4.1数列的概念课件（1）-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.1 数列的概念（1） 王芳从1岁到17岁每年的身高依次排成一列数： 75，87，96，103，110，116，120，128，138， 145，153，158，160，162，163，165，168. 它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？ 记王芳第i岁时的身高为hi h1=75 ，h2＝87 ，h3＝96 ，…，h17＝168． 情境引入 不能交换位置， 具有确定顺序. 2. 在两河流域发掘的一块泥版上就有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数： 5，10，20，40，80，96，112，128， 144，160，176，192，208，224，240. 它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？ 记第i天月亮可见部分的数为si s1=5 ，s2＝10 ，s3＝20 ，…，s15＝240． 不能交换位置， 具有确定顺序. 3. 的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数： 你能仿照上面的叙述，说明这也是具有确定顺序的一列数吗？ 不能交换位置， 具有确定顺序. 思考1：上述例子的共同特征是什么？ 75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168. ① 5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240. ② ③ 探究一：数列的概念 即都是按照确定的顺序排列的一列数. 都是一列数； 都具有确定的顺序. 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示······第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示，其中第1项也叫做首项. 数列的一般形式是 a1，a2，a3，…，an，…. (n∈N*) 简记作{an} . 思考2：{an} 与an的意思一样吗？ 归纳总结 首项 第 2项 第n项 {an}表示一个数列：a1，a2，a3，…，an，…. ； an表示数列{an}中的第n项. 思考3：数列中的各项ai与各项序号i （i＝1，2，3，···，n，···）之间的对应关系是什么关系？ 正整数集 实数集 （或它的有限子集 ） 序号 1 2 3 4 … n…   所以数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1, 2, ··· , n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an ，记为an = f(n). 也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值f(1)， f(2) , ··· , f(n), ··· 就是数列{an}. 另一方面，对于函数y=f(x)，如果f(n) (n∈N*)有意义，那么f(1)， f(2) , ··· , f(n), ···构成了一个数列{f(n)}. 以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化.的，而数列是自变量为离散的数的函数. 表4.1-1 图4.1-1 158，160，162，163，165，168. 数列 75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153， 数列可以用表格和图象来表示． 思考4：从表4.1-1和图4.1-1中，你能发现数列随序号的变化呈现出什么特点吗？ 数列的图象是一系列孤立的点，这些点都在y轴的右侧. 与函数类似，我们可以定义数列的单调性： 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列； 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列. 特别地，各项都相等的数列叫做常数列. 项数有限 递增 项数无限 递减 常数 项数无限 摆动 项数无限 探究二：数列的分类 数列的分类： 1. 以项数来分类： (1) 有穷数列： (2) 无穷数列： 2. 以各项的大小关系来分类： (1) 递增数列： (2) 递减数列： (3) 常 数 列： (4) 摆动数列： 各项都相等的数列； 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 项数有限的数列； 项数无限的数列. 对任意n∈N*，总有an+1>an (或an+1-an>0). 对任意n∈N*，总有an+1<an (或an+1-an<0). 从第2项起，每一项都大于它的前一项的 从第2项起，每一项都小于它的前一项的 归纳总结 数列. 数列. 1．下列说法中，正确的是(　　) A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7} B．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列 C．