4.2.1 等差数列的概念课件(1)-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.1 等差数列的概念(1) 1.数列的定义： 按照确定的顺序排列的一列数叫做数列.数列中的每一个数都叫做数列的项. 2.数列的通项公式： 如果数列的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式 . 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 3.数列的递推公式： 复习引入 1.北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成, 最中间是圆形的天心石, 围绕天心石的是9圈扇环形的石板, 从内到外各圈的石板数依次为 9,18,27,36,45,54,63,72,81. ① 情境引入 3 2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上对应的意大利尺码分别是： 38，40，42，44，46，48. ② 3.测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度(单位：℃)依次为 25.0, 24.4, 23.8, 23.2, 22.6 ③ 22.6℃ 23.2℃ 24.4℃ 25.0℃ 23.8℃ 420m 320m 220m 120m 20m 4.某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年，如果个人贷款月利率为r，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金b( =a/12n)元，每月支付给银行的利息(单位:元)依次为 ar, ar-br, ar-2br, ar-3br, ... ④ 9,18,27,36,45,54,63,72,81； 38,40,42,44,46,48； 25.0,24.4,23.8,23.2,22.6； ④ar, ar-br, ar-2br, ar-3br, ... 思考1：在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律.你能通过运算发现数列①~④的取值规律吗？ 探究一:等差数列的概念 对于①，我们发现 18=9+9，27=18+9....81=72+9， 换一种写法，就是 18-9=9，27-18=9....81-72=9. 如果用{an}表示数列①， 那么有a2-a1=9，a3- a2 =9，...a9-a8=9. 这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数. 数列②~③也有这样的取值规律. 我们把具有这种取值规律的数列称为等差数列. 1. 等差数列的概念　 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示. 等差数列的定义式：an－an-1 = d (d是常数, n≥2且 n∈N*)或an+1－an = d (d是常数, n∈N*) 归纳总结 注：①判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断： an+1-an是不是同一个常数？ ②公差d是每一项(第2项起)与它的前一项的差，千万别把被 减数与减数弄颠倒了！！ ③公差可以是正数，负数，也可以为0. 判断下列数列是否是等差数列. 如果是，写出它的公差. 练习 课本P15 探究二:等差中项 思考2：（1） 一个等差数列最少需要几项？ （2）若a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？ 说明：（1）在等差数列中，除首末两项外，任何一项都是前后两项的等差中项． （2）若an，an＋1，an＋2满足2an＋1＝an＋an＋2，则数列{an}为等差数列. 这是因为2an＋1＝an＋an＋2等价于an＋1－an＝an＋2－an＋1， ∴ an＋1－an = an－an-1 =…= a2－a1(常数)． 显然满足等差数列的定义． 由三个数a, A, b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列. 这时，A叫做a与b的等差中项. 归纳总结 求下列各组数的等差中项: 练习 课本P15 思考3：设一个等差数列{an}的首项为，公差为，你能根据等差数列的定义推导出等差数列的通项公式吗？ 探究三:等差数列的通项公式　 方法1：由等差数列的定义可得 an+1－an = d， 所以 a2－a1 = d， a3－a2 = d， a4－a3 = d，‧ ‧ ‧ 于是 a2= a1＋d， a3= a2＋d = (a1＋d)＋d = a1＋2d ， a4= a3＋d = (a1＋2d)＋d = a1＋3d ， ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ an= a1＋(n－1)d，(n≥2) 当n=1时，a1= a1＋(1－1)d = a1 ，也就是说，上式当n=1时 也成立. 不完全归纳法 ∴an=a1+(n-1)d. ∴ a2-a1=d， a3-a2=d， a4-a3=d， … an-an-1=d (n ≥ 2). 累加以上n-1个式子, 得 an-a1=(n-1)d， 又∵当n=1时，上式也成立， ∴an=a1+(n-1)d. ∴ an=a1+(n-1)d. 方法2：由等差数列的定义可得 思考3：设一个等差数列{an}的首项为，公差为，你能根据等差数列的定义推导出等差数列的通项公式吗？ an+1－an = d， 累加法 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为 等差数列的通项公式的一般形式：an＝am＋(n－m)d. 等差数列的通项公式 a1,an,n,d 知三求一 归纳总结 对任意的 、 ，在等差数列中，有 两式相减，得 等差数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公差表示. 1.求下列等差数列的通项公式 （1）9，18，27，36，45，54，63，72... （2）38，40，42，44，46，48... （3）25，24，23，22，21. 解：（1）an=9+(n－1)×9=9n. （2）an=38+(n－1)×2=2n+36. （3）an=25+(n－1)×(-1)=－n+26. 练习 2.数列{an}中，a1＝5，an＋1＝an＋3，那么这个数列的通项公式是（ ） A.3n－1 B.3n＋2 C.3n－2 D.3n＋1 解析：因为an＋1－an＝3， 所以数列{an}是以5为首项，3为公差的等差数列， 则an＝5＋3(n－1)＝3n＋2，n∈N*. ①当d≠0时，等差数列{an}的第n项an 是一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)（x∈R） 当x＝n的函数值，即an＝f(n). 等差数列{an}的图象是点(n,an)组成的 集合，这些点均匀分布在直线 f(x)＝dx＋(a1－d)上. an＝a1＋(n－1)d=dn＋(a1－d)， 思考4：我们知道数列是自变量为n的函数，你认为等差数列与我们熟悉的哪一类函数有关？ 1 2 5 a1 x f(x) O 3 4 6 a1－d a2 a3 a4 a5 a6 f(x)＝dx＋(a1－d) 探究四:等差数列与一次函数的关系 ②任给一次函数f(x)＝kx＋b (k,b为常数)，则f(1)＝k＋b, f(2)＝2k＋b, …, f(n)＝nk＋b，构成一个等差数列 {nk＋b}，其首项为________，公差为____. (k＋b) k 1 2 a1 x f(x) O 3 4 5 6 a1－d a2 a3 a4 a5 a6 f(x)＝dx＋(a1－d) 1 2 a6 x f(x) O 3 4 5 6 a1－d a5 a4 a3 a2 a1 f(x)＝dx＋(a1－d) 思考5：可以从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？ 等差数列{an}的单调性与公差d有关. 当d>0时，等差数列{an}为递增数列； 当d<0时，等差数列{an}为递减数列； 当d＝0时，等差数列{an}为常数列. 例1：（1）已知等差数列{an}的通项公式为an =5－2n，求{an}公差和首项； （2）求等差数列8，5，2....的第20项 解: 例题 课本P14 反思归纳 在等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个变数，即a1，d，n，an.如果知道了其中任意三个数，就可以求出第四个数（知三求一）． 有时是先根据两个独立的条件解出两个量a1 和 d， 进而再写出an 的表达式 （a1，d称为基本量）. 1. 已知{an}是一个等差数列，请在下表中的空格处填入 适当的数. a1 a3 a5 a7 d －7 8 2 －6.5 0.5 15.5 3.75 15 －11 －24 练习 课本P15 2. 已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝ 12. 求a4. 课本P15 例2 ：－401是不是等差数列 －5,－9,－13,…的项？如果是，是第几项？ 分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看－401是否能使这个方程有正整数解. 解：由a1=－5，d=－9－(－5)=－4， 所以数列的通项公式为an=－5－4(n－1)=－4n－1. 令－4n－1=－401，解得n=100. 所以，－401是这个数列的项，是第100项. 课本P15 已知在等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 练习 随堂检测 解析：设an＝－24＋(n－1)d，n∈N*， 4.已知数列 的通项公式为 其中 为常数，那么这个数列是等差数列吗？ 分析：判定 是否为等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看 是不是一个与 无关的常数. 解：取数列 中的任意相邻两项 与 ，求差得 它是个与 无关的常数，所以 是等差数列. 反思归纳 3.等差数列的通项公式： ； 通项公式的一般形式： 1.等差数列的定义：即 4.等差数列通项形如一次函数. 课堂小结 2.等差中项的定义. 课外作业 5. 在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列. 课本P15练习第5题 解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d， 由已知，得解得 所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27， 令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45，45∈N*， 所以153是数列{an}的第45项． 1.在数列 中， ， ，则 的值是（ ） A.16 B.17 C.18 D.19 解析：由 知，数列{an}是等差数列， 解析：解法1：设这几个数组成的等差数列为{an}，由已知 a1＝－1，a5＝7， ∴7＝－1＋(5－1)d.解得d＝2. 所求数列为－1,1,3,5,7. 解法2：可利用等差数列的性质求解． ∵－1，a，b，c,7成等差数列，∴b是－1,7的等差中项，a是－1，b的等差中项，c是b,7的等差中项， 即b＝eq \f(－1＋7,2)＝3，a＝eq \f(－1＋b,2)＝1，c＝eq \f(b＋7,2)＝5. 2．在－1与7之间顺次插入三个数a、b、c，使这五个数成等差数列，则这个数列为 ． 3.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是（ ） A. B. C. D. 由解得<d≤3. 判断或证明一个数列是不是等差数列，根据定义，只要这个数列满足 （ 是常数）， 那么它就是等差数列. 5.已知数列{an}，满足a1＝2，an＋1＝eq \f(2an,an＋2). (1)数列{eq \f(1,an)}是否为等差数列？说明理由；(2)求an. 解：(1)数列{eq \f(1,an)}是等差数列，理由如下： ∵a1＝2，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)， ∴eq \f(1,an＋1)＝eq \f(an＋2,2an)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,an)，∴eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝eq \f(1,2)， 即{eq \f(1,an)}是首项为eq \f(1,a1)＝eq \f(1,2)，公差为d＝eq \f(1,2)的等差数列． (2)由(1)可知eq \f(1,an)＝eq \f(1,a1)＋(n－1)d＝eq \f(n,2)， ∴an＝eq \f(2,n). 《选择性必修第二册》 “练习”5； “复习巩固”2； “拓广探索”10. $$