专题04 平面向量基本定理及坐标表示重难点题型专训（5大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（北师大版2019必修第二册）

专题04 平面向量基本定理及坐标表示重难点题型专训（5大题型+20道拓展培优） 题型一 基底的概念及辨析 题型二 用基底表示向量 题型三 平面向量基本定理的应用 题型四 利用平面向量基本定理求参数 题型五 平面向量及运算的坐标表示 知识点一 平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理: 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数入1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 (2)平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,，i作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数，y，使a=xi+v，把有序数对(x，y叫做向量a的坐标，记作a=(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标 设=xi+yj，则向量的坐标(x，y)就是A点的坐标，即若=(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立.(0是坐标原点)[探究] 1.向量的坐标与点的坐标有何不同? 提示:向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点0为起点的向量的坐标与点A的坐标相同, 【经典例题一 基底的概念及辨析】 【例1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．与 B．与， C．与 D．与 1．（22-23高一下·山西·阶段练习）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·全国·课前预习）基底 平面内 的两个向量与组成该平面上向量的一组 ，记为，此时如果，则称为在基底下的分解式. 3．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，设，是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与，都不共线的向量．将向量分解成图中所给的两个方向上的向量的分解方法是否唯一？为什么？    【经典例题二 用基底表示向量】 【例2】（湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷）在中，设，，若是线段中点，，则（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·江苏南通·期中）在中，，，，.若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·上海闵行·期中）如图，已知点，分别在的边，上，且，，直线交边的延长线于点，记，则 . 3．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取作为一组基，对于平面内的任意一个向量，可以用表示成什么？    【经典例题三 平面向量基本定理的应用】 【例3】（2022·山东滨州·二模）在中，为的重心，为上一点，且满足，则（     ） A． B． C． D． 1．（22-23高一下·山东·阶段练习）在中，，P是直线BN上的一点，若，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）如图所示，四边形内接于圆，则四边形的面积为 .    3．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）设，是不平行的向量，且，． (1)若向量与共线，求实数的值； (2)若，用，的线性组合表示． 【经典例题四 利用平面向量基本定理求参数】 【例4】（23-24高二上·河北唐山·开学考试）已知在平行四边形中，点，分别在边，上，连接．交于点，且满足，，，则（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，为中点，，，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·贵州遵义·开学考试）已知为所在平面内一点，且，连接，点在线段上且.若，则 . 3．（23-24高一下·陕西渭南·期中）如图所示，中，点为的中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，，相交于点，设，. (1)用，表示，； (2)若，，求，的值. 【经典例题五 平面向量及运算的坐标表示】 【例5】（山东省菏泽市2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题（B））已知向量，.若与是共线向量，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·山东德州·期中）已知向量，，若与平行，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·全国·课前预习）已知数轴上点的坐标依次为，，则对应的坐标为 ； . 3．（24-25高二上·全国·课堂例题）如果，，三点在同一条直线上，试确定常数的值． 1．（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高三上·广东茂名·阶段练习）如图，为内一点，为的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 3．