精品解析：新疆维吾尔自治区省直辖县级行政单位师市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

师市2025届九年级第一次质量监测 数学试题卷 考生须知： 1．本试题卷共4页． 2．满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 有一种数学美叫对称美，从建筑物外形到日常生活用品，从动植物外貌到生物有机体的构造，从化合物的组成到分子晶体的排布……其中皆有对称．下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的函数是二次函数，则m的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知一元二次方程的一个根为m，则的值（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 4. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则为（ ） A. B. C. 9 D. 1 5. 如图，在中，，将绕点A顺时针方向旋转50°，得到，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 今年是中华人民共和国成立75周年，也是新疆生产建设兵团成立70周年，兵团各地积极开展“讲好红色故事弘扬兵团精神”主题教育学习活动，作为传承红色基因、弘扬兵团精神的重要窗口，新疆某博物馆凝聚着兵团人共同的历史记忆．据了解，今年8月份该博物馆接待参观人数10万人，10月份接待参观人数增加到12.1万人，设这两个月参观人数的月平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表，其中，则以下结论正确的个数是（ ） x … 0 2 m … … n n … ①，②，③，④不等式的解集为，⑤对于任意实数t，． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为_______． 11. 已知抛物线的图象开口向下，则m的取值范围是________． 12. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值：________． 13. 学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行28场比赛，则参加选拔赛的人数为________人． 14. 古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为___米． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形（1），三角形（2），三角形（3），三角形（4），…，则三角形（2024）的直角顶点的坐标是______． 三、解答题（本题共8小题，共90分） 16. 解方程 （1）； （2）； （3）． 17. 二次函数的图象经过点A． （1）求二次函数的对称轴； （2）当时． ①求此时二次函数的表达式； ②把化为的形式，并写出顶点坐标． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，，中任意一点经平移后对应点为，将作同样的平移得到． （1）请画出并写出点，，的坐标； （2）将绕原点O顺时针旋转90度得到，请画出． 19. 一个直角三角形的两直角边长的和为，其中一直角边长为，三角形的面积为． （1）直接写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当时，求y的值； （3）求这个三角形的面积y的最大值． 20. 陕西眉县是全国最大的优质猕猴桃生产基地，被誉为“中国猕猴桃之乡”．某商户从眉县购进一批猕猴桃进行销售（只按整箱销售不零售），每箱进价为80元，当销售价为120元箱时，每天可售出20箱，经市场调查发现，如果每箱猕猴桃每降价1元，那么平均每天可多售出2箱． （1）每箱猕猴桃降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ （2）商家平均每天的盈利能达到1800元吗？请说明你的理由． 21. 如图为石河子某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点Q为顶点，其高为8米，宽为16米．以点O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系． （1）求出该抛物线的函数表达式； （2）拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽米的值班室），其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的消防车辆？请通过计算说明． 22. 如图所示，D是等边三角形ABC内的一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD、BE． (1)求证：∠AEB﹦∠ADC； (2)连接DE，若∠ADC﹦135°，求∠BED的度数． 23. 【材料阅读】我们曾解决过课本中的这样一道题目： 如图1，四边形是正方形，E为边上一点，延长至F，使，连接，． 提炼1：绕点D顺时针旋转90°得到； 提炼2：； 提炼3：旋转、平移、轴对称是图形全等变换的三种方式． （1）如图2，四边形是正方形，E为边上一点，连接，将沿折叠，点C落在G处，交于点F，连接．求出的度数，写出，，三者间的数量关系，说明理由； （2）如图3，四边形的面积为，，，连接．求的长度； （3）如图4，在中，，，点D，E在边上，．写出，，间的数量关系________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 师市2025届九年级第一次质量监测 数学试题卷 考生须知： 1．本试题卷共4页． 2．满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 有一种数学美叫对称美，从建筑物外形到日常生活用品，从动植物外貌到生物有机体的构造，从化合物的组成到分子晶体的排布……其中皆有对称．下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：B． 2. 若关于x的函数是二次函数，则m的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ∴， 故选：3． 3. 已知一元二次方程的一个根为m，则的值（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义、代数式求值等知识．由题意，得到，恒等变形，整体代入代数式即可得到答案，熟记一元二次方程根的定义是解决问题的关键． 【详解】解：是方程的一个根， ，即， ， 故选：C． 4. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则为（ ） A. B. C. 9 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系“一元二次方程的两个根为，，则，”求解即可． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 故选：A． 5. 如图，在中，，将绕点A顺时针方向旋转50°，得到，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．先根据旋转的性质，求得，再根据，即可求得的度数． 【详解】解：根据题意得：， ， ， 故选：C． 6. 今年是中华人民共和国成立75周年，也是新疆生产建设兵团成立70周年，兵团各地积极开展“讲好红色故事弘扬兵团精神”主题教育学习活动，作为传承红色基因、弘扬兵团精神的重要窗口，新疆某博物馆凝聚着兵团人共同的历史记忆．