数列的项可以相等 D．数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列 练习 探究三：数列的通项公式 an 函数值 自变量 项 序号 y= f（x） =f（n） 通项公式就是数列的函数解析式. 如果数列{an}的第n项an与序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，简称通项. （1） 数列 1，2，3，4，5，6，… （2）数列 2，4，6，8，10，12，… （3）数列 1，3，5，7，9，11，… （4）数列1，－1，1，－1，… （5）数列－1，1，－1，1，… 一些数列的通项公式不是唯一的 不是每一个数列都能写出它的通项公式，如：1，24，8，3，19 例1：根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象. 例题 课本P4 1. 写出下列数列的前10项，并作出它们的图象: (1) 所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列; (2) 当自变量x依次取1, 2, 3, ‧‧‧时，函数f(x) =2x +1的值构成的数列; 练习 数列的通项公式不一定是一个式子,也可以是分段函数. 课本P5 2. 根据数列{an }的通项公式填表: n 1 2 ‧‧‧ 5 ‧‧‧ ‧‧‧ ‧‧‧ n an ‧‧‧ ‧‧‧ 153 ‧‧‧ 273 ‧‧‧ 3(3+4n) 21 33 69 12 22 课本P5 例2：根据下列数列的前4 项，写出数列的一个通项公式: 例题 课本P5 例2：根据下列数列的前4 项，写出数列的一个通项公式: 课本P5 常见数列通项公式求法： (1)常见数列：正整数列，奇数列，偶数列，平方数列等直接写通项公式； (2) 分数列：观察分子、分母的特点后写通项公式； (3) 指数数列：观察底数、指数的特点后写通项公式； (4) 各项符号一正一负： 归纳总结 (5)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列 和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． 1. 根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式: 练习 课本P5 2. 除数函数(divisor function) y=d(n)(n∈N*)的函数值等于n的正因数的个数, 例如, d(1)=1, d(4)=3. 写出数列d(1), d(2) , ‧‧‧, d(n), ‧‧‧的前10项. 课本P5 随堂检测 . 1.数列的定义：按照确定顺序排列的一列数； 2.数列的一般形式: 简记为 3.数列与函数：数列实质是特殊的函数（离散函数）； 4.数列的分类: 有穷数列、无穷数列;递增数列、递减 数列、常数列、摆动数列； 5.数列的表示方法： （1）解析式法（通项公式法）， （2）列表法， （3）图象法(一群孤立的点). 课堂小结 课外作业 解析： . 当 时， ；当 时， ； 当 时， ； 当 时， ，解得 ； 当 时， ，解得 . 解析：由an＋1－an－3＝0，得an＋1 －an＝3＞0，即 an＋1 ＞an， ∴数列{an}是递增数列． 答案：A 1．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 2.数列 …，的一个通项公式是（ ） A． 　 B． C． D． 解析：排除法：∵ ，就可排除A、B、C． 答案：D 解：(1)通过观察发现，每一项的分子比分母少 1，而 故分母可以写成 所以它的一个通项公式为 （2）该数列各项符号是负正交替变化的，需设计一个符号因子 ，分子均为1不变，分母为 故分母可以写成 所以它的一个通项公式为 （3） 以，它的一个通项公式为 解：(1)该数列的第10项a10＝eq \f(2×10,10＋2)＝eq \f(5,3). (2)令an＝eq \f(14,9)，即eq \f(2n,n＋2)＝eq \f(14,9)，解得n＝7. ∴eq \f(14,9)是数列中的项，且是数列的第7项． 4.已知数列{an}的通项公式是an＝eq \f(2n,n＋2)， (1)求该数列的第10项．(2)eq \f(14,9)是不是该数列的项？ (3)判断此数列的增减性． (3)方法一：比较an＋1与an的大小． ∵an＋1－an＝eq \f(2n＋1,n＋1＋2)－eq \f(2n,n＋2)＝eq \f(2n＋2,n＋3)－eq \f(2n,n＋2)＝eq \f(4,n＋2n＋3)>0，∴an＋1>an.∴此数列为递增数列． 方法二：从函数角度判断．an＝eq \f(2n,n＋2)＝eq \f(2,1＋\f(2,n))，∵f(n)＝1＋eq \f(2,n)为关于n的减函数且其值恒正， ∴an＝eq \f(2,fn)为关于n的增函数，故数列{an}为递增数列． 5.已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，求该数列中的数值最大的项． 解：an＝－2(n－eq \f(21,4))2＋eq \f(441,8)，∵n∈N*，∴当n＝5或6时an最大，∵a5＝55，a6＝54，∴数值最大的项为第5项，最大值为55. 《选择性必修第二册》 “复习巩固”1，2（1）（2），3； “拓广探索”7. $$