（24-25高三上·湖北·阶段练习）在中，为的重心，设，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·云南昭通·期中）如图，在正方形中，为边中点，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·广东·阶段练习）在中，为边上靠近点的三等分点，为线段（含端点）上一动点，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）已知、是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，能作为基底的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 7．（24-25高一下·全国·随堂练习）（多选）下列选项中，正确的是（    ） A．基中的向量可以有零向量 B．一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基 C．一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基 D．平面内的基一旦确定，该平面内的向量关于基的线性分解形式也是唯一确定的 8．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）下列命题正确的是（    ） A．若存在实数x，y，使，则与共面 B．若与共面，则存在实数x，y，使 C．若存在实数x，y，使，则M，P，A，B共面 D．若M，P，A，B共面，则存在实数x，y，使 9．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）在中，在边上，，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·宁夏固原·开学考试）下列命题正确的是（    ） A．若向量共线，则必在同一条直线上 B．若为平面内任意三点，则 C．若点为的重心，则 D．已知向量，若，则 11．（23-24高二下·全国·课前预习）平面向量基本定理 如果平面内两个向量与 ，则对该平面内任意一个向量，存在 的实数对，使得 . 12．（24-25高二上·甘肃甘南·期中）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点、，若，，则 .    13．（24-25高三上·天津·阶段练习）在中，点满足，若，，用表示向量，= ．    14．（24-25高二上·山东济宁·开学考试）在中，点满足，若，则 ． 15．（23-24高三上·安徽淮南·阶段练习）如图中，，，，若，则 . 16．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，设，是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与，都不共线的向量.请你将向量分解成图中所给的两个方向上的向量.    17．（24-25高一下·全国·课前预习）已知是三边上的点，且，，，若，，试用，将，，表示出来，并写出向量，，在基底下的坐标． 18．（2024高一·全国·专题练习）如图，在△ΟAB中，，，F是OA中点，线段OE与BF交于点G，试用基底表示． 19．（23-24高一下·甘肃定西·阶段练习）在中，是上的点，且为的中点，与交于点. (1)用向量和表示向量； (2)求证：. 20．（23-24高一下·甘肃白银·阶段练习）如图，在平行四边形中，与相交于点．是线段的中点，的延长线与交于点． (1)用，方表示； (2)若，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 平面向量基本定理及坐标表示重难点题型专训（5大题型+20道拓展培优） 题型一 基底的概念及辨析 题型二 用基底表示向量 题型三 平面向量基本定理的应用 题型四 利用平面向量基本定理求参数 题型五 平面向量及运算的坐标表示 知识点一 平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理: 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数入1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 (2)平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,，i作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数，y，使a=xi+v，把有序数对(x，y叫做向量a的坐标，记作a=(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标 设=xi+yj，则向量的坐标(x，y)就是A点的坐标，即若=(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立.(0是坐标原点)[探究] 1.向量的坐标与点的坐标有何不同? 提示:向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点0为起点的向量的坐标与点A的坐标相同, 【经典例题一 基底的概念及辨析】 【例1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．与 B．与， C．与 D．与 【答案】C 【分析】判断向量是否共线，即可判断向量是否作为基底． 【详解】、是平面内所有向量的一组基底， 与，不共线，可以作为基底， 与，不共线，可以作为基底， ，故与共线，不可以作为基底， 与，不共线，可以作为基底， 故选：C． 1．（22-23高一下·山西·阶段练习）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量基底的定义，结合平面向量共线定理逐一判断即可. 【详解】根据平面基底的定义知，向量为不共线非零向量，即不存在实数，使得， 对于A中，向量和，不存在实数，使得，可以作为一个基底； 对于B中，向量，假设存在实数，使得， 可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底； 对于C中，向量和，假设存在实数，使得， 可得解得，所以和不可以作为基底； 对于D中，向量和，假设存在实数，使得， 可得此时方程组无解，所以和可以作为基底. 故选：C 2．（23-24高一下·全国·课前预习）基底 平面内 的两个向量与组成该平面上向量的一组 ，记为，此时如果，则称为在基底下的分解式. 【答案】 不共线 基底 【分析】根据平面向量基底的概念填空. 【详解】平面内不共线的两个向量与组成该平面上向量的一组基底. 故答案为：不共线，基底 3．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，设，是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与，都不共线的向量．将向量分解成图中所给的两个方向上的向量的分解方法是否唯一？为什么？    【答案】分解方法唯一，理由见解析 【详解】如果还可以表示成的形式，那么， 可得，由此式可推出，全为0， 假设，不全为0，不妨假设，则．由此可得，共线，这与，不共线矛盾，即，，因此，分解方法是唯一的. 【经典例题二 用基底表示向量】 【例2】（湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷）在中，设，，若是线段中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量线性运算直接转化求解即可. 【详解】 . 故选：D. 1．（24-25高三上·江苏南通·期中）在中，，，，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为基底表示向量，因为，则，建立与的等量关系，求解即可. 【详解】因为，，所以， 又，所以， 则，解得：，. 故选：C 2．（24-25高三上·上海闵行·期中）如图，已知点，分别在的边，上，且，，直线交边的延长线于点，记，则 . 【答案】 【分析】连接，由2次三点共线可得，分别用和表示和，进而可得的值. 【详解】连接，由题意可知，，三点共线，则， 又因为，，三点共线，则， 所以，即，即， 因为， 又因为， 所以. 故答案为：. 3．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取作为一组基，对于平面内的任意一个向量，可以用表示成什么？    【答案】 【详解】由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得． 【经典例题三 平面向量基本定理的应用】 【例3】（2022·山东滨州·二模）在中，为的重心，为上一点，且满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形重心的性质，结合向量的加法和减法即可判断结论． 【详解】由题意，画出几何图形如下图所示： 根据向量加法运算可得 , 因为G为的重心，所以. 又M满足，即. 所以 . 故选：D. 1．（22-23高一下·山东·阶段练习）在中，，P是直线BN上的一点，若，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论列式计算即得. 【详解】由，得，则， 而三点共线，则， 所以. 故选：B 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）如图所示，四边形内接于圆，则四边形的面积为 .    【答案】 【分析】在延长线上取点，使，取AB中点，由已知可得MN过圆心，求得，进而可求得梯形的高与上底，从而可求面积. 【详解】在延长线上取点，使，取AB中点， 又因为，所以， 由，可得，所以直线MN过圆心， 在中，，，所以，， 所以梯形高为，， 所以梯形面积为．    故答案为：. 【点睛】方法点睛：通过向量的线性运算与点共线的判断方法，进而求得梯形的高与上底，从而求得面积，向量的线性运算是关键.. 3．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）设，是不平行的向量，且，． (1)若向量与共线，求实数的值； (2)若，用，的线性组合表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量共线的定理计算可得； （2）由向量的线性运算和共线定理计算可得； 【详解】（1）因为向量与共线，所以设， 即， 所以， （2）设， 又因为， 由向量基本定理，得，解得 所以． 【经典例题四 利用平面向量基本定理求参数】 【例4】（23-24高二上·河北唐山·开学考试）已知在平行四边形中，点，分别在边，上，连接．交于点，且满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为三点共线，故可考虑将用表示，再结合三点共线满足的性质计算即可. 【详解】因为，所以， 因为，，故，，所以. 因为三点共线，所以，得. 故选：B. 1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，为中点，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】选择为平面向量的一组基底，表示出，再根据表示的唯一性，可求的值. 【详解】选择为平面向量的一组基底. 因为为中点，所以； 又. 由. 故选：C 2．（24-25高二上·贵州遵义·开学考试）已知为所在平面内一点，且，连接，点在线段上且.若，则 . 【答案】/0.5 【分析】根据平面向量的线性运算可得. 【详解】 如图，由题意可知， 由可得，又，所以， 故， 又，故，， ， 故答案为： 3．（23-24高一下·陕西渭南·期中）如图所示，中，点为的中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，，相交于点，设，. (1)用，表示，； (2)若，，求，的值. 【答案】(1)； (2)， 【分析】（1）由向量的线性运算及平面向量的基本定理，即可求解；（2）直接利用向量的线性运算和相等向量的充要条件，求出和即可. 【详解】（1）因为在中，点为的中点， 所以； 所以， 则 （2）因为， 又， 所以， 即，解得： 【经典例题五 平面向量及运算的坐标表示】 【例5】（山东省菏泽市2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题（B））已知向量，.若与是共线向量，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平面向量共线坐标表示可得答案. 【详解】因与共线，且，. 则. 故选：C 1．（24-25高三上·山东德州·期中）已知向量，，若与平行，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的坐标表示以及平行关系，列方程即可得. 【详解】由，可得， 若若与平行可知， 解得. 故选：A 2．（23-24高一下·全国·课前预习）已知数轴上点的坐标依次为，，则对应的坐标为 ； . 【答案】 7 【分析】根据直线上向量的坐标定义可求对应的坐标，从而可求. 【详解】由题设可得，， 故答案为：，. 3．（24-25高二上·全国·课堂例题）如果，，三点在同一条直线上，试确定常数的值． 【答案】或． 【分析】三点在同一条直线上，所以，然后由向量共线的坐标表示求解即可. 【详解】因为，，，所以，， 由于点在同一条直线上，所以， 所以， 即， 解得，． 的值是或． 1．（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由不共线的两个非零向量才可以作为基底，结合共线定理对各项逐一判断. 【详解】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底； 对于B，设，则，解得，所以与共线，不能作为基底； 对于C，设，则，即：，此时无解，所以与不共线，可以作为基底； 对于D，设，则，即：，解得，所以与共线，不能作为基底； 故选：C. 2．（24-25高三上·广东茂名·阶段练习）如图，为内一点，为的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形，由向量的加法法则求解即可； 【详解】. 故选：B. 3．（24-25高三上·湖北·阶段练习）在中，为的重心，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据重心得出，进而得出，再结合已知条件转化为用表示即可. 【详解】设分别是的中点， 由于是三角形的重心，所以， 则. 因为，所以,, 所以. 故选：A. 4．（24-25高二上·云南昭通·期中）如图，在正方形中，为边中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算可得，结合题意即可得. 【详解】由题可知，则， 可得，，所以. 故选：B. 5．（24-25高三上·广东·阶段练习）在中，为边上靠近点的三等分点，为线段（含端点）上一动点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形，运用平面向量的基本定理将用和线性表示，找到的数量关系即得. 【详解】    如图，当不重合时， ，即， 当重合时，此时，,,则必有成立， 综上，都有成立，即只有B始终成立． 故选：B． 6．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）已知、是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，能作为基底的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】ACD 【分析】根据定义由待定系数法判断每组向量是否共线，判断. 【详解】因为，则和共线，不满足条件； 设，则，无解，故和不共线，能作为基底； 同理可知和不共线，和也不共线，CD选项均能作为基底． 故选：ACD． 7．（24-25高一下·全国·随堂练习）（多选）下列选项中，正确的是（    ） A．基中的向量可以有零向量 B．一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基 C．一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基 D．平面内的基一旦确定，该平面内的向量关于基的线性分解形式也是唯一确定的 【答案】CD 【分析】理解平面内一组不共线的向量可以作为一个基底，对平面内任意向量进行线性表示即可依次判断各选项． 【详解】A．基中的向量是非零向量，错误，不符合题意； B．一个平面内只要有一组不共线的向量就可作为表示该平面内所有向量的基，有无数组，选项错误，不符合题意； C．一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基，正确，符合题意； D．平面内的基一旦确定，该平面内的向量关于基的线性分解形式也是唯一确定的，正确，符合题意； 故选：CD． 8．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）下列命题正确的是（    ） A．若存在实数x，y，使，则与共面 B．若与共面，则存在实数x，y，使 C．若存在实数x，y，使，则M，P，A，B共面 D．若M，P，A，B共面，则存在实数x，y，使 【答案】AC 【分析】由平面向量基本定理逐项判断即可. 【详解】选项A，若向量共线，易知与共线，显然共面；若向量不共线， 根据平面向量基本定理可知，若存在实数x，y，使，则与共面，所以A正确； 选项B，若向量与共面，如果共线，不一定有， 只有与不共线时，可以作为一组基底， 存在唯一确定的有序实数对，使任意向量，所以B错误； 选项C，根据平面向量基本定理可知，共面， 由于它们有公共点，所以M，P，A，B共面，所以C正确； 选项D，若共线，不与共线， 则不存在实数x，y，使，所以D错误. 故选：AC 9．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）在中，在边上，，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据向量的线性运算判断各选项的准确性. 【详解】如图： 对A：，故A错误； 对B：，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，故D正确. 故选：CD 10．（24-25高二上·宁夏固原·开学考试）下列命题正确的是（    ） A．若向量共线，则必在同一条直线上 B．若为平面内任意三点，则 C．若点为的重心，则 D．已知向量，若，则 【答案】BC 【分析】由向量共线的定义判断A，由向量运算性质判断B，由向量运算性质结合三角形重心的性质可判断C，由向量共线的坐标运算判断D. 【详解】对于A，若向量，共线，只需两个向量方向相同或相反即可， 则A，B，C，D不必在同一直线上，故A错误； 对于B，由向量线性运算性质知，故B正确； 对于C，若点为的重心，设中点为，则， 由重心性质知，所以，故C正确； 对于D，因为向量，，所以， 化简得，故D错误. 故选：BC. 11．（23-24高二下·全国·课前预习）平面向量基本定理 如果平面内两个向量与 ，则对该平面内任意一个向量，存在 的实数对，使得 . 【答案】 不共线 唯一的 【分析】略 【详解】略 故答案为：不共线，唯一的，. 12．（24-25高二上·甘肃甘南·期中）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点、，若，，则 .    【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用中点向量公式，结合共线向量定理的推论列式计算即得. 【详解】在中，点是的中点，则， 又，，则， 而点共线，因此，所以. 故答案为： 13．（24-25高三上·天津·阶段练习）在中，点满足，若，，用表示向量，= ．    【答案】 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】，， 故答案为： 14．（24-25高二上·山东济宁·开学考试）在中，点满足，若，则 ． 【答案】 【分析】先由题中所给条件求出，进而得，再结合即可求解，进而得. 【详解】由题得， 所以，所以， 又，所以， 所以. 故答案为：. 15．（23-24高三上·安徽淮南·阶段练习）如图中，，，，若，则 . 【答案】 【分析】先设得到，再设得到，再结合平面向量基本定理求得，即可求解. 【详解】设， 则， 设， 则， 所以，解得，则，结合题设有 所以， 故答案为： 16．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，设，是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与，都不共线的向量.请你将向量分解成图中所给的两个方向上的向量.    【答案】答案见解析 【分析】略 【详解】，，，，.    17．（24-25高一下·全国·课前预习）已知是三边上的点，且，，，若，，试用，将，，表示出来，并写出向量，，在基底下的坐标． 【答案】，，，坐标分别为，， 【分析】利用平面向量线性运算的几何意义计算并结合平面向量基本定理即可解决. 【详解】 如图所示，易知， ， ． 故向量，，在基下的坐标分别为，，． 18．（2024高一·全国·专题练习）如图，在△ΟAB中，，，F是OA中点，线段OE与BF交于点G，试用基底表示． 【答案】 【分析】根据平面向量基本定理和共线定理，建立方程组解出参数，即可得出结论． 【详解】由点O，G，E共线，设， 易得． 由点共线，设， 所以， 即．① 所以， 所以，即， 解得， 所以． 19．（23-24高一下·甘肃定西·阶段练习）在中，是上的点，且为的中点，与交于点. (1)用向量和表示向量； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）选取向量和作为基底，分解向量即可得解； （2）设，分解向量得，，由此可得方程组解出，进一步即可求解. 【详解】（1） 因为， 所以， 所以，即. （2）设，所以. 由三点共线，可设，所以. 另一方面，设， 所以. 因为不共线，所以且，解得. 所以，即. 20．（23-24高一下·甘肃白银·阶段练习）如图，在平行四边形中，与相交于点．是线段的中点，的延长线与交于点． (1)用，方表示； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量的线性运算即可得解； （2）由三角形相似得，再根据平面向量的线性运算和平面向量基本定理即可得解. 【详解】（1）由题意得，， 所以； （2）如图，因为， 所以， 所以与相似， 所以, 所以， 所以， 因为， 所以， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$