据了解，今年8月份该博物馆接待参观人数10万人，10月份接待参观人数增加到12.1万人，设这两个月参观人数的月平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用增长率的问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据增长后的量增长前的量（1增长率），9月份该博物馆接待参观人数是万人，在9月的基础上再增长，就是10月份该博物馆接待参观人数，即可列出方程． 【详解】解：设这两个月参观人数的月平均增长率为 故选：D． 7. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解∶ 中 抛物线开口向上，有最小值． 关于直线的对称点是，当时，y随x的增大而增大， ， 故选：A． 8. 一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的综合判断．先根据一次函数图象所过象限，判断的符号，进而判断出二次函数的图象即可． 【详解】解：∵直线过一，三，四象限， ∴， ∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为轴，与轴交于正半轴， 故符合题意的只有选项C； 故选：C． 9. 二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表，其中，则以下结论正确的个数是（ ） x … 0 2 m … … n n … ①，②，③，④不等式的解集为，⑤对于任意实数t，． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，以及二次函数与不等式综合．将代入中，求出．根据二次函数的对称性得到二次函数对称轴，即可判断②，利用不等式的性质得到，即可判断①，利用二次函数对称轴为直线，且与的函数值相同，列式求出的值，即可判断③，根据抛物线与直线的交点为和，即可判断④，根据当时，二次函数有最小值，得到，即可判断⑤． 【详解】解：当时，，即， 当时，， 二次函数对称轴为直线， ，，故②正确； ，故①错误； 二次函数对称轴为直线，且与的函数值相同， ，解得，故③正确； ， 在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， 抛物线开口向上， 抛物线过点和， 抛物线与直线的交点为和， 当或时，， 不等式的解集为或，故④错误； 当时，，当时，， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，二次函数有最小值， 对于任意实数t，有，即，故⑤正确； 综上所述，正确的个数是3个， 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数列式求解即可． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为 故答案为：． 11. 已知抛物线的图象开口向下，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数 【详解】解∶ 因为抛物线的图象开口向下， 所以，即． 故答案为：． 12. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，由一元二次方程有两个不相等的实数根得到，求出k的取值范围，再在范围内取值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴可以取值， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行28场比赛，则参加选拔赛的人数为________人． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设有x人参加了选拔赛，由题意得，据此即可求解． 【详解】解：设有x人参加了选拔赛， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 即有8人参加了选拔赛， 故答案为：8． 14. 古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为___米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图形和性质．由知道抛物线经过点，进而求出k的值，最高点与其在水中倒影之间的距离即为． 【详解】解：由题意知，抛物线经过点，代入解析式中：得到：， 解得， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴主桥拱最高点与其在水中倒影之间的距离为米， 故答案为：26． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形（1），三角形（2），三角形（3），三角形（4），…，则三角形（2024）的直角顶点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，勾股定理，旋转的性质．先利用勾股定理计算出，从而得到的周长为12，根据旋转变换可得的旋转变换为每3次一个循环，且直角顶点的横坐标每个循环增加12，由于，于是可判断三角形（2024）与三角形（2）的状态一样，据此计算即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴在中，， 第（2）个三角形如图，作于点， ∵，，， ∴，解得， ∴， ∴第（2）个三角形直角顶点的坐标是 ∴的周长， 由图可知，第4个三角形与第1个三角形的所处形状相同，即每三次旋转为一个循环，且直角顶点的横坐标每个循环增加12， ∵， ∴三角形（2024）与三角形（2）的状态一样， ∴三角形（2024）的直角顶点的横坐标，纵坐标为， ∴三角形（2024）的直角顶点的坐标是． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共90分） 16. 解方程 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）先移项，然后运用直接开平方法进行解答即可； （2）先十字相乘法分解因式，再求出的值即可； （3）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项，， 直接开平方，， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得，； 【小问3详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 17. 二次函数的图象经过点A． （1）求二次函数的对称轴； （2）当时． ①求此时二次函数的表达式； ②把化为的形式，并写出顶点坐标． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征以及利用配方法将一般式化为顶点式． （1）根据二次函数的对称轴是直线即可求解； （2）①将代入，即可求出此时二次函数的表达式； ②利用配方法即可把化为的形式，再根据顶点式的特点写出顶点坐标． 【小问1详解】 解：二次函数的对称轴是直线，即直线， 二次函数的对称轴是直线； 【小问2详解】 解：①二次函数的图象经过点， ∴， ∴， 此时二次函数的表达式为； ②∵， 顶点坐标为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，，中任意一点经平移后对应点为，将作同样的平移得到． （1）请画出并写出点，，的坐标； （2）将绕原点O顺时针旋转90度得到，请画出． 【答案】（1）图见解析，，，； （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要查了图形的变换—平移和旋转： （1）根据平移的性质确定平移后的位置，再依次连接即可求解； （2）根据旋转的性质解答，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得先向右平移4个单位，再向上平移6个单位得到， 如图，即为所求； ∴，，； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 19. 