4.1数列的概念课件（2）-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.1 数列的概念(2) 复习引入 例1 ：如果数列{an}的通项公式为an=n2+2n，那么120是不是这个数列的项? 如果是，是第几项? 例题 课本P5 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. (1) 写出此数列的第4项和第6项； (2) －49是否是该数列中的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列中的一项？如果是，应是哪一项？ 练习 例2：图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形. 在图中4个大三角形中, 着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项, 写出这个数列的一个通项公式. 例题 课本P6 根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数. 21 13 35 练习 课本P8 换个角度观察图可以发现，从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍. 像an=3an-1(n≥2)这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一 个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 这样，例2中的数列的前4项满足： a1=1, a2=3a1, a3=3a2, a4=3a3. 由此猜测这个数列满足公式 探究一：数列的递推公式： 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一 个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 数列的递推公式： 如果知道了一个数列的首项或前几项，以及递推公式，就能求出数列的每一项了. 当不能明显看出数列的项的取值规律时, 可以尝试通过运算来寻找规律. 如依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察. 归纳总结 例3：已知数列{an}的首项为a1=1, 递推公式为 写出这个数列的前5项. 例题 课本P5 1.根据下列条件, 写出数列{an}的前5项: 练习 课本P8 1.根据下列条件, 写出数列{an}的前5项: 课本P8 课本P8 我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即 显然S1=a1，而 ，于是我们有 探究二：数列的前n项和 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 思考：已知数列{an}的前n项和公式为Sn=n2+n，你能 求出{an}的通项公式吗? 数列{an}的第n项an与前n项和Sn的关系： 归纳总结 练习 课本P8 随堂检测 数列的周期性 不完全归纳法 1．递推公式及其用法； 2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系. 课堂小结 3．递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，解题时要仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，通过适当的策略将问题进行化归，是迅速求出通项公式的关键． 课外作业 1.数列的概念：（1）按照 排列的一 列数称为数列.数列中的每一个数都叫做数列 的 . 数列的一般形式可以写成： ， 简记为 ，其中 是数列的第 项. 数列 是从正整数集 (或它的有限子集{1, 2, ··· , n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项 ，记为 . 2.数列的通项公式：如果数列 的第n项 与它的序号n之间的对应关系可以用 来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 3．数列的分类： （1）根据数列项数的多少分 数列和 数列； （2）根据数列中项的大小变化情况分为 数列， 数列， 数列和 数列. ①当n＝1时，a1＝S1. ②当n≥2时，计算an＝Sn－Sn－1. ③如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列 {an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1； 如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式要分段表示为an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2)). 说明：已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤： 解析：因为an＝Sn－Sn－1＝2n－10(n≥2，n∈N*)， a1＝S1＝－8符合上式， 所以an＝2n－10(n∈N*)． 由5<2k－10<8，得7.5<k<9， 又k∈N*，所以k＝8. 答案：B 1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5<ak<8，则k为(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 2.已知数列{an}的首项a1＝1，an＝2an－1＋1，(n≥2)，那么a5＝__________. 解析：这是一个递推数列，由递推关系式an＝2an－1＋1和a1＝1可得 a2＝2a1＋1＝3， a3＝2a2＋1＝7， a4＝2a3＋1＝15， a5＝2a4＋1＝31. 3.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＝eq \f(an－1,an－2)(n≥3)，则a2 012＝________. 解析：将a1＝1，a2＝2代入an＝eq \f(an－1,an－2)得a3＝eq \f(a2,a1)＝2，同理可得a4＝1，a5＝eq \f(1,2)，a6＝eq \f(1,2)，a7＝1，a8＝2， 故数列{an}是周期为6的周期数列， 故a2 012＝a335×6＋2＝a2＝2. 答案：2 4.已知数列{an}满足a1＝1,以后的各项由公式 给出,试写出这个数列的前5项， 并归纳出该数列的一个通项公式． 解： a1＝1＝，a2＝，a3＝＝，a4＝，a5＝＝. 故数列的一个通项公式为an＝(n∈N*). 故该数列的前5项为 5．已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求{an}的通项公式． (1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n－2. 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2×12－3×1＝－1； 当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)＝2n2－7n＋5， 则an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－(2n2－7n＋5) ＝2n2－3n－2n2＋7n－5＝4n－5. 此时若n＝1，an＝4n－5＝4×1－5＝－1＝a1， 故an＝4n－5. (2)当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1； 当n≥2时，Sn－1＝3n－1－2， 则an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝3n－3n－1 ＝3·3n－1－3n－1＝2·3n－1. 此时若n＝1，an＝2·3n－1＝2·31－1＝2≠a1， 故an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1，　　　n＝1，,2·3n－1，n≥2.)) 《选择性必修第二册》 “复习巩固”2（3）（4）； “综合运用”4，5，6. $$