24.2点和圆、直线和圆的位置关系课时训练-2024—2025学年人教版数学九年级上册

24.2点和圆、直线和圆的位置关系课时训练-2024-2025学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1．已知O，M两点之间的距离为6，若点M在内，则的半径可能为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．已知的半径为，点在内，则的长可能为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，点为的中点，以点为圆心，5为半径作，则下列判断错误的是（    ） A．点在上 B．点在上 C．点在外 D．的中点在外 4．如图，是四边形的内切圆，若该四边形的周长是24，面积是36，则的半径是（   ） A．1.5 B．3 C．4 D．6 5．在中，，，，则内切圆的半径为（   ） A．1 B．2 C． D． 6．如图，是的切线，点为切点，连接并延长交于点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，，点D是平面内的一动点，且为的中点，在点D运动的过程中，线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．在同一平面内，点不在上，若点到上的点的最大距离是，最小距离是5，则的半径是 ． 10．已知两个半径都为的与交于点，，那么圆心距的长是 ． 11．如图，在中，，，，，I为的内心，则 ．    12．如图，在矩形中，是边上的点，经过三点的与相切于点．若，，则的半径是 ． 13．如图，是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，M为的中点，连接．若的半径为2，则长的最大值是 ． 14．如图，是的直径，点在上，过点的切线与的延长线交于点，点在上（不与点重合），连接．若，则 度． 15．如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为 ． 16．下面就是欧拉发现的一个定理：在中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则．若的外接圆的半径为，内切圆的半径为，则的外心与内心之间的距离为 ． 三、解答题 17．如图，已知等边中，．以为直径的半圆与边相交于点D．过点D作，垂足为E；过点E作，垂足为F，连接． (1)求证：是的切线； (2)求的长； 18．已知是的直径，是圆外一点，直线交于点，不重合，平分交于点，过作，垂足为 (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，的直径为，求． 19．如图，已知矩形．根据以下作图过程，解答下列问题： ①连接； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交，两点； ③作直线，分别交，，于点，，； ④连接，； ③以为圆心，为直径作． (1)求证：四边形是菱形； (2)求证：为的切线． 20．如图，为的直径，F为弦的中点，连接并延长交于点D，过点D作的切线，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)连接，若，求四边形面积． 21．如图1，在等腰中，，点D、E分别在边、上，，连接，点M、P、N分别为、、的中点． (1)观察猜想： 图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)探究证明： 把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸： 把绕点A在平面内自由旋转，若，，求面积的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A D B B B D B 1．D 【分析】此题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外，②点P在圆上，③点P在圆内． 【详解】解：∵点M在内， ∴， 符合的数为7， 故选：D． 2．A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，先得到圆的半径为，根据点与圆的位置关系的判定方法得到当时，点在外；当时，点在上；当时，点在内，然后对各选项进行判断． 【详解】解：的半径为，点A在内， 当时，点A在内； ， 故选：A． 3．D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，点与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质等知识，掌握点与圆的三种位置关系是解题关键．连接，取中点，连接，根据直角三角形的性质，得到，，与半径比较，可判断ABC选项；证明是等边三角形，得到，在中，，可判断D选项． 【详解】解：如图，连接，取中点，连接， ，点为的中点， ，， ， 以点为圆心，5为半径作， ， 点和点在上，A、B选项判断正确，不符合题意； ， 点在外，C选项判断正确，不符合题意； ， 是等边三角形， 是的中点， ， 在中，，即， 的中点在内，D选项判断错误，符合题意； 故选：D． 4．B 【分析】此题主要考查了三角形面积以及切线的性质，正确将四边形分割成三角形是解题关键．利用切线的性质进而利用三角形面积求法得出的半径． 【详解】解：是四边形的内切圆，设切点分别为：，，，， 连接，，，，，，，，的半径为，如图： ，， 四边形的面积 ， 解得：． 故的半径为3． 故选：B． 5．B 【分析】本题主要考查三角形内切圆及勾股定理，熟练掌握三角形的内切圆及勾股定理是解题的关键；由题意易得，然后根据“三角形的内切圆的半径即为三角形的内心到三角形三条边的距离”，进而根据等积法可进行求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 设内切圆的半径为r，则有：， ∴； 故选B． 6．B 【分析】本题考查圆周角定理、切线的性质、三角形内角和定理等知识，由圆周角定理解得，再根据切线的性质得到，最后根据三角形内角和定理解题． 【详解】解：由圆周角定理得： 是的切线， 故选：B． 7．D 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心、切线的性质，设三角形与相切于、、，与相切于，根据切线长定理和三角形的周长公式即可得到结论．，解题的关键是熟练掌握切线的性质． 【详解】解：设三角形与相切于、、，与相切于，如图所示： 由切线长定理可知：，，，，， ，， ，， ， 故选：D． 8．B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．作的中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得和的长，然后在中根据三边关系即可求解． 【详解】解：作的中点，连接、． 在直角中，， 是直角斜边上的中点， ． 是的中点，是的中点， ． 在中，， 即． 故选：B 9．3或8 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 由题意知，分点在内，点在外两种情况求解即可． 【详解】解：由题意知，分点在内，点在外两种情况求解； 当点在内，如图1， ∴， ∴， ∴半径为8； 当点在外，如图2， ∴， ∴， ∴半径为3； 综上所述，的半径是3或8； 故答案为：3或8． 10． 【分析】本题考查了圆与圆相交，根据两个圆相交，两个圆心所在的直线垂直平分相交弦，且圆心距被相交弦垂直平分即可求解，掌握相交圆的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意可得，垂直平分，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 11． 【分析】此题重点考查勾股定理、三角形的内心的性质、正方形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 作于点于点于点，连接、、，由，求得，因为为的内心，所以，则四边形是正方形，设，则，求得，由，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点于点于点，连接、、，    ∴四边形是矩形， ∵为的内心， ∴四边形是正方形， 设 解得， 故答案为：． 12． 【分析】连接并延长，交于，过点作于，连接，证得四边形是矩形，得到，，由，得到四边形是矩形，四边形是矩形，推出，由勾股定理，得到，求出即可． 【详解】解：连接并延长，交于，过点作于，连接， ∵与相切于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴，四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴ 解得 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆的垂径定理及切线的性质定理，矩形的判定及性质，勾股定理，熟记各定理并熟练应用是解题的关键． 13．/ 【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，根据题意得出点M的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离进行计算即可． 【详解】解：如图，当点P在上移动时，的中点M的轨迹是以为直径的， 因此交于点M，此时的值最大， 由题意得，，， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了圆周角定理和切线的性质，能根据切线的性质求出的度数是解此题的关键．连接，根据切线的性质求出，求出，即可求出答案． 【详解】解：如图所示 连接， 切于， ， ， ， 的度数是， 的度数是， ， 故答案为：． 15．/16度 【分析】连接，由点是的内心，可得，再根据圆周角定理和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵点是的内心， ∴ ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 16． 【分析】本题考三角形的内心与外心，理解题意是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，， ∴的外心与内心之间的距离， 故答案为：． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、切线的判定、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定和等边三角形的性质是解答的关键． （1）先证明是等边三角形得到，则，根据平行线的性质证明，然后利用切线的判定可证得结论； （2）先根据等边三角形的性质得到，进而，在中和在中，利用含30度角的直角三角形的性质分别求得，，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，又是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 18．(1)与相切，理由见解析； (2)． 【分析】（）连接，证，即可证得与相切； （）过作于，可得四边形是矩形，设，则，，在中，由勾股定理得，求得的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：与相切，理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴与相切； （2）解：过作于， ∵， ， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，的直径为， ∴，， 设，则，， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得，(不合，含去)， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，正确作出辅助线是解题的关键． 19．(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）根据矩形的性质和平行线的性质，得出，，再根据题意，得出是的垂直平分线，再根据“角边角”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据平行四边形的判定，得出四边形是平行四边形，再根据菱形的判定定理，即可得出结论； （2）过点作，于点、，根据菱形的性质，得出，再根据角平分线的性质，得出，再根据切线的判定定理，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵在矩形中，， ∴，， 由作图过程可知：是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是的垂直平分线， ∵， ∴四边形是菱形； （2）证明：如图，过点作，于点、， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∵以为圆心，为直径作， 又∵， ∵是的半径， ∴是的半径， ∴是的切线． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、角平分线的性质、切线的判定定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质、平行四边形的性质、垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）欲证明，只要证明，即可． （2）作于，连接，，，首先证明四边形是平行四边形，根据，只要求出即可． 【详解】（1）证明：与相切于， ， 为弦中点， ， ． （2）解：作于，连接，，． ，， ， ， ， ， 是等边三角形，同理也是等边三角形， ，， ，又， 四边形是平行四边形，易知， ． 21．(1)； (2)是等腰直角三角形，见解析 (3) 【分析】（1）由题可知、均是中位线，由，根据，，，得到，继而得到，结合平行线的性质，得到即可． （2）先证，转化成（1）证明即可. （3）由（2）可得，要使面积的最大，只需有最大值，则只需有最大值，根据点A是定点，是定长，判定点D在以A圆心，以4为半径的圆上，根据直径是最大的弦，确定点B，A，D三点共线时，有最大值，且为14，计算的最大值即可. 【详解】（1）∵点M、P、N分别为、、的中点， ∴、均是中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，, 故答案：；． （2）是等腰直角三角形，理由如下： 连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点M、P、N分别为、、的中点， ∴、均是中位线， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴ ∴，, 故是等腰直角三角形． （3）由（2）可得，要使面积的最大，只需有最大值，则只需有最大值， ∵点A是定点，是定长，， ∴点D在以A圆心，以4为半径的圆上， ∵直径是最大的弦， ∴点B，A，D三点共线时，且B，D在点A的两侧时，有最大值，且为14， ∴， ∴的最大值为49. ∴面积的最大值为. 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，构造辅助圆求最值，熟练掌握中位线定理，构造辅助圆是解题的关键. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$