一个直角三角形的两直角边长的和为，其中一直角边长为，三角形的面积为． （1）直接写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当时，求y的值； （3）求这个三角形的面积y的最大值． 【答案】（1）； （2）16； （3）这个三角形的面积y的最大值为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式是解题的关键． （1）根据两直角边之间的关系可得出另一条直角边为，利用三角形的面积计算公式，即可找出y与x之间的函数关系式，结合各直角边均为正值，即可得出x的取值范围； （2）把代入，即可求出y值； （3）配方成顶点式，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵直角三角形的两条直角边的和为，且它的一条直角边长为， ∴另一条直角边为， ∴直角三角形的面积， ∴y与x之间的函数关系式； 【小问2详解】 解：当时，； 【小问3详解】 解：∵， ， ∴当时，y有最大值，最大值为． 20. 陕西眉县是全国最大的优质猕猴桃生产基地，被誉为“中国猕猴桃之乡”．某商户从眉县购进一批猕猴桃进行销售（只按整箱销售不零售），每箱进价为80元，当销售价为120元箱时，每天可售出20箱，经市场调查发现，如果每箱猕猴桃每降价1元，那么平均每天可多售出2箱． （1）每箱猕猴桃降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ （2）商家平均每天的盈利能达到1800元吗？请说明你的理由． 【答案】（1）10元或20元 （2） 商家平均每天的盈利不能达到1800元，理由如下： 假设商家平均每天的盈利能达到1800元，设每箱猕猴桃降价元，则每箱的销售利润为元，平均每天可售出箱， 根据题意得：， 整理得：， △， 原方程无解， 假设不成立，即商家平均每天的盈利不能达到元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当△时，方程没有实数根”． （1）设每箱猕猴桃降价元，则每箱的销售利润为元，平均每天可售出箱，利用总利润每箱的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）假设商家平均每天的盈利能达到1800元，设每箱猕猴桃降价元，则每箱的销售利润为元，平均每天可售出箱，利用总利润每箱的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式△，可得出原方程无解，进而可得出假设不成立，即商家平均每天的盈利不能达到1800元． 【小问1详解】 解：设每箱猕猴桃降价元，则每箱的销售利润为元，平均每天可售出箱， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：每箱猕猴桃降价10元或20元时，商家平均每天能盈利1200元； 【小问2详解】 略 21. 如图为石河子某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点Q为顶点，其高为8米，宽为16米．以点O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系． （1）求出该抛物线的函数表达式； （2）拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽米的值班室），其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的消防车辆？请通过计算说明． 【答案】（1）； （2）能行驶宽米、高米的消防车辆． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用． （1）根据所建坐标系知顶点和与轴交点的坐标，可设解析式为顶点式形式求解，x的取值范围是； （2）根据对称性当车宽米时，，求此时对应的纵坐标的值，与车高米进行比较得出结论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴设这条抛物线的函数解析式为， ∵抛物线过， ∴，解得， ∴这条抛物线的函数解析式为，即； 【小问2详解】 解：当时，， 故能行驶宽2.4米、高米的消防车辆． 22. 如图所示，D是等边三角形ABC内的一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD、BE． (1)求证：∠AEB﹦∠ADC； (2)连接DE，若∠ADC﹦135°，求∠BED的度数． 【答案】 （1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°，AB=AC， ∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE， ∴∠DAE=60°，AE=AD， ∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC， ∴∠EAB=∠DAC， 在△EAB和△DAC中， 在△EAB和△DAC中， ， ∴△EAB≌△DAC(SAS)， ∴∠AEB=∠ADC； （2）75° 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出∠BAC=60°，AB=AC，根据旋转的性质得出∠DAE=60°，AE=AD．求出∠EAB=∠DAC，证△EAB≌△DAC即可； （2）求出∠AEB=135°，求出∠AED，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）如图，连接DE， ∵∠DAE=60°，AE=AD， ∴△EAD为等边三角形， ∴∠AED=60°， 又∵∠AEB=∠ADC=135°， ∴∠BED=135°-60°=75°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质和等边三角形的判定和性质等知识点，能灵活运用性质定理进行推理是解此题的关键． 23. 【材料阅读】我们曾解决过课本中的这样一道题目： 如图1，四边形是正方形，E为边上一点，延长至F，使，连接，． 提炼1：绕点D顺时针旋转90°得到； 提炼2：； 提炼3：旋转、平移、轴对称是图形全等变换的三种方式． （1）如图2，四边形是正方形，E为边上一点，连接，将沿折叠，点C落在G处，交于点F，连接．求出的度数，写出，，三者间的数量关系，说明理由； （2）如图3，四边形的面积为，，，连接．求的长度； （3）如图4，在中，，，点D，E在边上，．写出，，间的数量关系________． 【答案】（1），，见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，则，，，由，可求； （2）如图1，作于，的延长线于，证明，则，，，证明四边形是正方形，则，由勾股定理得，，计算求解即可； （3）如图2，将绕点顺时针旋转到，连接，证明，则，由勾股定理得，，则． 【小问1详解】 解：，，理由如下； ∵是正方形， ∴， 由折叠的性质可知，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：如图1，作于，的延长线于， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长度为； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴，， 如图2，将绕点顺时针旋转到，连接， 由旋转的性质可知，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $