命题，解题的关键是明确原命题的条件和结论，再交换条件与结论得到逆命题． 确定原命题“两个全等三角形的面积相等”的条件和结论，交换原命题的条件和结论，得到逆命题． 【分析】解：原命题“两个全等三角形的面积相等”中，条件是“两个三角形全等”，结论是“这两个三角形的面积相等”． 根据逆命题的定义，交换原命题的条件和结论，得到的逆命题为：“两个三角形面积相等则这两个三角形全等”． 故答案为：两个三角形面积相等，则这两个三角形全等． 13. 若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集．首先分别求出两个不等式的解集可以得到：、，根据不等式组的解集是，由于不等式组的解集是同大取大，所以可得． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式的解集为，  ． 故答案为： ． 14. 若点到轴和轴的距离相等，则_____． 【答案】或0 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 或 解得或 故答案为：或0． 15. 如图1，正方形被分割成五部分，其中①②③④为四个全等的四边形，⑤为正方形，且①②③④恰好可以拼成图2的正方形．若在正方形中，恰有，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了全等图形的性质、正方形面积公式等知识，理解全等图形的性质是解题关键．设，则，易得，故有，结合全等图形的性质可得，易得，然后可求得，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵， 可设，， ∴， ∴， 由全等三角形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在等腰中，于点，点和分别在线段和线段上，连结，则平分，且满足，若，则的面积为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理设，可求出，如图所示，过点作，交与点，可得，可证，连接，交于点，运用勾股定理可得，再证，得到，延长交于点，则有，，即是等腰直角三角形，，由此可证，得到，设，则，求得，在等腰直角中，运用勾股定理可得，最后根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 设， ∴， ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， ∴，则，即， 如图所示，过点作，交与点， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 如图连接，交于点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 延长交于点， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， 在等腰直角中，， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题（共66分） 17. 解下列不等式． （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式： （1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【小问1详解】 解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； 【小问2详解】 解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 18. 解下列不等式组． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先分别解不等式组中两个不等式，然后求两个不等式解集的公共部分即可． 【小问1详解】 解：解不等式：， 得，， 解不等式：， 得， ∴原不等式组的解集是：． 【小问2详解】 解：解不等式：， 得，， 解不等式：， 得， ∴原不等式组的解集是：． 19. 如图，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形成为格点图形，图中为格点三角形，请按要求在给定网格中完成以下作图： （1）在图1中，画出的中线； （2）在图2中，找到格点，使得与全等（标出一个即可）； （3）在图3中，仅用无刻度的直尺作出的高（保留作图痕迹）． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求， （3） 如图，即为所求， 【解析】 【分析】此题考查了三角形的中线、高、全等三角形的判定等知识． （1）根据三角形中线的定义进行作图即可； （2）根据网格的特征构造全等三角形即可； （3）根据三角形的三条高相交于一点进行作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 已知关于的方程组． （1）若方程组的解满足，求的取值范围． （2）若x，y是等腰三角形的两条边长，且等腰三角形的周长为9，求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数、一元一次不等式组的求解以及等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握相关结论即可. （1）方程组，得：，进而得，即可求解； （2）解方程组得：，可知x，y不可能是等腰三角形的两腰；分类讨论若x是等腰三角形的腰，若是等腰三角形的腰，两种情况，利用三角形的三边关系加以验证即可． 【小问1详解】 解：方程组，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：解方程组得：， 可知x，y不可能是等腰三角形的两腰； 若x是等腰三角形的腰， 则，解得：； 此时等腰三角形的三边长为：，不能构成三角形； 若是等腰三角形的腰， 则，解得：； 此时等腰三角形的三边长为：，能构成三角形； 综上所述： 21. 如图，在中，于点的中线的延长线交于点，． （1）求证：是直角三角形． （2）若，求的值和的长度． 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴ ， ∵是的中线， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）， 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，利用三角形内角和定理即可证明结论； （2）根据直角三角形两锐角和为结合三角形外角的性质即可求出；再根据直角三角形度角所对的边是斜边的一半，分别求出，利用勾股定理求出，再利用勾股定理即可求出的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理即三角形外角的性质，熟练运用直角三角形的性质是解题的关键． 22. “蛟蛟”、“川川”作为我校的吉祥物，深受广大同学们的喜爱．校运会筹备过程中，体育组老师计划以“蛟蛟”、“川川”的形象定制徽章作为纪念品．已知定制1件“蛟蛟”徽章与2件“川川”徽章共需要70元，定制2件“蛟蛟”徽章与3件“川川”徽章共需要120元． （1）“蛟蛟”徽章和“川川”徽章的单价分别为多少元？ （2）体育组老师计划购买“蛟蛟”徽章和“川川”徽章共200件，总费用不超过5000元，那么最多能购买“蛟蛟”徽章多少件？ 【答案】（1）“蛟蛟”徽章和“川川”徽章的单价分别为30元，20元 （2）100件 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组、不等式解实际应用题，读懂题意，找准等量关系及不等关系列式求解是解决问题的关键． （1）设“蛟蛟”徽章单价元，“川川”徽章单价元，由题中等量关系列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设最多能购买“蛟蛟”徽章件，则能购买“川川”徽章件，结合（1）中求得的单价，列不等式求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设“蛟蛟”徽章单价元，“川川”徽章单价元， 由题意得，解得， 答：“蛟蛟”徽章和“川川”徽章的单价分别为30元，20元； 【小问2详解】 解：设最多能购买“蛟蛟”徽章件，则能购买“川川”徽章件， 由题意可得，解得， 最大值为， 答：最多能购买“蛟蛟”徽章件． 23. 若点、点满足，则称点与点互为“系矩点”，如点与互为“系矩点”．如图，已知． （1）下列选项中，是的“系矩点”的有_____． ①；②；③；④． （2）若点为的“系矩点”，则_____，_____． （3）若点的纵坐标为，且在线段上存在点的“系矩点”；求的取值范围． 【答案】（1）②③④ （2）或；； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，去绝对值，解一元一次方程，理解系矩点”的含义是解题的关键． （1）根据“系矩点”的定义，即可求解． （2）由题意可得，可得，再求解，即可得出的值． （3）由题意可得的最大值和最小值为：，，即可求得的取值范围． 【小问1详解】 解：∵， 根据题意可得的“系矩点”都有：，，，， 故答案为②③④． 【小问2详解】 解：∵点为的“系矩点”， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：或，． 【小问3详解】 解：∵点的纵坐标分别为，点的纵坐标为，且在线段上存在点的“系矩点”， ∴，， ∴的取值范围为：． 24. 等边中，点分别在边上，连结，以点为中心将逆时针旋转得到，连结，设． （1）当时，如图1，点在上．求证：； （2）当时，如图2，连接，请求出的度数； （3）当时，如图3，连接，当取得最小值时，_____． 【答案】（1） 证明：以点为中心将逆时针旋转得到， 由旋转性质可知，， ， 是等腰三角形， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ，且是的一个外角， ， ， ， 在和中， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形性质，结合三角形全等的判定定理得到，再由三角形全等的性质证明即可； （2）作交于、交于，如图所示，可证得，进而确定，同理得到，再由等腰三角形的判定与性质即可求得结论； （3）作于，可证得，从而，故点在过点垂直于的直线上运动，于是作点关于的对称点，交延长线于，当三点共线时，即连接交于时，取最小值，可证得，设，由所对的直角边是斜边的一半可知，于是，再由，根据勾股定理得到，，，进一步即可求得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作交于、交于，如图所示： 是等边三角形， ，， ， ，， 在中，，则是等边三角形， ， 以点为中心将逆时针旋转得到， 由旋转性质可知，， ， 是等腰三角形， ， 是等边三角形， ，， ，，， ， ， ， ，且是的一个外角， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，且是的一个外角， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， ， 是等腰三角形，即， ，， ； 【小问3详解】 解：作于，如图所示： ， 是等边三角形， ，， 在中，，由所对的直角边是斜边的一半可知， ，当时， ， ， ，，， ， 以点为中心将逆时针旋转得到， 由旋转性质可知，， ， 是等腰三角形， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ，且是的一个外角， ， ， ， 在和中， ， ， 点在过点垂直于的射线上运动， 是定点、点在射线上运动，求的最小值， 由动点最值问题-将军饮马问题的解法可知，作点关于的对称点，连接交延长线于，如图所示： 是垂直平分线段， ，则， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值为线段，即有最小值为线段，如图所示： （图中，线段交射线的交点即为取得最小值时动点的固定位置点） ，， ， 在中，，再由所对的直角边是斜边的一半可知， ， 作点关于的对称点，连接交延长线于， ， ， ， ，即是等腰三角形， ， ， ， 在中，，设，则由所对的直角边是斜边的一半可知， 由勾股定理可得， ， ， 在中，，则， ，设，则由所对的直角边是斜边的一半可知， 由勾股定理可得，即，则，解得，从而得到，， ， ， ． 【点睛】本题考查了几何综合，涉及旋转性质、等边三角形的判定与性质、外角性质、全等三角形判定和性质、平行线的性质、直角三角形性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、含的直角三角形性质、动点最值-将军饮马问题、点的对称、垂直平分线的性质、两点之间线段最短、解一元二次方程等知识，本题综合性强，难度很大，解决问题的关键是灵活掌握相关几何性质，准确构造辅助线，理解动点最值问题解法等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $